Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline X  = \frac{{5 + 6 + 8 + 5 + 8 + 9 + 7 + 7 + 9 + 8}}{{10}} \approx 7,2\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{{{{\left( {5 - 7,2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 7,2} \right)}^2} + ... + {{\left( {9 - 7,2} \right)}^2} + {{\left( {8 - 7,2} \right)}^2}}}{{10}} \approx 1,96\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trục \[Ox:\,y = 0\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow i  = \left( {1;\,0} \right)\] nên một đường thẳng song song với \[Ox\] cũng có vectơ chỉ phương là \[{\vec u_1} = \left( {1;\,0} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow u  = \,2\overrightarrow i  + 13\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\,13} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow {NM}  = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\) là:

\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(d:\frac{1}{2}y = 7x + 3 \Leftrightarrow y = 14x + 6\).

Vì vậy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = 14\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \[{d_1}\] có vectơ chỉ phương \[{\vec u_1} = \left( { - 2;\,4} \right)\], lấy \[A\left( {2;\,8} \right) \in {d_1}\]

Đường thẳng \[{d_2}\] có vectơ chỉ phương \[{\vec u_2} = \left( {1;\, - 2} \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4}\] nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương

Ta lại có: \[A \in {d_2}\]

 Do đó đường thẳng \[{d_1}\] trùng đường thẳng \[{d_2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau thì \(\frac{{2m - 1}}{3} \ne \frac{{{m^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Với điểm \(\left( {1;1} \right)\), có \[3.1 + 4.1 - 7 = 0\] nên điểm này thuộc đường thẳng \({d_1}\).

Do đó để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại \(\left( {1;1} \right)\) thì điểm này cũng thuộc \({d_2}\) nên ta có \[\left( {2m - 1} \right).1 + {m^2}.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right.\].

Vậy với \(m = 1\) và \(m =  - 3\) thì hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại \(\left( {1;1} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hai đường thẳng không có điểm chung thì \[d\,//\,d'\].

Ta có \[d:x - 3y + 4 = 0\] có VTPT \[{\vec n_d} = \left( {1;\, - 3} \right)\]

+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {3;\, - 1} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.

+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {1;\,3} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.

+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {3;\,1} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.

+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {1;\, - 3} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] cùng phương.  Lấy điểm \[A\left( {1;\,2} \right) \in d'\] nhưng \(A \notin d\). Do đó \(d\) và \(d'\) song song

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 3} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {3;1} \right)\).

Vì \(d \bot d'\) nên \(d'\) nhận \(\left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\) có phương trình là:

\(3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {A;B} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {B; - A} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\] nên đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\, - 3} \right)\] và \[R = \sqrt {16}  = 4\]. Vậy nên chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( { - 2;\,1} \right)\] và bán kính \[R = d\left( {I,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 1\].

\[ \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0\] có \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - m\\b = 1 - m\\c = 2{m^2}\end{array} \right.\]

Để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn thì:

\[{a^2} + {b^2} - c > 0 \Rightarrow {m^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hypebol có dạng chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] với \[a,\,b > 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường chuẩn của Parabol là: \(x + 1 = 0\) \( \Rightarrow \frac{p}{2} = 1 \Leftrightarrow p = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \[2p = \frac{{64}}{5} \Leftrightarrow p = \frac{{32}}{5} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{16}}{5}\]

Khi đó ta có tiêu điểm \[F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)\].

Với \[F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)\] và \[M\left( {5;\,8} \right)\], ta có \[\overrightarrow {FM}  = \left( {\frac{9}{5};\,8} \right) \Rightarrow FM = \sqrt {{{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^2} + {8^2}}  = \frac{{41}}{5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn một học sinh nữ có \[23\] cách;

Chọn một học sinh nam có \[17\] cách.

Theo quy tắc cộng có: \[23 + 17 = 40\] cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Một chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] là một cách sắp xếp có thứ tự \[k\] phần tử từ một tập hợp \[n\] phần tử (với \[k,\,n\] là các số tự nhiên, \[1 \le k \le n\]).

Số các chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\], kí hiệu là \[A_n^k\], được tính bằng công thức: \[A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lấy \[2\] phần tử trong \[20\] phần tử có \[C_{20}^2\] cách.

Vậy tập hợp \[A\] có \[C_{20}^2\] tập con có \[2\] phần tử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được: \[{\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].

Hệ số của \[{x^2}\] là \[10\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình:

\[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\]

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Với \[n = 3\], ta có:

 \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]

\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]

\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].

Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của biến cố là: \(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\).

Gọi \(A\): “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\left( {2;1} \right);\,\,\,\left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = C_7^2 = 21\).

Gọi \(A\) là biến cố “hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ”.

Khi đó \(n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1 = 12\).

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biến cố đối của biến cố \[A\] là \(\overline A :\)”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng \(432\)”.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\] là \[y - 2x + c = 0\].

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,0} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

Theo giả thiết, ta có: \[d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] là \[y - 2x + 2 - 3\sqrt 5  = 0\] hoặc \[y - 2x + 2 + 3\sqrt 5  = 0\].

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(M \in \Delta '\).

Đặt: \(M\left( {3t; - 2t} \right)\).

\( \Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)\)

Mặt khác \(B \in \Delta \) nên ta có: \(2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 24t - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :2x - 3y = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).

Vì \(\Delta  \bot AC\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(\Delta '\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) \[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Vậy \[n = 12\] là giá trị cần tìm.

b) Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) theo thứ tự không giảm, ta được:

15,5   25      25,1   25,2   25,3   25,4   25,4   25,5   25,5   25,6

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25,3 + 25,4}}{2} = 25,35\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 15,5          25      25,1   25,2   25,3.

Do đó, \({Q_1} = 25,1\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 25,4   25,4   25,5   25,5   25,6.

Do đó, \({Q_3} = 25,5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25,5 - 25,1 = 0,4\).

Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 25,1 - 1,5 \cdot 0,4 = 24,5\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 25,5 + 1,5 \cdot 0,4 = 26,1\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 15,5 < 24,5.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) có giá trị bất thường là 15,5 rơi vào ngày thứ 4.

• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) theo thứ tự không giảm, ta được:

27      27,4   27,8   28,6   28,8   28,8   28,8   29      29,2   48,2

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q'_2} = \frac{{28,8 + 28,8}}{2} = 28,8\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 27   27,4   27,8   28,6   28,8.

Do đó, \({Q'_1} = 27,8\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 28,8   28,8   29      29,2   48,2.

Do đó, \({Q'_3} = 29\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 29 - 27,8 = 1,2\).

Ta có: \({Q'_1} - 1,5{\Delta '_Q} = 27,8 - 1,5 \cdot 1,2 = 26\); \({Q'_3} + 1,5{\Delta '_Q} = 29 + 1,5 \cdot 1,2 = 30,8\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 48,2 > 30,8.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) có giá trị bất thường là 48,2 rơi vào ngày thứ 4.

Vậy ta kiểm tra được giá trị bất thường rơi vào ngày thứ 4.

Khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, ta có bảng sau:

So sánh phương sai mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) để kiểm tra tính ổn định của mẫu.

Số trung bình của mẫu số liệu \(M\) là:

\(\overline {{X_M}}  = \frac{{\,25\;\, + 25,1\;\, + \;25,2\; + \;25,3\; + \;25,4\; + \;25,4\; + 25,5\; + \;25,5\; + \;25,6}}{9} = \frac{{76}}{3}\).

Phương sai mẫu số liệu \(M\) là:

\(s_M^2 = \frac{{{{\left( {25 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {25,1 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {25,6 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2}}}{9} \approx 0,04\).

Số trung bình của mẫu số liệu \(N\) là:

\(\overline {X{ & _N}}  = \frac{{27\; + \;27,4\; + \;27,8\; + \;28,6\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;29\; + \;29,2}}{9} \approx 28,38\).

Phương sai mẫu số liệu \(N\) là:

\(s_N^2 = \frac{{{{\left( {27 - 28,38} \right)}^2} + {{\left( {27,4 - 28,38} \right)}^2} + ... + {{\left( {29,2 - 28,38} \right)}^2}}}{9} \approx 0,54\).

Vì 0,54 > 0,04 nên \(s_N^2 > s_M^2\), do đó giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).

Vậy sau khi bỏ đi giá cổ phiếu của ngày thứ 4 rồi so sánh phương sai mẫu, ta thấy giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).

Hướng dẫn giải

Vì chọn \[10\] tấm thẻ trong \[30\] tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega  \right) = \;C_{30}^{10} = 30045015\].

Gọi \[A\] là biến cố lấy được \[5\] tấm thẻ mang số lẻ và \[5\] tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho \[10\].

Công đoạn 1, vì có \[15\] tấm thẻ đánh số lẻ và chỉ lấy ra \[5\] tấm thẻ nên có: \[C_{15}^5\; = 3\,\,003\] (cách).

Công đoạn 2, lấy \[5\] tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho \[10\], trong đó có \[3\] tấm thẻ đánh số chia hết cho \[10\] và lấy ra một tấm thẻ, có \[12\] tấm thẻ còn lại đánh số chẵn và lấy ra \[4\] tấm thẻ nên ta có: \[C_3^1.C\;_{12}^4 = 1485\] (cách).

Số phần tử của biến cố \[A\] là: \[3\,\,003.1\,\,485 = 4\,\,459\,\,455\] (cách).

Vậy xác suất của biến cố \[A\] là: \[P\left( A \right) = \;\frac{{4459455}}{{30045015}} = \frac{{99}}{{667}}\].