Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 02
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.
\[20\];
\[11\];
\[30\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Chọn học sinh nữ có \(5\) cách chọn.
Chọn học sinh nam có \(6\) cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có \(5 + 6 = 11\) cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
\({5^5}\);
\(5!\);
\(20\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).
Có \(4\) học sinh nam là \[{A_1};\,\,{A_2};\,\,{A_3};\,\,{A_4}\] và \(3\) học sinh nữ \({B_1};\,\,{B_2};\,\,{B_3}\) được xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau?
\(5\,\,040\);
\(144\);
\(720\);
\(210\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xếp \(3\) bạn nữ trước có \(3!\) cách xếp.
Xếp \(4\) bạn nam vào \(4\) khoảng trống còn lại có \(4!\) cách xếp.
Vậy có \(3!.4! = 144\)cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau.
Khai triển của \[{\left( {1 - 2x} \right)^5}\] là
\[5 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} + 80{x^3} + 80{x^4} + 32{x^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có
\[{\left( {1 - 2x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2x} \right)^5}\]\[ = 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\].
Tìm hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4}\]với \[x \ne 0\].
\(24\);
\(36\);
\(96\);
\(58\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.\left( {\frac{4}{x}} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{x}{2}} \right).{\left( {\frac{4}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^4}\]
\[ = \frac{{{x^4}}}{{16}} + 2{x^3} + 24 + \frac{{128}}{{{x^2}}} + \frac{{256}}{{{x^4}}}\].
Vậy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \[24\].
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \[11\] là
\(\frac{1}{{18}}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{8}\);
\(\frac{2}{{25}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử không gian mẫu:\[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]
Biến cố tổng hai mặt là \[11\]: \[A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\] nên \[n\left( A \right) = 2\].
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\].
Một nhóm gồm \(8\) nam và \(7\) nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn. Xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
\(\frac{{60}}{{143}}\);
\(\frac{{238}}{{429}}\);
\(\frac{{210}}{{429}}\);
\(\frac{{82}}{{143}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”
Số phân tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5\).
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”
Trường hợp 1: chọn 5 bạn trong đó có \(4\) nam, \(1\) nữ có: \(C_8^4.C_7^1\) cách
Trường hợp 2: cách chọn \(5\) bạn trong đó có \(3\) nam, \(2\) nữ có: \(C_8^3.C_7^2\) cách
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666\).
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \frac{{238}}{{429}}\).
Cho biến cố \(M\) có xác suất xảy ra là \(0,4\). Xác suất xảy ra biến cố đối \(\overline M \) của biến cố \(M\) bằng
\(0,4\);
\(0,5\);
\(0,6\);
\(1,4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P\left( M \right) + P\left( {\overline M } \right) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline M } \right) = 1 - P\left( M \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {7;\,8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\).
Góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\,x - 2y + 15 = 0\] và \[{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {\,t \in \mathbb{R}\,} \right)\] bằng
\(5^\circ \);
\(60^\circ \);
\(0^\circ \);
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \[{\Delta _1}\]có một vectơ pháp tuyến là là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{\mkern 1mu} 1; - 2{\mkern 1mu} } \right)\).
Đường thẳng \[{\Delta _2}\]có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2} \right)\) suy ra \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0\) suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(90^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\). Khi đó hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là
\(2\);
\( - 3\);
\( - 1\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(M\left( {2; - 3} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM} \left( {2; - 3} \right)\).
Vậy hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) bằng \(2\).
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là
\(13\);
\( - 13\);
\( - 1\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6; - 7} \right),\,\,B\left( {0;8} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {1; - 2} \right)\). Tọa độ điểm \(C\) là
\(C\left( { - 3; - 7} \right)\);
\(C\left( { - 5; - 3} \right)\);
\(C\left( {9; - 1} \right)\);
\(C\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{6 + 0 + {x_C}}}{3}\\ - 2 = \frac{{ - 7 + 8 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 3\\{y_C} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 3; - 7} \right)\).
Cho đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\]. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] có tọa độ
\[\left( {5; - 3} \right)\];
\[\left( {6;2} \right)\];
\[\left( { - 1;3} \right)\];
\[\left( { - 5;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\] suy ra có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\]. Do đó đường thẳng \[\Delta \] cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa độ \[\left( {6;2} \right) = 2\left( {3;1} \right)\].
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \[M\left( {1;2} \right)\] và song song với đường thẳng \[\Delta :2x + 3y - 12 = 0\] có phương trình tổng quát là
\[2x + 3y - 8 = 0\];
\[2x + 3y + 8 = 0\];
\[4x + 6y + 1 = 0\];
\[4x - 3y - 8 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \[\Delta :2x + 3y - 12 = 0\] nên phương trình đường thẳng \(d\) có dạng:
\[2x + 3y + c = 0\left( {c \ne - 12} \right)\].
Vì \(M\left( {1;2} \right) \in d\) nên thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào đường thẳng \[2.1 + 3.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 8\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \(d:2x + 3y - 8 = 0.\)
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \) là
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là\[{d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường thẳng \[d:\,x - 2y - 1 = 0\] song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\[x + 2y + 1 = 0\];
\[2x - y = 0\];
\[ - x + 2y + 1 = 0\];
\[ - 2x + 4y - 1 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] không song song.
Xét đáp án B: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] không song song.
Xét đáp án C: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M(1;0)\) thuộc đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] và cũng thuộc đường thẳng \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] trùng nhau.
Xét đáp án D: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) thuộc đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] nhưng không thuộc \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), tọa độ tâm \(I\) của đường tròn đi qua ba điểm .\(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) là
\(I\left( {1;1} \right)\);
\(I\left( {0;0} \right)\);
\(I\left( {1;2} \right)\);
\(I\left( {1;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Giả sử phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) có dạng \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)
Vì ba điểm \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) thuộc đường tròn nên ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}8b + c = - 16\\4a + 8b + c = - 20\\4a + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4 = 0\) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây đi qua \(A\) và là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)?
\(4x - 3y + 10 = 0\);
\(6x + y + 4 = 0\);
\(3x + 4y + 10 = 0\);
\(3x - 4y + 11 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).
Họ đường thẳng \(\Delta \) qua\(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\), với \({a^2} + {b^2} \ne 0\).
Vì \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn nên: \({d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R\) hay \(\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a = - 4b\end{array} \right.\).
Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\) ta có \({\Delta _1}:y - 2 = 0\).
Với \(3a = - 4b\), chọn \(a = 4\) và \(b = - 3\) ta có :
\({\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính của đường tròn là
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 9\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) có bán kính \(R\) có dạng:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).
Cho Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là
\(F\left( {1;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 1;\,0} \right)\);
\(F\left( {2;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 2;\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình Parabol \(\left( P \right){y^2} = 4x\) vậy có \(2p = 4 \Leftrightarrow p = 2\)
Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], tìm tiêu cự của elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\].
\[3\];
\[6\];
\[4\];
\[5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3\].
Vậy tiêu cự \[2c = 6\].
Cho điểm \(M\) nằm trên Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Nếu hoành độ điểm \(M\) bằng \(8\) thì khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự của \(\left( H \right)\) bằng
\(8 + 4\sqrt 5 \) và \(8 - 4\sqrt 5 \);
\(5\) và \(13\);
\(8 + \sqrt 5 \) và \(8 - \sqrt 5 \);
\(6\) và \(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].
Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}} = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}} = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);
\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}} = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}} = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).
Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng \(6\) và \(14\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6;{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;{\rm{ }}5} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\).
\(\left( {6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,6} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.\]. Vậy \(C\left( { - 6;\, - 3} \right)\).
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) trong trường hợp \(\overline a = 13,738 \pm 0,02\) là
13,738;
13,7;
13,8;
13,74.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overline a = 13,738 \pm 0,02\).
Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 0,02\) là hàng phần trăm, do đó ta làm tròn 13,738 đến hàng phần mười theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 13,7.
Làm tròn số 152,559 đến hàng phần trăm. Sai số tuyệt đối của số quy tròn là
0,001;
0,01;
0,1;
Đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Làm tròn số 152,559 đến hàng phần trăm ta được 152,56.
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {152,559 - 152,56} \right| = 0,001\).
Đo độ dài của một cây cầu người ta tính được là \(996m \pm 0,5m\). Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu?
\(0,05\% \);
\(0,5\% \);
\(0,25\% \);
\(0,025\% \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có độ dài gần đúng của cầu là \(a = 996\) với độ chính xác \[d = 0,5\].
Vì sai số tuyệt đối \({\Delta _a} \le d = 0,5\) nên sai số tương đối \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{996}} \approx 0,05\% \).
Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là \(0,05\% \).
Số đặc trưng nào sau đây đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu?
Khoảng biến thiên;
Độ lệch chuẩn;
Khoảng tứ phân vị;
Số trung bình.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số trung bình là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Cho bảng thống kê sau
Giá trị | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Tần số | 18 | 15 | 20 | 32 | 40 | 18 | 15 |
Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là
40;
5;
15;
18.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 5 có tần số lớn nhất (40) nên mốt của mẫu số liệu là 5.
Thu nhập hằng tháng của 9 nhân viên trong một công ty luật lần lượt là 10; 12; 9; 11; 15; 18; 16; 9; 8. Thu nhập trung bình của 9 nhân viên đó là
11;
12;
13;
14.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thu nhập trung bình của 9 nhân viên là:
\(\overline X = \frac{{10 + 12 + 9 + 11 + 15 + 18 + 16 + 9 + 8}}{9} = 12\).
Để đánh giá mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê, ta dùng đại lượng nào sau đây?
Số trung vị;
Số trung bình;
Tứ phân vị;
Độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để đánh giá mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê, ta dùng độ lệch chuẩn.
Số điểm của \(5\) vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu là: \(9;\,8;\,15;\,8;\,20\). Số điểm trung bình các vận động viên ghi được là:
\(10\);
\(12\);
\(11\);
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có số điểm trung bình của \(5\) vận động viên là:
\(\overline x = \frac{{9 + 8 + 15 + 8 + 20}}{5} = 12\).
Cho mẫu số liệu sau: 15; 12; 17; 14; 17; 12; 15; 17; 15; 18. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
6;
3;
12;
18.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 18, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 12.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 18 - 12 = 6\).
Cho mẫu số liệu \(3;\,4 & ;\,5;\,4;7;\,10;\,9\). Tứ phân vị của mẫu số liệu là:
\({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 9\);
\({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 4;\,{Q_3} = 9\);
\({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 10\);
\({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta xắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm là: \(3;\,4;\,4;\,5;\,7;\,9;10\)
Vì mẫu số liệu có \(n = 7\) là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 5\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu \(3;\,4;\,4\). Do đó \({Q_1} = 4\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu \(7;\,9;\,10\). Do đó \({Q_3} = 9\).
Vậy \({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 9\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Một chi đoàn có \(3\) đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện gồm \(4\) người. Biết xác suất để trong \(4\) người được chọn có \(3\) nữ bằng \(\frac{2}{5}\) lần xác suất \(4\) người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.
Hướng dẫn giải.
Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là \(n\left( {n \ge 7,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là \(n - 3\).
Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có \(3\) nữ là \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}\).
Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\).
Theo giả thiết, ta có \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}} = \frac{2}{5}.\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}} \Leftrightarrow C_{n - 3}^1 = \frac{2}{5}C_{n - 3}^4\).
\[ \Leftrightarrow \left( {n - 3} \right) = \frac{2}{5}\frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right)\left( {n - 7} \right)!}}{{4!\left( {n - 7} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right) = 60\]
\( \Leftrightarrow {n^3} - 15{n^2} + 74n - 180 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {n - 9} \right)\left( {{n^2} - 6n + 20} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 9 = 0\\{n^2} - 6n + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9\) (do \({n^2} - 6n + 20 = 0\) vô nghiệm).
Vậy cho đoàn có \(9\) đoàn viên.
a) Bạn Nam dùng đồng hồ bấm giờ để đo thời gian một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ tầng năm của một tòa nhà xuống mặt đất trong 10 lần cho kết quả như sau:
0,899; 0,898; 0,895; 0,901; 0,898; 0,902; 0,910; 0,312; 0,905; 0,899.
Nam nghĩ rằng giá trị 0,312 ở lần đo thứ 8 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Nam.
b) Tìm \(x\) thỏa mãn \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\).
Hướng dẫn giải
a) Nhận thấy giá trị 0,312 nhỏ hơn rất nhiều so với các giá trị khác trong mẫu số liệu đã cho, do đó để kiểm tra nghi ngờ của Nam, ta cần xác định xem 0,312 có phải giá trị bất thường của mẫu số liệu hay không.
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
0,312; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899; 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.
Vì mẫu số liệu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ năm và thứ sáu, do đó \({Q_2} = \frac{{0,899 + 0,899}}{2} = 0,899\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0,213; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899.
Do đó, \({Q_1} = 0,898\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.
Do đó, \({Q_3} = 0,902\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,902 - 0,898 = 0,004\).
Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 0,898 - 1,5 \cdot 0,004 = 0,892\).
Vì 0,312 < 0,892 nên 0,312 là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Do đó, giá trị ở lần đó thứ 8 trong thí nghiệm trên không chính xác hay nghi ngờ của Nam là đúng.
b) Điều kiện \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\)
Xét \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \frac{{5.x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} \le 21x\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) \le 21x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + 5x - 5 \le 21\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 \le 0\)
\( \Leftrightarrow - 6 \le x \le 4\)
Mà \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\) nên \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).
Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?
Hướng dẫn giải
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {HI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + c = 0\).
Vì \(I \in IM \Rightarrow 2.1 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\)
\( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\)
\(M = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).
Lại có: \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;6} \right)\) .
Suy ra: đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) bán kính \(R = IA = 5\).
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
