Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm \[1\] món ăn trong 5 món, \[1\] loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
\[25\].
\[75\].
\[100\].
\[15\].
Chọn \[1\] món ăn trong \[5\] món: có \[5\] cách.
Chọn \[1\] loại quả tráng miệng trong \[5\] loại quả tráng miệng: có \[5\] cách.
Chọn \[1\] nước uống trong \[3\] loại nước uống: có \[5\] cách.
Theo qui tắc nhân, có \(5.5.3 = 75\) cách.
Từ các chữ số \[2,\,3,\,4,\,5\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[4\] chữ số khác nhau?
\[256\].
\[120\].
\[24\].
\[16\].
Mỗi số cần lập là một hoán vị của \(4\)phần tử \( \Rightarrow \)có \(4! = 24\) số cần lập.
Trong khai triển nhị thức \[{\left( {a + 2} \right)^{n + 6}}(n \in \mathbb{N})\] có tất cả \[17\] số hạng. Giá trị của \(n\) là
\[17\].
\[11\].
\[10\].
\[12\].
Ta có: \(n + 6 + 1 = 17 \Leftrightarrow n = 10\).
Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là \[152m \pm 0,2m\]. Tìm sai số tương đối của phép đo chiều dài cây cầu.
\({\delta _a} < 0,1316\% \).
\({\delta _a} < 1,316\% \).
\({\delta _a} = 0,1316\% \).
\({\delta _a} > 0,1316\% \).
Sai số tương đối \[{\delta _a} \le \frac{{0,2}}{{152}} = 0,001315789 \approx 0,1316\% \].
Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
8,54.
4.
8,50.
8,53
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:\[\overline x = \frac{{\left( {8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8.1} \right)}}{{20}} = 8,53\].
Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà:
Số trung vị là
37,5.
40.
35.
75
Ta thấy N chẵn nên số trung vị là:\[{M_e} = \frac{{35 + 35}}{2} = 35\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {0; - 2} \right)\)là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t\\y = - 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 4 - 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\,\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right)\),
Đường thẳng\(AB\)đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)\) làm vtcp nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4y + 7m + 5 = 0\) là phương trình đường tròn?
\(16\).
\(11\).
\(15\).
\(12\).
Ta có \(a = m + 1\), \(b = - 2\) và \(c = 7m + 5\).
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {7m + 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 5m > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 5\end{array} \right.\).
Vì \(m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow \) có \(15\) giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng \[4\]và đi qua điểm \[A\left( {0;6} \right)\].
\[\frac{{{x^2}}}{{81}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\].
Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)\].
Theo giả thiết:\(2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\). Vì \[A\left( {0;6} \right) \in \left( E \right)\]nên ta có phương trình: \[\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\, \Leftrightarrow b = 6\].
Khi đó: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {6^2} + {2^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 40 \Leftrightarrow a = \sqrt {40} \).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \[\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\].
Cần xếp 12 bạn, trong đó có An và Bình thành một hàng dọc để chuẩn bị cho 1 tiết mục múa. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau để An và Bình đứng cạnh nhau?
7.257.600 cách.
958.003.200 cách.
479.001.600 cách.
79.833.600 cách.
Công đoạn 1: Nhóm An và Bình thành nhóm X có \(2!\) cách.
Công đoạn 2: Xếp X và 10 bạn còn lại có \(11!\) cách.
Theo quy tắc nhân ta có \(2!\,.\,11! = 79.833.600\) cách.
Một tổ có 7 học sinh nữ, 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 2 bạn đi trực nhật. Xác suất để 2 bạn được chọn đều là nữ là
\(\frac{5}{{33}}\).
\(\frac{{10}}{{33}}\).
\(\frac{5}{{33}}\).
\(\frac{7}{{22}}\)
Chọn \(2\)trong \(12\) bạn làm trực nhật, số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^2 = 66\)
Gọi \(A\) là biến cố ‘\(2\) bạn được chọn đều là nữ’. Ta có: \(n\left( A \right) = C_7^2 = 21\).
Suy ra xác suất để 2 bạn được chọn đều là nữ là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{22}}\).
Từ một lớp gồm 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia đội Thanh niên xung kích. Tính xác suất chọn được 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ.
\[\frac{{120}}{{341}}\].
\[\frac{{105}}{{341}}\].
\[\frac{{91}}{{5797}}\].
\[\frac{{21}}{{682}}\]
Số phần tử của không gian mẫu \[n\left( \Omega \right) = C_{34}^5\]
Gọi \[A\] là biến cố: "Chọn được 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ".
Chọn 2 học sinh nam trong số 16 học sinh nam thì có \[C_{16}^2\]cách chọn.
Chọn 3 học sinh nữ trong số 18 học sinh nữ thì có \[C_{18}^3\]cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, sẽ có \[C_{16}^2.C_{18}^3\]cách chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ.
Vậy xác suất cần tìm \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{16}^2.C_{18}^3}}{{C_{34}^5}} = \frac{{120}}{{341}}\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Gieo một con xúc sắc 6 mặt cân đối và đồng chất hai lần. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Có 6 cách để hai lần gieo đều ra số chấm giống nhau.
Có 6 cách để gieo được lần đầu ra mặt 6 chấm.
Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm.
Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4.
a) Đúng: Số cách gieo lần một là 6 cách, số cách gieo lần hai là 1 cách. Suy ra số cách để sau hai lần gieo đều ra số chấm giống nhau là \(6.1 = 6\) cách.
b) Đúng: Số cách gieo lần một xuất hiện mặt 6 chấm là 1 cách, lần gieo thứ hai có 6 cách. Suy ra số cách gieo để gieo được lần đầu ra mặt 6 chấm là \(6.1 = 6\) cách.
c) Sai: Số cách gieo lần một được mặt 1 chấm là 1 cách, lần hai được mặt có số chấm khác 1 là 5 cách.
Số cách gieo lần một được mặt có số chấm khác 1 là 5 cách, lần hai được mặt 1 chấm là 1 cách.
Vậy số cách để hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm là \(1.5 + 5.1 = 10\) cách.
d) Đúng: Số cách gieo hai lần là \(6.6 = 36\) cách.
Trường hợp 1: Số cách gieo hai lần đều được mặt 1 chấm là 1 cách.
Trường hợp 2: Số cách gieo hai lần được tổng số chấm bằng 3 là: 2 cách, gồm \(\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right)\).
Vậy số cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm nhỏ hơn 4 là \(2 + 1 = 3\) cách.
Số cách gieo để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4 là \(36 - 3 = 33\) cách.
Kết quả đo chiều dài của một thửa đất là \(75,4m \pm 0,5m\) và đo chiều dài của một cây cầu là \(466,2m \pm 0,5m\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Đối với phép đo thửa đất, sai số tương đối không vượt quá \(0,663{\rm{\% }}\).
Đối với phép đo thửa đất, có sai số tương đối: \(\frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{75,4}} = \frac{5}{{754}}\).
Đối với phép đo chiều dài cây cầu, có sai số tương đối lớn hơn \(\frac{5}{{4662}} \approx 0,107{\rm{\% }}\).
Phép đo cây cầu có độ chính xác cao hơn phép đo chiều dài của một thửa đất.
a) Đúng: Đối với phép đo thửa đất, tỉ số: \(\frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{75,4}} = \frac{5}{{754}}\) (tức là sai số tương đối không vượt quá \(\frac{5}{{754}} \approx 0,663{\rm{\% }}\) ).
b) Đúng: Đối với phép đo thửa đất, có sai số tương đối: \(\frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{75,4}} = \frac{5}{{754}}\).
c) Sai: Đối với phép đo chiều dài cây cầu, tỉ số: \(\frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{466,2}} = \frac{5}{{4662}}\) (nghĩa là sai số tương đối không vượt quá \(\left. {\frac{5}{{4662}} \approx 0,107{\rm{\% }}} \right)\).
d) Đúng: Ta có \(\frac{5}{{754}} > \frac{5}{{4662}}\) nên phép đo cây cầu có độ chính xác cao hơn.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đỉnh \(A\left( {6;\,\,6} \right)\); đường thẳng \(d\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AC\) có phương trình \(x + y - 4 = 0\) và điểm \(E\left( {1;\,\, - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua đỉnh \(C\) của tam giác đã cho. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Trung điểm của cạnh \(BC\) có tọa độ là \(\left( { - 2;\,1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x + y + 4 = 0\)
Có hai điểm \(B\) thỏa mãn bài toán.
Chỉ có một điểm \(C\) duy nhất thỏa mãn bài toán.
Từ \(A\) kẻ đường cao \(AH\) \((H \in BC)\) cắt \(d\) tại \(I\).
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(H,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH.\)
Khi đó \(AH\) đi qua \(A\left( {6;\,\,6} \right)\) vuông góc với \(d\) nên có phương trình: \(x - y = 0\). Suy ra tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {2;\,\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(H\) và song song với \(d\) nên có phương trình \(x + y + 4 = 0\).
Gọi \(B\left( {t;\,\, - t - 4} \right) \in BC\) \( \Rightarrow C\left( { - 4 - t;\,\,t} \right)\) ( do \(H\) là trung điểm \(BC\))\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {t - 6;\,\, - 10 - t} \right)\\\overrightarrow {CE} = \left( {t + 5;\,\, - 3 - t} \right)\end{array} \right.\)
Do \(E\left( {1;\,\, - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua \(C\) của tam giác \(ABC\), suy ra:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 6} \right)\left( {t + 5} \right) + \left( { - 10 - t} \right)\left( { - 3 - t} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {t^2} + 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;\,\, - 4} \right)\\C\left( { - 4;\,\,0} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 6;\,\,2} \right)\\C\left( {2;\,\, - 6} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(B\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,C\left( { - 4;\,\,0} \right)\) hoặc \(B\left( { - 6;\,\,2} \right),\,\,C\left( {2;\,\, - 6} \right)\).
a) Sai: Trung điểm của cạnh \(BC\) có tọa độ là \(\left( { - 2;\, - 2} \right)\).
b) Đúng: Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x + y + 4 = 0\)
c) Đúng: Có hai điểm \(B\) thỏa mãn bài toán là \(B\left( {0;\,\, - 4} \right)\) hoặc \(B\left( { - 6;\,\,2} \right)\)
d) Sai: Có hai điểm \(C\) duy nhất thỏa mãn bài toán là \(C\left( { - 4;\,\,0} \right)\) hoặc \(\left( {2;\,\, - 6} \right)\).
Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{100}^5.\)
Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là \(\frac{1}{2}\).
Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ xấp xỉ bằng \(0,32\).
Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 xấp xỉ bằng \(0,78\).
a) Đúng: Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{100}^5.\)
b) Sai: Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, suy ra số cách chọn 5 thẻ đều mang số chẵn là \(n\left( A \right) = C_{50}^5.\)
Vậy xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{50}^5}}{{C_{100}^5}} \approx 0,028\)
c) Đúng: Gọi B là biến cố: “5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ”.
Suy ra \(n\left( B \right) = C_{50}^2.C_{50}^3\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{50}^2.C_{50}^3}}{{C_{100}^5}} \approx 0,32\)
d) Đúng:Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3, 67 số không chia hết cho 3.
Gọi C là biến cố: “Ít nhất một số ghi trên 5 thẻ được chọn chia hết cho 3”.
Ta có \(\overline C \): “Cả 5 số trên 5 thẻ được chọn đều không chia hết cho 3”.
Suy ra \(n\left( {\overline C } \right) = C_{67}^5\), do đó \(n\left( C \right) = C_{100}^5 - C_{67}^5\).
Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{100}^5 - C_{67}^5}}{{C_{100}^5}} \approx 0,87\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(A_n^1 - 3A_n^2 = n - 36\)có bao nhiêu ước số nguyên dương?
Điều kiện \(n \ge 2,\,\,\,n \in \mathbb{N}*.\)
\(A_n^1 - 3A_n^2 = n - 36 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = n - 36 \Leftrightarrow - 3{n^2} + 3n + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 3\,\,\left( {loai} \right).\end{array} \right.\)
Các ba ước nguyên dương của 4 là \[\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}.\].
Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là \(0,75m\) với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương đối không vượt quá \(0,15\% \). Tính độ dài gần đúng của cây cầu.
Ta có \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{|a|}} \Rightarrow |a| = \frac{{{\Delta _a}}}{{{\delta _a}}}\).
Do \({\delta _a} \le 0,15\% ;d = 0,75\) nên \(|a| \ge \frac{{0,75}}{{0,15}}.100 = 500\).
Vậy độ dài gần đúng của cây cầu là \[500m\].
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) biết đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua trung điểm các cạnh \(AB,\,AC\) có phương trình \(x + y - 4 = 0\). Biết điềm \(E\left( {1;\, - 3} \right)\) thuộc đường cao đi qua đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\). Giả sử \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) và \({x_C} > 0\). Tính \(x_C^2 + y_C^2\)
Ta có: \(AH \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(AH:x - y = 0\).
Gọi \(H,\,D\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AH\).
Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\). Vậy \(D\left( {2;\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2; - 2} \right)\).
Do \(BC//d \Rightarrow BC\) có phương trình: \(x + y + 4 = 0\).
\(C \in BC \Rightarrow C\left( {t;\, - t - 4} \right)\) với \(t > 0\). Do \(H\) là trung điểm \(BC\) nên suy ra \(B\left( { - t - 4;\,t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2\) (do \(t > 0\)).
Vậy \(C\left( {2;\, - 6} \right)\) nên \(x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {\left( { - 6} \right)^2} = 40\).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Ta lập số từ tập hợp \(\left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)
Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5.
Trường hợp 1:
Số cần lập có dạng \(\overline {abc0} \) với \(a;b;c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
Tổng \(a + b + c + 0\) phải chia hết cho 3\( \Rightarrow a + b + c\) chia hết cho 3.
Có 4 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\) có tổng các phần tử chia hết cho 3: \[\left\{ {1;2;3} \right\};\left\{ {2;3;4} \right\};\left\{ {3;4;5} \right\};\left\{ {1;3;5} \right\}\].
Suy ra có \(4.3! = 24\)số
Trường hợp 2:
Số cần lập có dạng \(\overline {abc5} \) với \(a;b;c \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)
Tổng \(a + b + c + 5\)phải chia hết cho 3 \( \Rightarrow a + b + c\) chia cho 3 dư 1.
Có 3 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\) có tổng các phần tử chia 3 dư 1: \(\left\{ {0;1;3} \right\};\left\{ {0;3;4} \right\};\left\{ {1;2;4} \right\}\)
Có \(2.\left( {3! - 2!} \right) + 3! = 14\) số. Vậy có tất cả \(24 + 14 = 38\) số thỏa đề bài.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào một dãy ghế gồm 6 ghế sao cho các bạn nữ luôn ngồi cạnh nhau.
Bước 1: xếp 3 bạn nữ ngồi cạnh nhau, có: \(3!\) cách.
Bước 2: xếp nhóm 3 bạn nữ ngồi với 3 bạn nam, có: \(4!\) cách.
Vậy, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3!.4! = 144\) cách.
Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có Dũng, Mai và Đào được xếp thành đội hình hàng ngang. Xác suất để Dũng và Mai đứng cạnh nhau nhưng Dũng và Đào thì không đứng cạnh nhau là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\)
Xét phép thử: “Xếp 12 học sinh thành một hàng ngang” và biến cố A: “Dũng và Mai đứng cạnh nhau nhưng Dũng và Đào thì không đứng cạnh nhau”.
Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 12!\)
Xét các cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau. Ta xếp Dũng và Mai thành một nhóm, có 2! cách, rồi xếp nhóm này với 10 người còn lại thành hàng ngang, có 11! cách. Theo quy tắc nhân có \(2!.11!\) cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau.
Xét các cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau; Dũng và Đào cũng đứng cạnh nhau. Khi đó, Mai và Đào phải đứng bên cạnh Dũng, thành ra có 2! cách xếp 3 bạn này thành một nhóm. Sau đó ta xếp nhóm này với 9 người còn lại, có 10! cách. Theo quy tắc nhân có \(2!.10!\) cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau; Dũng và Đào cũng đứng cạnh nhau.
Suy ra số kết quả có lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 2!.11! - 2!.10!\).
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2!.11! - 2!.10!}}{{12!}} = \frac{5}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 43\).
