Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án A có 3 cách thực hiện, phương án B có 4 cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai phương án là khác nhau). Số cách thực hiện công việc đó là:
4 cách.
6 cách.
7 cách.
12 cách.
Đáp án đúng là: C
Số cách thực hiện công việc đó là: \(3 + 4 = 7\) (cách).
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\)\(\left( {1 \le k \le n;k,n \in \mathbb{N}} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Đáp án đúng là: D
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Cho tập \(M\) có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của \(M\) là
\(A_{10}^8\).
\(A_{10}^2\).
\(C_{10}^2\).
\({10^2}\).
Đáp án đúng là: C
Số tập con gồm 2 phần tử của \(M\) là \(C_{10}^2\).
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\)?
\(4\).
\(5\).
\(6\).
\(2\).
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\) có 6 số hạng.
\(P\left( A \right)\) là xác suất của biến cố \(A\) trong phép thử có không gian mẫu là \(\Omega \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(0 \le P\left( A \right) \le 1\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
\(P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow A = \Omega \).
\(P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow A = \emptyset \).
Đáp án đúng là: D
\(P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow A = \Omega \).
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j \). Tọa độ của \(\overrightarrow a \) là
\(\left( { - 2;3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 3} \right)\).
\(\left( {2; - 3} \right)\).
\(\left( {2;3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {2; - 3} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(3x - 5y + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 5;7} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;7} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(3x - 5y + 7 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 5} \right)\).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc với nhau.
Song song.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1};{d_2}\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = - 3\overrightarrow {{n_1}} \) do đó \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
Lại có \(A\left( {1;1} \right) \in {d_1}\) nhưng không thuộc \({d_2}\). Do đó \({d_1}//{d_2}\).
Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 49\).
\(I\left( { - 3;4} \right),R = 7\).
\(I\left( {3; - 4} \right),R = 7\).
\(I\left( {3; - 4} \right),R = 49\).
\(I\left( { - 3;4} \right),R = 49\).
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 3;4} \right),R = 7\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường elip?
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của dãy số \(2;5;4;3;6\) là
\({\Delta _Q} = 2\).
\({\Delta _Q} = - 2\).
\({\Delta _Q} = 3\).
\({\Delta _Q} = \sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: C
Sắp xếp lại dãy số theo thứ tự không giảm ta được: \(2;3;4;5;6\)
Ta có \({Q_1} = \frac{{2 + 3}}{2} = 2,5\); \({Q_3} = \frac{{5 + 6}}{2} = 5,5\).
Do đó \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 5,5 - 2,5 = 3\).
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho khai triển nhị thức Niuton \({\left( {x + 3} \right)^5}\).
a) Khai triển trên có 5 số hạng.
b) Số hạng chứa \({x^4}\) là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ \(x\) giảm dần).
c) Trong khai triển trên hệ số của \({x^4}\) là 105.
d) Tổng hệ số của \({x^4}\) và \({x^3}\) bằng 115.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
Ta có \({\left( {x + 3} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{.3^2} + 10.{x^2}{.3^3} + 5.x{.3^4} + {3^5}\)
\( = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243\).
a) Khai triển trên có 6 số hạng.
b) Số hạng chứa \({x^4}\) là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ \(x\) giảm dần).
c) Hệ số của \({x^4}\) là 15.
d) Hệ số của \({x^3}\) là 90.
Suy ra tổng hệ số của \({x^4}\) và \({x^3}\) bằng \(90 + 15 = 105\).
Trong một ban tổ chức gồm 5 nhân viên đến từ Việt Nam, 7 nhân viên đến từ Hoa Kỳ và 6 nhân viên đến từ Anh.
a) Có 210 cách chọn ra 3 nhân viên, mỗi người từ một quốc gia khác nhau.
b) Có \(C_7^2\) cách chọn ra 2 nhân viên từ Hoa Kỳ.
c) Chọn ngẫu nhiên 2 nhân viên từ ban tổ chức, xác suất để chọn được 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(\frac{{203}}{{272}}\).
d) Chọn ngẫu nhiên 3 nhân viên từ ban tổ chức, xác suất để chọn được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(\frac{{35}}{{816}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Số cách chọn ra 3 nhân viên, mỗi người từ một quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1.C_6^1 = 210\) cách.
b) Số cách chọn ra 2 nhân viên từ Hoa Kỳ là \(C_7^2\) cách.
c) Số cách chọn 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1 + C_5^1.C_6^1 + C_7^1.C_6^1 = 107\)cách.
Số cách chọn 2 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^2 = 153\) cách.
Xác suất để chọn được 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(\frac{{107}}{{153}}\).
d) Số cách được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(C_5^3 + C_7^3 + C_6^3 = 65\) cách.
Số cách chọn 3 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^3 = 816\).
Xác suất chọn được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(\frac{{65}}{{816}}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18
An muốn mua một cây bút chì và một cây bút mực. Bút mực có 8 màu, bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Vậy An có bao nhiêu cách chọn?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 64
Số cách chọn bút của An là: \(8.8 = 64\) (cách).
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc đó không vượt quá \[5\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,28
Số phần tử của không gian mẫu \[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\].
Gọi \[A\] là biến cố: ‘‘Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc không vượt quá \[5\]”.
Các phần tử của \[A\] là: \[\left( {1;1} \right)\], \[\left( {1;2} \right)\], \[\left( {1;3} \right)\], \[\left( {1;4} \right)\], \[\left( {2;1} \right)\], \[\left( {2;2} \right)\], \(\left( {2\,;\,3} \right)\), \[\left( {3;1} \right)\], \[\left( {3;2} \right)\], \[\left( {4;1} \right)\].
Như vậy số phần tử của \[A\] là: \(10\).
Vậy xác suất cần tìm là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{18}} \approx 0,28\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 3;2} \right)\). Tính \(\left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 7
Ta có \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {7;0} \right)\).
Suy ra \(\left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{7^2} + {0^2}} = 7\).
Trong mặt phẳng tọa độ, cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu cự của elip trên.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Tiêu cự của elip là \(2c = 2\sqrt {25 - 16} = 6\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Tính tổng \(S = {2024^4} - {8088.2024^3} + 6.{\left( {2024.2022} \right)^2} - {8096.2022^3} + {2022^4}\).
Hướng dẫn giải
\(S = {2024^4} - {8088.2024^3} + 6.{\left( {2024.2022} \right)^2} - {8096.2022^3} + {2022^4}\)
\( = {2024^4} - {4.2024^3}.2022 + {6.2024^2}{.2022^2} - {4.2024.2022^3} + {2022^4}\)
\( = {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Có 7 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Tính xác suất để có 4 học sinh vào cùng một quầy và 3 học sinh còn lại cùng vào một quầy phục vụ.
Hướng dẫn giải
Mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên \(n\left( \Omega \right) = {6^7}\).
Gọi biến cố \(A\): “4 học sinh vào cùng 1 quầy và 3 học sinh còn lại vào cùng 1 quầy phục vụ khác”.
Số cách chia học sinh thành 2 nhóm: 1 nhóm có 4 học sinh và 1 nhóm có 3 học sinh là \(C_7^4.C_3^3\).
Với mỗi cách chia như vậy, số cách chia 2 nhóm trên vào 6 quầy sao cho mỗi nhóm 1 quầy khác nhau là \(C_6^1.C_5^1\).
Suy ra \(n\left( A \right) = C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1}}{{{6^7}}} = \frac{{1050}}{{{6^7}}} = \frac{{175}}{{46656}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Tìm \(M \in d\) để \(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Vì \(M \in d\) nên \(M\left( {2t + 2;t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - 2t;4 - t} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3 - 2t;2 - t} \right);\overrightarrow {MC} = \left( { - 2t - 2;1 - t} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 4t + 1; - 2t + 3} \right)\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2t + 3} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {20{t^2} - 20t + 10} \)\( = \sqrt {20{{\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 5} \ge \sqrt 5 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(\sqrt 5 \) khi \(t = \frac{1}{2}\).
Với \(t = \frac{1}{2}\) thì \(M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).
