Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Một cửa hàng có \(10\) bó hoa ly, \(14\) bó hoa huệ, \(6\) bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
\(140\).
\(30\).
\(24\).
\(840\).
Bạn đó mua hoa ly có: \(10\) sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa huệ có: \(14\) sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa lan có: \(6\) sự lựa chọn.
Vậy bạn đó có tất cả: \(10 + 14 + 6 = 30\) sự lựa chọn để mua một bó hoa.
Một tổ có \[10\] học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \[2\] học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
\(A_{10}^2\).
\(C_{10}^2\).
\(A_{10}^8\).
\({10^2}\).
Chọn ra \[2\] học sinh từ một tổ có \[10\] học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập \[2\] của 10 phần tử. Số cách chọn là \[A_{10}^2\] cách.
Số hạng tự do trong khai triển \({\left( {2x - 1} \right)^8}\) là
\(1.\)
\( - 1.\)
\({2^8}.\)
\(2.\)
Số hạng tự do trong khai triển \({\left( {2x - 1} \right)^8}\) là \({( - 1)^8} = 1.\)
Viết số quy tròn của số 410237 đến hàng trăm.
410200.
410000.
410300.
410240.
Số quy tròn (đến hàng trăm) của số 410237 là 410200.
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu thông kê sau:
11.
33.
87.
83.
Khoảng biến thiên: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 87 - 4 = 83\).
Nhiệt độ cao nhất của Hà Nội trong \(7\) ngày liên tiếp trong tháng ba được ghi lại là \(\left( {{}^0{\rm{C}}} \right)\)
\(25;\,\,26;\,\,28;\,\,31;\,\,33;\,\,33;\,27\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thuộc khoảng nào sau đây:
\(\left( {3;\,4} \right)\).
\(\left( {1;\,3} \right)\).
\(\left[ {6;\,11} \right]\).
\(\left( {0;\,\frac{3}{4}} \right)\).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: \(\overline x = \frac{{25 + 26 + 28 + 31 + 33 + 33 + 27}}{7} = 29\)
Phương sai của mẫu số liệu là: \[{s^2} = \frac{{{{\left( {25 - 29} \right)}^2} + {{\left( {26 - 29} \right)}^2} + {{\left( {28 - 29} \right)}^2} + {{\left( {31 - 29} \right)}^2} + {{\left( {33 - 29} \right)}^2} + {{\left( {33 - 29} \right)}^2} + {{\left( {27 - 29} \right)}^2}}}{7} = 9,43\]
Độ lệch chuẩn cần tính là: \(s \approx \sqrt {9,43} \approx 3,07\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {15;1} \right)\)đến đường thẳng \[\Delta :x - 3y - 2 = 0\] là
\(\sqrt 2 \).
\(\sqrt {10} \).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {15;1} \right)\)đến đường thẳng \[\Delta \] là: \[d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {15 - 3.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {10} \].
Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua \(3\) điểm\[A\left( {0;5} \right),B\left( {3;4} \right),C( - 4;3)\].
\[( - 6; - 2)\].
\[( - 1; - 1)\].
\[\left( {3;1} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\)là tâm đườn tròn.
Do\(I\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm \[A\left( {0;5} \right),B\left( {3;4} \right),C( - 4;3)\]nên
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {\left( { - 4 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 0\\ - 2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Vậy tâm \(I\left( {0;0} \right)\).
Viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình \(x + 1 = 0\).
\({y^2} = 2x\).
\({y^2} = 4x\).
\(y = 4{x^2}\).
\({y^2} = 8x\).
Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\)
Đường chuẩn \(x + 1 = 0\) suy ra \(\frac{p}{2} = 1\) \( \Rightarrow 2p = 4\) \( \Rightarrow {y^2} = 4x\).
Vậy \({y^2} = 4x\).
Trong kì thi TN THPT Quốc gia năm \(2023\) tại một điểm thi có \(5\) sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thí sinh ở \(5\)vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng \(1\) sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 sinh viên đó?
\(120\).
\[25\].
\[10\].
\[24\].
Số cách phân công: \(5! = 120\) cách.
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ\(15\) số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số lẻ là:
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{8}{{15}}\).
\(\frac{4}{{15}}\).
\(\frac{1}{{14}}\).
Không gian mẫu \(C_{15}^2 = 105\).
Để tổng hai số là một số lẻ ta chọn 1 số lẻ và 1 số chẵn nên ta có \(8.7 = 56\).
Xác suất cần tìm là \(\frac{{56}}{{105}} = \frac{8}{{15}}\).
Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 người. Xác suất để 2 người được chọn có ít nhất một nữ bằng
\(\frac{8}{{15}}\).
\(\frac{7}{{15}}\).
\(\frac{1}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
Tổ có tất cả \(7 + 3 = 10\) người.
Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 10 người có \(C_{10}^2\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\).
Gọi biến cố \[A\]: “2 người được chọn có ít nhất một nữ”.
Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 1 nam có \(C_3^1.C_7^1 = 21\).
Trường hợp 2: Chọn 2 nữ có \(C_3^2 = 3\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 + C_3^2 = 21 + 3 = 24\).
Vậy xác suất để 2 người được Chọn Có ít nhất một nữ là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{45}} = \frac{8}{{15}}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trên một giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(5\) quyển sách Vật lí và \(6\) quyển sách Hóa học. Các quyển sách đôi một khác nhau.
Có \(15\) cách lấy một quyển sách tùy ỳ từ giá sách.
Có \(9\) cách lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
Có \(10\) cách lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
Có \(120\) cách lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
a) Đúng: Trên giá sách có \(4 + 5 + 6 = 15\) quyển sách.
Lấy \(1\) quyển tùy ý từ \(15\) quyển nên có 15 cách lấy.
b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có \(4 + 5 = 9\) cách lấy.
c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.{\rm{6}} = 24\) cách lấy.
d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.5.{\rm{6}} = 120\) cách lấy.
Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia năm 2023 (số liệu gần đúng).
Xét tính đúng sai trong các mệnh đề sau:
Số trung bình của mẫu số liệu là \(24501,3\).
Mốt của mẫu số liệu là \(20120\).
Trung vị của mẫu số liệu là \(21315\).
Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Mỹ Đình thì mốt của mẫu số liệu không thay đổi.
a) Sai: Số trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline x = \frac{{20120 + 21315 + 23405 + 20120 + 37546}}{5} = 24501,2\)
b) Đúng: Giá trị \(20120\) có tần số xuất hiện nhiều nhất do đó mốt của mẫu số liệu là \({M_o} = 20120\)
c) Đúng: Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm \(20120\,\,\,20120\,\,\,21315\,\,\,23405\,\,\,37546\).Trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = 21315\)
d) Đúng: Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Mỹ Đình. Khi đó sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm \(20120\,\,\,20120\,\,\,21315\,\,\,23405\,\,\,\).
Mốt của mẫu số liệu là \({M_o} = 20120\)
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
Hypebol\(\left( H \right)\) có toạ độ tiêu điểm \[{F_1}\left( { - 5;0} \right)\,,\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\].
Hypebol\(\left( H \right)\) có độ dài trục thực bằng \(16\).
Hypebol\(\left( H \right)\) có độ dài trục ảo bằng \(4\).
Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 10.
a) Đúng: Ta có \[c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)\].
b) Sai: Độ dài trục thực \[2a = 2\sqrt {16} = 8\].
c) Sai: Độ dài trục ảo \[2b = 2\sqrt 9 = 6\].
d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là \[\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8\].
Lớp 11A có \[7\] học sinh nữ và \[13\] học sinh nam. Cô chủ nhiệm chọn ra \[5\] bạn để tham gia văn nghệ.Hãy xác định định đúng – sai của các khẳng định sau:
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được đúng \[3\] học sinh nam là\[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{C_{20}^5}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\]học sinh nữ là \[\frac{{429}}{{5168}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là \[\frac{{1603}}{{7752}}\].
Không gian mẫu là \[C_{20}^5 = 15504\].
a) Đúng: Số cách chọn \[5\] học sinh nữ từ \[7\] học sinh nữ là \[C_7^5 = 21\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}\].
b) Đúng: Để chọn đúng \[3\] học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn \[3\] nam và \[2\] nữ.
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[3\] nam và \[2\] nữ là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}\].
c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là chọn được \[5\] học sinh nam”
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là \[\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}\].
d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp
Trường hợp 1: \[3\] nữ \[2\] nam
Trường hợp 2: \[4\] nữ \[1\] nam
Trường hợp 3: \[5\] nữ
Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là
\[\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}\].
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một cửa hàng đồ chơi có 8 loại ô tô khác nhau, 7 loại máy bay khác nhau và \(10\) món đồ chơi xếp hình khác nhau. Bạn Minh muốn mua hai món đồ chơi khác loại. Hỏi có bao nhiêu cách?
Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.8 = 56\) cách chọn một ô tô và một máy bay.
Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(8.10 = 80\) cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.
Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.10 = 70\) cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.
Vậy theo quy tắc cộng có \(56 + 70 + 80 = 206\) cách mua hai món đồ chơi khác loại.
Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong \[9\] ngày như sau:
\[7\;\;\;\;\;8\;\;\;\;\;\;22\;\;\;\;\;\,20\;\;\;\;\;\;15\;\;\;\;\;\;18\;\;\;\;\;\;19\;\;\;\;\;\;13\;\;\;\;\;\;11\].
Xác định khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu.
Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
\[7\;\;\;\;\,\,\,\;8\;\;\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;\;\;13\;\;\;\;\;\;\;15\;\;\;\;\;\;\;18\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;\;\;\;\;20\;\;\;\;\;\;\;22\]
Vì \(n = 9\) là số lẻ nên \({Q_2}\) là giá trị ở chính giữa: \({Q_2} = 15\)
Ta tìm \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\):
\[7\;\;\;\;\,\,\,\,\,\;8\;\;\;\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;\;\;13\].
và ta tìm được \({Q_1} = \left( {8 + 11} \right):2 = 9,5\).
Ta tìm \({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\):
\[18\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;\;\;\;\;20\;\;\;\;\;\;\;22\].
và tìm được \({Q_3} = \left( {19 + 20} \right):2 = 19,5\).
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = 19,5 - 9,5 = 10\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\],cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 5\). Chân các đường cao kẻ từ \(B,C\) lần lượt là \(H\left( {3;1} \right),K\left( {0; - 3} \right)\). Tính bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCHK\), biết rằng điểm A có tung độ dương.
![Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\],cho t (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/4-1766030962.png)
Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).
Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).
Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].
Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).
Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[BCHK\] có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\).
Trong một trường THPT có 8 lớp 10, mỗi lớp cử 2 học sinh đi tham gia buổi họp của đoàn trường. Trong buổi họp ban tổ chức cần chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh của khối 10 để phát biểu ý kiến. Có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 học sinh được chọn có đúng hai học sinh học cùng một lớp.
Cách 1.
Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:
Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có \[C_{16}^4 = 1820\]cách.
Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có \[C_8^2 = 28\] cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)
Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có \[C_8^4.2.2.2.2 = 1120\] cách
(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có \[C_8^4\] cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)
Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là \[1820 - 28 - 1120 = 672\] cách.
Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.
Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.
Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.
Trong 7 lớp còn lại có tất cả \[C_{14}^2\] cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có \[C_{14}^2 - 7 = 84\] cách chọn 2 học sinh không cùng lớp
Tương tự cho 7 trường hợp còn lại
Vậy có \[8.1.84 = 672\] cách.
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4 biết rằng chữ số 1 có mặt đúng hai lần, các chữ số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần.
Xem 2 chữ số 1 là giống nhau, từ 5 số đó chọn lập được \(5!\) số.
Nhưng thực tế hai chữ số 1 giống nhau nên có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) số.
Một đa giác đều có \(32\) đỉnh. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh của đa giác đó. Xác suất để \(3\) đỉnh được chọn là \(3\) đỉnh của một tam giác vuông nhưng không cân là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 3a\)
Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960\).
Đa giác đều có \(32\) đỉnh sẽ có \(16\) đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Mà cứ \(2\) đường chéo sẽ tạo thành \(1\) hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành \(4\) tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là \(4C_{16}^2 = 480\).
Mặt khác, trong số \(C_{16}^2\) hình chữ nhật lại có \(8\) hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là \(4 \cdot 8 = 32\).
Gọi \(X\) là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”\( \Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448\).
Xác suất của biến cố \(X\) là:
\(P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113\).
