Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Một học sinh muốn mua một phần quà tặng mẹ nhân ngày 8/3 bao gồm \(1\) bông hoa hồng và \(1\) cái thiệp. Biết rằng cửa hàng có \(8\) bông hoa hồng với các màu khác nhau và \(10\) cái thiệp với họa tiết khác nhau dành tặng mẹ, hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu sự lựa chọn cho phần quà?
\(80\).
\(1\).
\(18\).
\(2\).
Để có một phần quà tặng mẹ, học sinh đó cần thực hiện hai công đoạn:
Công đoạn 1: chọn 1 bông hoa hồng có \(8\) cách.
Công đoạn 2: chọn 1 cái thiệp có \(10\) cách.
Theo quy tắc nhân, học sinh đó có \(8.10 = 80\) cách chọn một phần quà tặng mẹ.
Số cách xếp \(6\) nam sinh và \(9\) nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có \(15\) chỗ ngồi là
\(9!.6\).
\(15!\).
\(9!.6!\).
\(9! + 6!\).
Xếp nam sinh và nữ sinh vào một dãy ghê hàng ngang có chỗ ngồi có cách.
Đa thức \[P\left( x \right) = {x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\] là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
\({\left( {x - y} \right)^5}\)
\({\left( {x + y} \right)^5}\).
\({\left( {2x - y} \right)^5}\).
\({\left( {x - 2y} \right)^5}\).
Nhận thấy \(P\left( x \right)\) có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của \({x^5}\) bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khai triển số hạng cuối của đáp án A là \( - {y^5}\)).
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 17658\) biết \[\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16.\]
17700.
17800.
17500.
17600.
Lời giải\[\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16 \Rightarrow d = 16\](hàng chục)\( \Rightarrow \)làm tròn số \(a = 17658\) đến hàng trăm, kết quả là \(17700\)
Theo kết quả thống kê điểm thi học kỳ 1 môn toán khối 10 của một trường THPT, người ta tính được phương sai của bảng thống kê đó là \({S^2} = 0,573\). Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó gần nhất với số nào sau đây.
\(0,812\).
\(0,757\).
\(0,936\).
\(0,657\).
Lời giảiTa có công thức tính độ lệch chuẩn là \(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {0,573} \approx 0,757\).
Nếu tứ phân vị của mẫu số liệu theo thứ tự là \(m,n,p\) thì khoảng tứ phân vị là:
\(p - m\).
\(n - m\).
\(p - n\).
\(n - p\).
Lời giảiKhoảng tứ phân vị khi đó là:\(p - m\)
Tìm côsin góc giữa \[2\] đường thẳng \[{\Delta _1}\]: \[10x + 5y - 1 = 0\]và \[{\Delta _2}\]:\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\].
\[\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[\frac{3}{5}\].
\[\frac{3}{{10}}\].
Vectơ pháp tuyến của \[{\Delta _1},\;\,\,{\Delta _2}\;\]lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;1),\overrightarrow {{n_2}} = (1;1).\)
\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\]
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm \(I\left( {2;0} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):x - y + 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\)có phương trình là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8\)
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 2\sqrt 2 \).
\({(x - 2)^2} + {y^2} = 2\)
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\)
Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(R = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2 \).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8\).
Phương trình chính tắc của đường Elip đi qua điểm \(\left( {5;0} \right)\)và có tiêu cự bằng \[2\sqrt 5 \] là
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\].
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\].
Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\2c = 2\sqrt 5 \\{b^2} = {a^2} - {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.\]. Vậy elip có phương trình chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\].
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số \(1,2,3,4...,9\). Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
\(\frac{5}{{18}}\).
\(\frac{{13}}{{18}}\).
\(\frac{8}{9}\).
\(\frac{1}{6}\).
Ta có số cách lấy ngẫu nhiên hai thẻ là \(C_9^2 = 36\) \( \Rightarrow \) \(n\left( \Omega \right) = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Tích nhận được là số chẵn”.
Trường hợp 1: Cả 2 thẻ đều ghi số chẵn. Số cách là: \(C_4^2 = 6\).
Trường hợp 2: Một thẻ ghi số chẵn và một thẻ ghi số lẻ. Số cách là \(C_4^1.C_5^1 = 20\).
\( \Rightarrow \) \(n\left( A \right) = 6 + 20 = 26\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{26}}{{36}} = \frac{{13}}{{18}}\).
Có hai cái hộp, mỗi hộp chứa \(5\) cái thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(5\). Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ. Xác suất để \(2\)thẻ rút ra đều ghi số lẻ là
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{9}{{25}}\].
\[\frac{3}{{10}}\].
\[\frac{3}{5}\].
Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 25\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(2\)thẻ rút ra đều ghi số lẻ”. Vì mỗi hộp có 3 thẻ ghi số lẻ nên \(n\left( A \right) = 3.3 = 9\)
Do đó: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{25}}\).
Một hộp chứa \(20\) chiếc thẻ được đánh số từ \(1\) đến 20. Rút ngẫu nhiên đồng thời \(3\) thẻ. Tính xác suất để rút được ít nhất \(1\) thẻ mang số chia hết cho \(5\).
\(\frac{{11}}{{19}}\).
\(\frac{8}{{19}}\).
\(\frac{{29}}{{57}}\).
\(\frac{{28}}{{57}}\).
Rút ngẫu nhiên \(3\) thẻ trong hộp chứa \(20\) chiếc thẻ nên \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^3\).
Xét biến cố \(A\): “Rút được ít nhất \(1\) thẻ mang số chia hết cho \(5\)”, có biến cố đối \(\overline A \): “Rút được \(3\) thẻ đều mang số không chia hết cho \(5\)”
Trong \(20\) chiếc thẻ được đánh số từ \(1\) đến 20 có \(4\) thẻ ghi số chia hết cho \(5\) và \(16\) thẻ ghi số không chia hết cho \(5\) nên \(n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^3\). Vậy \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{16}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{28}}{{57}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{29}}{{57}}\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tập \(A = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Có thể lập được \(16\) số có \(2\) chữ số từ các chữ số ở tập \(A\).
Có thể lập được \(16\) số có \(2\) chữ số khác nhau từ các chữ số ở tập \(A\).
Có thể lập được \(8\) số chẵn có 2 chữ số khác nhau từ các chữ số ở tập \(A\).
Có thể lập được 8 số lẻ có 2 chữ số từ các chữ số ở tập \(A\).
a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)
Vì số cần tìm có 2 chữ số nên \(a\) có 4 cách chọn, \(b\) có 4 cách chọn.
Như vậy, ta có \(4.4 = 16\) số có hai chữ số được lập từ tập hợp \(A\).
b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)
Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên \(a\) có 4 cách chọn, \(b\) có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có \(4.3 = 12\) số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp \(A\).
c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)
Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên \(b\) có 2 cách chọn, \(a\) có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có \(2.3 = 6\) số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp \(A\).
d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)
Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên \(b\) có 2 cách chọn, \(a\) có 4 cách chọn.
Như vậy, ta có \(2.4 = 8\) số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp \(A\).
Một công ty sử dụng dây chuyền \(A\) để đóng vào bao với khối lượng mong muốn là \(5{\rm{\;kg}}\). Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là \(5 \pm 0,2{\rm{\;kg}}\). Gọi \(\overline a \) là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyền \(A\) đóng gói. Khi đó:
Số đúng là: \(a = 0,2\).
Số gần đúng là: \(\overline a = 5,2\).
Độ chính xác là: \(d = 0,2\).
Giá trị của \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {4,8;5,2} \right]\).
a) Sai: Theo định nghĩa số đúng là \(a = 5\).
b) Sai: Số gần đúng là: \(\overline a = 5,2\).
c) Đúng: Độ chính xác là: \(d = 0,2\).
d) Đúng: Giá trị của \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {4,8;5,2} \right]\).
Cho elip \[\left( E \right)\]có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tiêu cự của elip bằng \(2\sqrt 3 \).
Điểm \(N\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) thuộc elip.
Độ dài \(M{F_1} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).
Phương trình chính tắc của Elip \(\left( E \right)\)là \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
a) Đúng: Tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)
b) Sai: Điểm \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) đối xứng với \(M\) qua trục tung. Do đó \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)thuộc Elip.
c) Sai: Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).
d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\) \(\left( 1 \right)\)
\(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\) \(\left( 2 \right)\)
Giải hệ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình elip là: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Một hộp có \(15\) quả cầu trắng, \(5\) quả cầu đen. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên \(3\) quả cầuHãy xác định định đúng – sai của các khẳng định sau:
Không gian mẫu của phép thử là:\(1140\)
Xác suất để chọn được 2 quả cầu trắng là: \(\frac{7}{{76}}\)
Xác suất để chọn được ít nhất một quả cầu đen là: \(\frac{{137}}{{228}}\)
Xác suất để chọn được 3 quả cầu thuộc hai loại khác nhau là: \(\frac{{35}}{{76}}\)
a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^3 = 1140\).
b) Sai: Gọi \(A\)là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^2.C_5^1 = 525\)
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{525}}{{1140}} = \frac{{35}}{{76}}\).
c) Đúng: Gọi \(B\)là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn \(\overline B \) là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng\( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = C_{15}^3 = 455\)
Xác suất của biến cố \(\overline B \) là: \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{455}}{{1140}} = \frac{{91}}{{228}}\).
Xác suất của biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{91}}{{228}} = \frac{{137}}{{228}}\).
d) Sai: Gọi \(C\)là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.
Trường hợp 1: Chọn \(1\) quả trắng, \(2\) quả đen\( \Rightarrow \)có: \(C_{15}^1.C_5^2 = 150\) cách.
Trường hợp 2: Chọn \(2\) quả trắng, \(1\) quả đen\( \Rightarrow \)có: \(C_{15}^2.C_5^1 = 525\) cách.
\( \Rightarrow n\left( C \right) = 150 + 525 = 675\)cách.
Xác suất của biến cố \(C\) là: \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{675}}{{1140}} = \frac{{45}}{{76}}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong một giải thi đấu cờ vua gồm có cả nam và nữ vận động viên tham gia, mỗi vận động viên phải chơi hai ván cờ với từng vận động viên còn lại. Biết rằng có hai vận động viên nữ tham gia giải và số ván cờ vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván cờ họ chơi với vận động viên nữ là \(66\). Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván cờ tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu?
Gọi tổng số vận động viên tham gia giải đấu là: \(n\,\,(n \in \mathbb{N}*,n > 2)\).
Số vận động viên nam tham gia giải đấu là: \(n - 2\).
Số ván cờ các vận động viên nam chơi với nhau là: \(2.C_{n\, - 2}^2 = 2.\frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 4} \right)!}} = (n - 2)(n - 3)\).
Số ván cờ các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là: \(2.(n - 2).2 = 4(n - 2)\).
Theo đề bài ta có: \((n - 2)(n - 3) - 4(n - 2) = 66 \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 52 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 13\,\,\left( {t/m} \right)}\\{n = - \,4\,\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy có 13 vận động viên tham dự giải và có tất cả \(2.C_{13}^2 = 156\) ván cờ.
Số liệu ghi lại điểm \(40\) học sinh của lớp 10/1 trong một bài kiểm tra thường xuyên môn Toán như sau:
Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
Tổng số học sinh là \(40\) học sinh nên dãy số liệu trên khi sắp xếp theo thứ tự không giảm là: \(3\); \(3\); \(4\); \(4\); \(4\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(10\).
Vị trí thứ \(20\) là \(6\) và vị trí thứ \(21\) trong dãy số liệu là \(7\) nên trung vị là \[\frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\].
Cho đường thẳng \[{\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0\] với \[m\] là tham số, và điểm \[A\left( { - 3;9} \right)\]. Giả sử \[m = \frac{a}{b}\] (là phân số tối giản) để khoảng cách từ \[A\] đến đường thẳng \[{\Delta _m}\] là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức \[S = 2a - b.\]
Ta có \({\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0\)
Khi đó, \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {2;3} \right)\).
Gọi \(d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}\) \( \Rightarrow d \le AM\).
\( \Rightarrow d\) lớn nhất khi \(H \equiv M\) hay \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)\) và \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)\).
Đường thẳng \(AM \bot {\Delta _m}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0\)
\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6,\,\,7,\,\,8,\,\,9} \right\}\). Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?
Gọi số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abcd} ;a \ne 0\).
Trường hợp 1: Số được lập có \(4\) chữ số chẵn, có \(4! = 24\) (số).
Trường hợp 2: Số được lập có \(1\) chữ số lẻ và \(3\) chữ số chẵn:
Chọn 1 số lẻ có 5 cách
Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách
Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: \(A_4^3\) cách
Suy ra, có \(5.4.A_4^3 = 480\) (số).
Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn,
Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)
Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: \(A_5^2\) cách
Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: \(A_4^2\) cách
Suy ra, có \(3.A_5^2.A_4^2 = 720\) (số).
Do đó, số các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: \(24 + 480 + 720 = 1224\).
Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = a + b\)
Không gian mẫu\(\Omega \Rightarrow \) \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^3\)
Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"
Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: \(C_6^1 \cdot C_5^2 = 60\) cách.
Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: \(C_6^3 = 20\)
Do đó \(n\left( A \right) = 60 + 20 = 80 \Rightarrow \)\(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49\)
Một tổ gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = 2a + b\).
Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu \[ \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 10!\]. Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD
Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)
Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”
Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có \[4!\] (cách)
Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có \[A_6^2.A_4^2.A_2^2\] (cách)
\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2 = 17280\].
Vậy xác suất cần tìm là \[P\left( A \right) = \frac{{17280}}{{10!}} = \frac{1}{{210}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 210\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 212\].
