Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Để có một phần quà tặng mẹ, học sinh đó cần thực hiện hai công đoạn:

Công đoạn 1: chọn 1 bông hoa hồng có \(8\) cách.

Công đoạn 2: chọn 1 cái thiệp có \(10\) cách.

Theo quy tắc nhân, học sinh đó có \(8.10 = 80\) cách chọn một phần quà tặng mẹ.

Nhận thấy \(P\left( x \right)\) có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của \({x^5}\) bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khai triển số hạng cuối của đáp án A là \( - {y^5}\)).

Vectơ pháp tuyến của \[{\Delta _1},\;\,\,{\Delta _2}\;\]lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (2;1),\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1).\)

\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\]

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(R = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2 \).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8\).

Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\2c = 2\sqrt 5 \\{b^2} = {a^2} - {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.\]. Vậy elip có phương trình chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\].

Ta có số cách lấy ngẫu nhiên hai thẻ là \(C_9^2 = 36\) \( \Rightarrow \) \(n\left( \Omega  \right) = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Tích nhận được là số chẵn”.

Trường hợp 1: Cả 2 thẻ đều ghi số chẵn. Số cách là: \(C_4^2 = 6\).

Trường hợp 2: Một thẻ ghi số chẵn và một thẻ ghi số lẻ. Số cách là \(C_4^1.C_5^1 = 20\).

\( \Rightarrow \) \(n\left( A \right) = 6 + 20 = 26\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{26}}{{36}} = \frac{{13}}{{18}}\).

Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 25\).

Gọi \(A\) là biến cố: “\(2\)thẻ rút ra đều ghi số lẻ”. Vì mỗi hộp có 3 thẻ ghi số lẻ nên \(n\left( A \right) = 3.3 = 9\)

Do đó: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{9}{{25}}\).

Rút ngẫu nhiên \(3\) thẻ trong hộp chứa \(20\) chiếc thẻ nên \(n\left( \Omega  \right) = C_{20}^3\).

Xét biến cố \(A\): “Rút được ít nhất \(1\) thẻ mang số chia hết cho \(5\)”, có biến cố đối \(\overline A \): “Rút được \(3\) thẻ đều mang số không chia hết cho \(5\)”

Trong \(20\) chiếc thẻ được đánh số từ \(1\) đến 20 có \(4\) thẻ ghi số chia hết cho \(5\) và \(16\) thẻ ghi số không chia hết cho \(5\) nên \(n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^3\). Vậy \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{16}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{28}}{{57}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{29}}{{57}}\)

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)

Vì số cần tìm có 2 chữ số nên \(a\) có 4 cách chọn, \(b\) có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có \(4.4 = 16\) số có hai chữ số được lập từ tập hợp \(A\).

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)

Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên \(a\) có 4 cách chọn, \(b\) có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có \(4.3 = 12\) số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp \(A\).

c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)

Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên \(b\) có 2 cách chọn, \(a\) có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có \(2.3 = 6\) số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp \(A\).

d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \) với \(a\,;\,b \in A\)

Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên \(b\) có 2 cách chọn, \(a\) có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có \(2.4 = 8\) số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp \(A\).

a) Sai: Theo định nghĩa số đúng là \(a = 5\).

b) Sai: Số gần đúng là: \(\overline a  = 5,2\).

c) Đúng: Độ chính xác là: \(d = 0,2\).

d) Đúng: Giá trị của \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {4,8;5,2} \right]\).

a) Đúng: Tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)

b) Sai: Điểm \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) đối xứng với \(M\) qua trục tung. Do đó \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\) \(\left( 1 \right)\)

\(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\) \(\left( 2 \right)\)

Giải hệ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình elip là: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử \(n\left( \Omega  \right) = C_{20}^3 = 1140\).

b) Sai: Gọi \(A\)là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^2.C_5^1 = 525\)

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{525}}{{1140}} = \frac{{35}}{{76}}\).

c) Đúng: Gọi \(B\)là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn \(\overline B \) là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng\( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = C_{15}^3 = 455\)

Xác suất của biến cố \(\overline B \) là: \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{455}}{{1140}} = \frac{{91}}{{228}}\).

Xác suất của biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{91}}{{228}} = \frac{{137}}{{228}}\).

d) Sai: Gọi \(C\)là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.

Trường hợp 1: Chọn \(1\) quả trắng, \(2\) quả đen\( \Rightarrow \)có: \(C_{15}^1.C_5^2 = 150\) cách.

Trường hợp 2: Chọn \(2\) quả trắng, \(1\) quả đen\( \Rightarrow \)có: \(C_{15}^2.C_5^1 = 525\) cách.

\( \Rightarrow n\left( C \right) = 150 + 525 = 675\)cách.

Xác suất của biến cố \(C\) là: \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{675}}{{1140}} = \frac{{45}}{{76}}\).

Gọi tổng số vận động viên tham gia giải đấu là: \(n\,\,(n \in \mathbb{N}*,n > 2)\).

Số vận động viên nam tham gia giải đấu là: \(n - 2\).

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với nhau là: \(2.C_{n\, - 2}^2 = 2.\frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 4} \right)!}} = (n - 2)(n - 3)\).

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là: \(2.(n - 2).2 = 4(n - 2)\).

Theo đề bài ta có: \((n - 2)(n - 3) - 4(n - 2) = 66 \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 52 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 13\,\,\left( {t/m} \right)}\\{n =  - \,4\,\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy có 13 vận động viên tham dự giải và có tất cả \(2.C_{13}^2 = 156\) ván cờ.

Tổng số học sinh là \(40\) học sinh nên dãy số liệu trên khi sắp xếp theo thứ tự không giảm là: \(3\); \(3\); \(4\); \(4\); \(4\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(5\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(6\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(7\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(8\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(10\).

Vị trí thứ \(20\) là \(6\) và vị trí thứ \(21\) trong dãy số liệu là \(7\) nên trung vị là \[\frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\].

Ta có \({\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0\)

Khi đó, \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {2;3} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}\) \( \Rightarrow d \le AM\).

\( \Rightarrow d\) lớn nhất khi \(H \equiv M\) hay \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)\) và \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)\).

Đường thẳng \(AM \bot {\Delta _m}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u  = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3\).

Gọi số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abcd} ;a \ne 0\).

Trường hợp 1: Số được lập có \(4\) chữ số chẵn, có \(4! = 24\) (số).

Trường hợp 2: Số được lập có \(1\) chữ số lẻ và \(3\) chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: \(A_4^3\) cách

Suy ra, có \(5.4.A_4^3 = 480\) (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: \(A_5^2\) cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: \(A_4^2\) cách

Suy ra, có \(3.A_5^2.A_4^2 = 720\) (số).

Do đó, số các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: \(24 + 480 + 720 = 1224\).

Không gian mẫu\(\Omega  \Rightarrow \) \(n\left( \Omega  \right) = C_{11}^3\)

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: \(C_6^1 \cdot C_5^2 = 60\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: \(C_6^3 = 20\)

Do đó \(n\left( A \right) = 60 + 20 = 80 \Rightarrow \)\(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49\)

Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu \[ \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 10!\]. Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có \[4!\] (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có \[A_6^2.A_4^2.A_2^2\] (cách)

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2 = 17280\].

Vậy xác suất cần tìm là \[P\left( A \right) = \frac{{17280}}{{10!}} = \frac{1}{{210}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 210\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 212\].