Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Một tổ có \[5\] học sinh nữ và \[7\] học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?
\[35\].
\[30\].
\[24\].
\[12\].
Số cách chọn ngẫu nhiên một học sinh đi trực nhật là: \[5 + 7 = 12\] (cách).
Cho đa giác đều có \(10\)cạnh. Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác đã cho là
\[720\]
\[60\]
\[240\]
\[120\]
Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác đã cho là \[C_{10}^3 = 120\]
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\)
\(4\).
\(5\).
\(6\).
\(2\).
Ta có trong khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n}\) thì có \(n + 1\) số hạng.
Vì vậy trong khai triển \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\) có \[5 + 1{\rm{ }} = 6\] số hạng.
Quy tròn số \(7216,4\) đến hàng đơn vị, ta được số \(7216\). Sai số tuyệt đối là:
\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
\(0,6\).
Sai số tuyệt đối là: \(\Delta = \left| {7216,4 - 7216} \right| = 0,4\).
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu: \[4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}10;{\rm{ }}8;{\rm{ }}6;{\rm{ }}12;{\rm{ }}10\]
\(R = 4\)
\(R = 8\)
\(R = 10\)
\(R = 6\)
Ta có: \({x_1} = 4{\rm{ }};\,{\rm{ }}{x_n} = {x_7} = 12\)\( \Rightarrow R = 12 - 4 = 8\)
Năng suất lúa (đơn vị: tạ/ha) của 120 thửa ruộng ở một cánh đồng.
Tứ phân vị dưới của bảng số liệu trên là \({Q_1}\). Chọn khẳng định đúng?
\({Q_1} = 33\).
\({Q_1} = 34\).
\({Q_1} = 40\).
\({Q_1} = 32\).
Mẫu trên có 120 giá trị nên \({Q_1} = \frac{{32 + 34}}{2} = 33\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(3x - 2y + 2024 = 0\). Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\)
\(\overrightarrow n = \left( {3\;;\;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2\;;\;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3\;;\; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2\;;\; - 3} \right)\).
Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\): \(3x - 2y + 2024 = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {3\;;\; - 2} \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\). Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) là:
\( - x + 2y + 2 = 0\).
\(x - 2y + 2 = 0\).
\(x + 2y - 2 = 0\).
\(x - 2y - 2 = 0\).
Xét đường thẳng \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\). Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) khi \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\).
Ta thấy: \[d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.3 + 2} \right|}}{5} = \sqrt 5 = R.\]
Suy ra \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\). Chọn \(x - 2y + 2 = 0\).
Đường thẳng nào dưới đây là một đường chuẩn của hypebol \[\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\]?
\[x - \frac{3}{4} = 0\].
\[x + 8 = 0\].
\[x + 2 = 0\].
\[x + \frac{{8\sqrt 7 }}{7} = 0\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 12\\{c^2} = {a^2} + {b^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\sqrt 3 \\c = 2\sqrt 7 \end{array} \right.\].
Tâm sai \[e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}.\] Đường chuẩn: \[x + \frac{{8\sqrt 7 }}{7} = 0\]và \[x - \frac{{8\sqrt 7 }}{7} = 0\]
Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác định số phần tử của biến cố “Số chấm xuất hiện là số chẵn”.
2.
3.
6.
4.
Gọi \(A\) là biến cố “Số chấm xuất hiện là số chẵn”. Khi đó \(A = \left\{ {2;\,4;\,6} \right\}\). Do đó \(n\left( A \right) = 3\).
Một tổ có \(7\) người trong đó có An và Bình. Hỏi có bao nhiêu cách xếp \(7\) người vào bàn tròn có \(7\) ghế sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau?
\(720\).
\(240\).
\(5040\).
\(120\)..
Ta buộc cặp hai bạn An và Bình và coi là một người thì có tất cả \(6\) người.
Suy ra có \(5!\) cách xếp \(6\) người này vào bàn tròn.
Nhưng hai bạn An và Bình có thể hoán vị để ngồi cạnh nhau.
Vậy có tất cả \(5!.2! = 240\) cách xếp \(7\) người vào bàn tròn có \(7\) ghế sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 3 lần. Xác suất để có ít nhất 1 lần mặt 5 chấm xuất hiện.
\[\frac{5}{{108}}\].
\[\frac{{125}}{{216}}\].
\[\frac{{91}}{{216}}\].
\[\frac{{11}}{{18}}\].
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 6.6.6 = {6^3}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Có ít nhất 1 lần mặt 5 chấm xuất hiện”.
Ta có \(\overline A \) là biến cố: “Không có lần nào xuất hiện mặt 5 chấm”.
Lần gieo thứ nhất: 5 cách.
Lần gieo thứ hai: 5 cách.
Lần gieo thứ ba: 5 cách.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 5.5.5 = 125\)
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{91}}{{216}}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các thành phố \(A\), \(B\), \(C\) được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Có \(2\) cách đi từ thành phố \(C\)đến thành phố \(B\).
Có tất cả \(6\) con đường trong hình vẽ.
Có \(6\) cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) mà qua \(B\) chỉ một lần.
Có \(8\) cách đi xuất phát từ thành phố \(B\) đến thành phố \(A\) và quay ngược lại thành phố \(B\).
a) Đúng: Chỉ có \(2\) con đường nối từ thành phố \(C\) đến thành phố \(B\).
b) Đúng: Có \(4\) con đường nối từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\).
Có \(2\) con đường nối từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\).
Do đó, có tất cả \(4 + 2 = 6\) con đường.
c) Sai: Có \(4\) con đường nối từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\).
Có \(2\)con đường nối từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\).
Do đó, số cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) là: \(4.2 = 8\).
d) Sai: Đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có \(4\) cách và ngược lại.
Do đó, số cách đi cần tìm là \(4.4 = 16\).
Cho ba giá trị gần đúng của \(\frac{3}{7}\) là 0,\(429;0,4\) và 0,42. Khi đó:
Công thức đánh giá sai số tuyệt đối là: \({\rm{\Delta }} = \left| {\overline a - a} \right|\).
Xét số gần đúng 0,429 ta có: \({{\rm{\Delta }}_1} = \left| {\frac{3}{7} - 0,429} \right| < 0,0005\).
Xét số gần đúng 0,4 ta có: \({{\rm{\Delta }}_2} = \left| {\frac{3}{7} - 0,4} \right| < 0,03\).
Xét số gần đúng 0,42 ta có: \({{\rm{\Delta }}_2} = \left| {\frac{3}{7} - 0,42} \right| < 0,009\).
a) Đúng: Ta sử dụng công thức đánh giá sai số tuyệt đối là: \({\rm{\Delta }} = \left| {\overline a - a} \right|\).
b) Đúng: Xét số gần đúng 0,429 ta có: \({{\rm{\Delta }}_1} = \left| {\frac{3}{7} - 0,429} \right| < 0,0005\).
c) Đúng: Xét số gần đúng 0,4 ta có: \({{\rm{\Delta }}_2} = \left| {\frac{3}{7} - 0,4} \right| < 0,03\).
d) Đúng: Xét số gần đúng 0,42 ta có: \({{\rm{\Delta }}_2} = \left| {\frac{3}{7} - 0,42} \right| < 0,009\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):\;{x^2} + {y^2} - 2y - 8 = 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)là điểm \(I\left( {0;1} \right)\).
Điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nằm trên đường tròn.
Tâm đường tròn (C) cách trục \(Oy\) một khoảng bằng 2.
Khi đường thẳng \(\Delta :x + my - 2 = 0\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài bằng 6 thì giá trị \[m = 2\].
a) Đúng : \(\left( C \right):\;{x^2} + {y^2} - 2y - 8 = 0\) nên tâm của \(\left( C \right)\)là \(I\left( {0;1} \right)\).
b) Sai: Xét điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thì VT = \( - 7\) còn VP =\(0\). VT \( \ne \) VP
c) Sai: Trục \(Oy\) có phương trình \[x = 0\]. Khoảng cách từ tâm đường tròn \(\left( C \right)\) đến trục \(Oy\)là \(1\).
d) Đúng: \(\left( {\rm{C}} \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\), bán kính \(R = 3\)
Do \(\Delta \) cắt \(\left( {\rm{C}} \right)\) theo dây cung có độ dài bằng đường kính của \(\left( {\rm{C}} \right)\) nên \(\Delta \) đi qua tâm \(I\) của đường tròn \(\left( {\rm{C}} \right)\). Suy ra: \(0 + m.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Hãy xác định tính đúng - sai của các khẳng định sau:
Không gian mẫu của phép thử là: \[816\].
Xác xuất để chọn được 3 viên bi đỏ là: \[\frac{1}{{272}}\].
Xác xuất để chọn được 3 viên bi gồm 3 màu là: \[\frac{{35}}{{136}}\].
Xác xuất chọn được nhiều nhất 2 viên bi xanh là: \[\frac{{403}}{{408}}\].
a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử là \(n(\Omega ) = C_{18}^3 = 816\).
b) Sai: Gọi \(A\) là biến cố chọn được 3 viên bi đỏ.
Chọn 3 biên bi đỏ trong 6 viên bi đỏ, có \(C_6^3 = 20\)
Xác suất của biến cố \(A\) là: \[P(A) = \frac{{20}}{{816}} = \frac{5}{{204}}\].
c) Đúng: Gọi \(B\) là biến cố chọn được 3 viên bi gồm 3 màu.
Chọn được 3 viên bi gồm 3 màu, có \(C_5^1.C_6^1.C_7^1 = 210\).
Xác suất của biến cố \(B\) là: \[P(B) = \frac{{210}}{{816}} = \frac{{35}}{{136}}\].
d) Đúng: Gọi \(C\) là biến cố chọn được nhiều nhất 2 viên bi xanh.
Trường hợp 1: Chọn 2 bi xanh, 1 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_5^2.C_{13}^1 = 130\)
Trường hợp 2: Chọn 1 bi xanh, 2 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_5^1.C_{13}^2 = 390\)
Trường hợp 3: Chọn 0 bi xanh, 3 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_{13}^3 = 286\)
Suy ra \(n(C) = C_5^2.C_{13}^1 + C_5^1.C_{13}^2 + C_{13}^3 = 806\). Xác suất của biến cố \(C\) là: \[P(C) = \frac{{806}}{{816}} = \frac{{403}}{{408}}\].
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tập hợp \[S\] gồm \[10\] điểm phân biệt, trong đó không có \[3\] điểm nào thẳng hàng. Số tam giác được thành lập có \[3\] đỉnh đều thuộc tập hợp \[S\] là bao nhiêu?
Từ \(3\) điểm không thẳng hàng ta lập được một tam giác
Vậy số tam giác được thành lập có \[3\] đỉnh lấy từ \(10\) điểm thuộc tập hợp \[S\] là \(C_{10}^3 = 120\).
Trong năm học 2022–2023, lớp 10A đạt được điểm số các đợt thi đua nề nếp như sau:
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.
Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu là \(50\)
Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu là 42
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 50 - 42 = 8\).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho điểm \(P\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 36\). Từ điểm \[P\] kẻ các tiếp tuyến \[PM\] và \[PN\] tới đường tròn \(\left( C \right)\), với \[M\], \[N\] là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng \(MN\) có dạng \(ax + by - 1 = 0\). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a + 2b\) bằng bao nhiêu?
Gọi \[I\] là tâm của đường tròn, ta có tọa độ tâm \(I\left( {3;4} \right)\).
Theo đề ra ta có tứ giác \[IMPN\] là hình vuông, nên đường thẳng \[MN\] nhận \(\overrightarrow {IP} = \left( { - 6; - 6} \right)\) làm véctơ pháp tuyến. Đồng thời đường thẳng \[MN\] đi qua trung điểm \(K\left( {0;1} \right)\) của \[IP\].
Vậy phương trình đường thẳng MN: \(1.\left( {x - 0} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(x + y - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\).
Khi đó \(T = a + 2b = 1 + 2.1 = 3\).
Từ các số \[{\rm{1}},{\rm{2}},{\rm{3}},{\rm{4}},{\rm{5}},{\rm{6}}\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.
Lời giải
Gọi \(x = \overline {{a_1}{a_2}...{a_6}} ,{\rm{ }}{a_i} \in \left\{ {{\rm{1}},{\rm{2}},{\rm{3}},{\rm{4}},{\rm{5}},{\rm{6}}} \right\}\) là số cần lập.
Theo bài ra ta có: \({a_1} + {a_2} + {a_3} + 1 = {a_4} + {a_5} + {a_6}\) (1).
Mà \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5},{a_6} \in \left\{ {{\rm{1}},{\rm{2}},{\rm{3}},{\rm{4}},{\rm{5}},{\rm{6}}} \right\}\) và đôi một khác nhau nên
\({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\) (2).
Từ (1), (2) suy ra: \({a_1} + {a_2} + {a_3} = 10\).
Phương trình này có các bộ nghiệm là: \(({a_1},{a_2},{a_3}) = (1,3,6);{\rm{ }}(1,4,5);{\rm{ }}(2,3,5)\).
Với mỗi bộ ta có \(3!.3! = 36\) số.
Vậy có cả thảy \(3.36 = 108\) số cần lập.
Trên kệ sách có 10 quyển sách Toán và 5 quyển sách Văn. Người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 quyển sách mà không để lại. Xác suất để được hai quyển sách đầu là Toán, quyển thứ ba là Văn là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)
Lấy lần lượt \(3\) quyển sách có \(15.14.13 = 2730\) cách.
Lấy \(2\) quyển sách đầu là Toán và quyển còn lại là Văn có \(10.9.5 = 450\) cách.
Xác suất để được hai quyển sách đầu là Toán, quyển thứ ba là Văn: \[\frac{{450}}{{2730}} = \frac{{15}}{{91}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 15\\b = 91\end{array} \right.\].
Khi đó giá trị biểu thức \(T = a + b = 15 + 91 = 106\)
Một hộp đựng bảy quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 7. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 5 và lớn hơn 23.
