Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A=xx+12x−1 và B=1x+x+2xx−1−1x−x.

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(B.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)

c) Rút gọn biểu thức \(B.\)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A.B\) với \(x > 1.\)

(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}.\)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) \(0,5x + 7\left( {x - 2} \right) \le \frac{1}{2}x - 1.\)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) \(\sqrt {18x + 9} - \sqrt {8x + 4} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4.\)

2. Một tổ may gồm 47 công nhân cả nam và nữ được giao nhiệm vụ may 350 chiếc áo cho cổ động viên để cổ vũ đội tuyển U23 Việt Nam tại SEA GAME 31. Để hoàn thành nhiệm vụ, mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo. Tính số công nhân nam và số công nhân nữ của tổ may đó.

3. Tổng chi phí của một doanh nghiệp sản xuất áo sơ mi là 40 triệu đồng/tháng. Giá bán của mỗi chiếc áo sơ mi là 350 nghìn đồng. Doanh nghiệp đó cần thu được lợi nhuận ít nhất là 1,38 tỉ đồng sau 1 năm.

a) Viết bất phương trình mô tả tình huống trên.

b) Hỏi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo sơ mi để đạt được mức lợi nhuận trên?

(1,5 điểm)Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở vị trí \(C\) đã bị gãy ngang tại \(A\) (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng \(BC = 5{\rm{ m}}\). Biết rằng phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\).

a) Viết tỉ số lượng giác sin và tan của góc \(ABC\) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

b) Hỏi chiều cao ban đầu của cây là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

(2,5 điểm) Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và một điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \[\left( O \right)\]. Từ \[A\] vẽ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] của đường tròn \[\left( O \right)\] (\[B,\,\,C\] là hai tiếp điểm). Gọi \[H\] là giao điểm của \[OA\] và \[BC.\]Tia \[AO\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[M,N\] (\[M\] nằm giữa \[A\] và \[N\]).

a) Chứng minh \[OA \bot BC\] và \[AM \cdot AN = AH \cdot AO = A{O^2} - {R^2}.\]

b) Kẻ đường kính \[BD\], gọi \[E\] là hình chiếu của \[C\] trên \[BD\], \[K\] là giao điểm của \[AD\] và \[CE\]. Chứng minh rằng \[K\] là trung điểm của \[CE.\]

c) Giả sử \[OA = 2R\], tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OB,OC\] và cung lớn \[BC.\]

(0,5 điểm) Một người đào ao cá trên thửa ruộng dạng hình tam giác vuông \[ABC\] tại \[A\] có độ dài các cạnh góc vuông \[AB = 6{\rm{ m,}}\]\[AC = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Một chiếc máy xúc ở vị trí điểm \[M\] di chuyển trên bờ \[BC.\] Gọi \[MD\] và \[ME\] là khoảng cách từ \[M\] đến bờ \[AB,AC.\]Người đó đào được ao là hình tứ giác\[ADME\]. Tính diện tích lớn nhất của ao cá mà người đó có thể đào.