Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) – Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

– Xét biểu thức \(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\).

Với \(x \ge 0\), ta có:

⦁\(x + \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\); \(x - \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right);\)\(x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right).\)

⦁\(x \ge 0\) nên \(\sqrt x \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 1 > 0.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(\sqrt x \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0\) hay \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\) là \(x \ge 0,x \ne 1\) và điều kiện xác định của biểu thức \(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\) là \(x > 0,x \ne 1.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \left( {\frac{1}{9} + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{10}}{9}}}{{2\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{27}}}}{{ - \frac{4}{3}}} = - \frac{5}{{18}}.\)

Vậy \(A = - \frac{5}{{18}}\) khi \(x = \frac{1}{9}\).

c) Với \(x > 0,x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

  \( = \frac{{\sqrt x - 1 + 2x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x }}\).

d) Với \(x > 1,\) ta có:

$\mathrm{P}=\mathrm{A}.\mathrm{B}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)}.\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}}=\frac{\mathrm{x}+1}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}=\frac{\mathrm{x}-1+2}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}+1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}+\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}=\sqrt{\mathrm{x}}+1+\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}$

Xét \(P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2\) với \(x > 1.\)

Do \(x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}} \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)

Suy ra \(P \ge 2\sqrt 2 + 2\) với \(x > 1\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\) .

Giải phương trình:

\(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

\({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2\)

\(\sqrt x - 1 = \sqrt 2 \) (do \(\sqrt x - 1 > 0)\)

\(\sqrt x = \sqrt 2 + 1\)

\(x = 3 + 2\sqrt 2 \) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 2\sqrt 2 + 2\) khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\).

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8\)

\(\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8\)

\(2x.\left( { - 2} \right) = 8\)

\( - 4x = 8\)

    \(x = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 2\).

b) \(0,5x + 7\left( {x - 2} \right) \le \frac{1}{2}x - 1\)

\(0,5x + 7x - 14 \le 0,5x - 1\)

\(0,5x + 7x - 0,5x \le 14 - 1\)

                      \(7x \le 13\)

                        \(x \le \frac{{13}}{7}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{{13}}{7}\).

c) \(\sqrt {18x + 9} - \sqrt {8x + 4} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\) (ĐKXĐ: \(x \ge - \frac{1}{2})\)

\(\sqrt {9\left( {2x + 1} \right)} - \sqrt {4\left( {2x + 1} \right)} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(3\sqrt {2x + 1} - 2\sqrt {2x + 1} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(\frac{4}{3}\sqrt {2x + 1} = 4\)

\(\sqrt {2x + 1} = 3\)

    \(2x + 1 = 9\)

    \(2x = 8\)

      \(x = 4\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4\).

2. Gọi \[x,y\] (người) lần lượt là số công nhân nam và nữ của tổ may đó \[\left( {x,y \in \mathbb{N}*\,;\,\,x,y < 47} \right)\].

Vì tổ may gồm 47 công nhân nên \[x + y = 47\].     (1)

Vì mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo, may được tổng cộng 350 chiếc áo nên ta có phương trình \[8x + 7y = 350\].    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\8x + 7y = 350\end{array} \right.\].

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 7, ta được hệ phương trình mới là: \[\left\{ \begin{array}{l}7x + 7y = 329\\8x + 7y = 350.\end{array} \right.\]

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên nên \[x = 21\] (thỏa mãn).

Thay \[x = 21\] vào phương trình (1), ta được: \[21 + y = 47\] nên \[y = 26\] (thỏa mãn).

Vậy tổ có 26 công nhân nam và 21 công nhân nữ.

3. a) Gọi \(x\) là số chiếc áo sơ mi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được \[\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\].

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau 12 tháng là:

\[12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)\] (đồng).

Để doanh nghiệp thu được ít nhất 1,38 tỉ đồng thì:

\[12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]

Vậy bất phương trình cần tìm là \[12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\].

b) Giải bất phương trình

\[12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]

\[7x - 8\,\,200 \ge 2\,\,300\]

\[7x \ge 10\,\,500\]

\(x \ge 1\,\,500\).

Mà \(0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*\) nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

b) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\) hay \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Theo câu a, ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.\)

Mà \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4,47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4,47 = 6,705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\).

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: \[4,47 + 6,705 = 11,175 \approx 11,18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

a) ⦁ Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[AB,AC\] là hai tiếp cắt nhau tại \[A\] nên \[AB = AC\](tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \[A\] thuộc đường trung trực \[BC\].

Mặt khác, \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc trung trực của đoạn thẳng \[BC\].

Suy ra \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\), do đó \[OA \bot BC\] tại \[H\].

⦁ Vì \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\) tại \(B.\)

Xét \[\Delta HAB\] và \[\Delta BAO\] có: \(\widehat {AHB} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) và \(\widehat {OAB}\) là góc chung.

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta BAO$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{HA}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{AO}}\] hay \[AH \cdot AO = A{B^2}\] (1).

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(B,\) ta có: \[A{B^2} = A{O^2} - O{B^2} = A{O^2} - {R^2}\] (định lí Pythagore). (2)

Lại có:

\[AM \cdot AN = \left( {AO - OM} \right)\left( {AO + ON} \right)\]

               \[ = A{O^2} + AO \cdot ON - OM \cdot AO - OM \cdot ON\]

               \[ = A{O^2} - OM \cdot ON\]\[ = A{O^2} - {R^2}\] (vì \(OM = ON = R)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \[AM \cdot AN = AH \cdot AO = A{O^2} - {R^2}.\]

b) ⦁ Ta có: \[CE\,{\rm{//}}\,AB\] (cùng vuông góc với \[BD\])

Suy ra \[\frac{{EK}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{DB}}\] (hệ quả định lí Thalès).

Do đó \[EK.BD = DE.AB\](∗).

⦁ Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BD\) và \(CO = BO = DO = R = \frac{{BD}}{2}\) (do \(BD\) là đường kính) nên \(\Delta BCD\) vuông tại \(C.\)

Ta có \(BC \bot CD,\,\,BC \bot OA\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,OA\), do đó \(\widehat {AOB} = \widehat {CDE}\)(đồng vị)

Xét \[\Delta ABO\] và \[\Delta CED\] có: \(\widehat {ABO} = \widehat {CED} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOB} = \widehat {CDE}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \[\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{{BO}}{{ED}}\] hay \[CE.BO = DE.AB\](∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) suy ra \[EK.BD = CE.BO\].

Mà \[BD = 2BO\], suy ra \[EK \cdot 2BO = CE.BO\], suy ra \[2EK = CE\].

Do đó \[K\] là trung điểm của \[CE.\]

c) Xét \(\Delta AOB\) vuông tại \(B,\) có: \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(\widehat {AOB} = 60^\circ .\)

Do \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[OA\] là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\)

Do đó, số đo cung nhỏ \(BC\) bằng \(120^\circ \).

Suy ra, số đo cung lớn \(BC\) là \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ .\)

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung lớn \[BC\] là

\(S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 240}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}\) (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,\,\,OC\] và cung lớn \[BC\] là \(\frac{{2\pi {R^2}}}{3}\) (đvdt).

Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].

Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AED} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật. Do đó, \[AD = EM = x.\]

Chứng minh được  (g.g), từ đó ta có:

\[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].

Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].

Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:

\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\].

Ta có: \[x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]

                            \[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]

                            \[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].

Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\]với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] khi \[x = 3.\]

Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].

Suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vậy diện tích lớn nhất của \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].