Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 4 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

– Xét biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}\].

Với \(x \ge 0\), ta có:

⦁\[16 - x = \left( {4 + \sqrt x } \right)\left( {4 - \sqrt x } \right) = - \left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\].

⦁\(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 4 > 0.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 4 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và biểu thức \(B\) đều là \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

Vì \(x = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1\) nên \(x = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\) và \(\sqrt x = \sqrt 3 - 1\).

Thay vào \(A\) ta được \(A = \frac{{\sqrt 3 - 1 + 2}}{{\sqrt 3 - 1 - 4}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 5}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}}{{ - 2}}\)\( = - 4 - 3\sqrt 3 \).

Vậy khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \(A = - 4 - 3\sqrt 3 \).

c) Với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 16\,,\) ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 6\sqrt x + 8 + 10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}\].

d) Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).

Phương trình \(\frac{A}{B} = m\) trở thành \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = m\) hay \(\sqrt x + 2 = m\sqrt x \).

Suy ra \(\left( {m - 1} \right)\sqrt x = 2\).

Để phương trình có nghiệm ta cần có \(m - 1 > 0\) hay \(m > 1\), đồng thời \(\frac{2}{{m - 1}} \ne 16\) hay \(m \ne \frac{9}{8}\).

Vậy, với \(m > 1\) và \(m \ne \frac{9}{8}\) thì phương trình \(\frac{A}{B} = m\) có nghiệm.

a) \[\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{{x^2} - 9}}\]

\[\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]

\[x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = - 2x - 6\]

\[{x^2} - 5x - 6 = - 2x - 6\]

\[{x^2} - 3x = 0\]

\(x\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (khôngthỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0.\)

b) ${\left(x+2\right)}^2 <x+x^2 –3$

$x^2+4x+4 <x+x^2 –3$

\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]

\[3x < - 7\]

\[x < - \frac{7}{3}\].

Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]

c) \(\sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} + \sqrt {x - 1} = 16\)     (ĐKXĐ: \(x \ge 1)\)

\(\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} + \sqrt {x - 1} = 16\)

\(3\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} = 16\)

\(2\sqrt {x - 1} = 16\)

\(\sqrt {x - 1} = 8\)

\(x - 1 = 16\)

\(x = 17\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 17.\)

2. Gọi \[x\](học sinh) là số học sinh nữ làm 3 tấm thiệp

\[y\](học sinh) là số học sinh nữ làm 5 tấm thiệp \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\)

⦁Giả sử Bình là nam

Số nam tham gia nghiệm vụ là 34 học sinh; số nữ tham gia nhiệm vụ là 12 học sinh.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\3x + 5y = 34\end{array} \right.\)  (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = - 1\end{array} \right.\) (loại)

Có thể kết luận bằng phương pháp loại suy.

⦁Giả sử Bình là nữ

Số nam tham gia nghiệm vụ là 35 học sinh, số nữ tham gia nhiệm vụ là 11 học sinh.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\3x + 5y = 35\end{array} \right.\) (II)

Giải hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 1\end{array} \right.\) (TM)

Vậy Bình là nữ và có 1 học sinh nữ làm 5 tấm thiệp.

3. a) Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\left( {0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).\)

Số câu trả lời sau là \(25 - x\) (câu).

Trả lời đúng \(x\) câu hỏi được cộng \(2x\) (điểm)

Trả lời sai \(25 - x\) câu hỏi bị trừ \(25 - x\) (điểm)

\(3x - 25 \ge 25\)Vì vậy, sau khi trả lời 25 câu thì người dự thi sẽ có số điểm là:

\(2x - \left( {25 - x} \right) = 2x - 25 + x = 3x - 25\) (điểm).

Theo bài, để được dự thi tiếp vòng sau thì có số điểm từ 25 trở lên, nên ta có bất phương trình

\(3x - 25 \ge 25\).

Vậy bất phương trình cần tìm là \(3x - 25 \ge 25\).

b) Giải bất phương trình \(3x - 25 \ge 25\), ta được:

\(3x \ge 50\)

\(x \ge \frac{{50}}{3}\,\,\,( \approx 16,7)\).

Mà \(0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*\) nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

a) Xét tam giác \(DAH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\sin \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{AD}},\,\,\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{AH}}.\)

Hướng dẫn giải

b) Đặt \[DH = x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\], \[x > 0\].

Xét \[\Delta DHA\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}\] nên \[HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}\].

Xét \[\Delta DHB\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}\] nên \[HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.\]

Ta có: \[HB - HA = AB\] suy ra \[\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56\]

\[x\left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56\]

\[x = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39,65\].

Khi đó \[CD = CH + DH \approx 1,5 + 39,65 \approx 41,15\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng \[41,15\] m.

a) Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] nên \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \[A\] thuộc đường trung trực của \[BC\].

Mà \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc đường trung trực của \[BC\]

Do đó \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\].

b)  Xét \(\Delta OBE\) cân tại \(O\) (do \(OB = OE = R)\) nên

\(\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)

Xét \(\Delta OED\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE = R)\) nên\(2\widehat {ODE} = 180^\circ - \widehat {EOD} = \widehat {BOE}\).

Suy ra \(2\widehat {ODE} = \widehat {BOE}\) hay \(\widehat {ODE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}\). Do đó, \(\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)

Suy ra \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BDA}.\)

Mà \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {ABE}\) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADB\] có: \[\widehat {BAD}\] chung, \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

Do đó  (g.g)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] nên \[A{B^2} = AE \cdot AD\].

c) Xét \(\Delta AOB\) vuông tại \(B,\) có:

\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4},\) suy ra \(\widehat {AOB} = 75^\circ .\)

Do \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[OA\] là tia tiếp tuyến của \(\widehat {BOC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ .\)

Do đó \(\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \) nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là:

\(S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 30}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là \(\frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\)(đvdt).

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt \(CJ = x\,\,\left( {x > 0} \right).\)

Vì \[AJ\,\,{\rm{//}}\,\,KB\] (cùng vuông góc với \(CI\)) nên hai tam giác \(AJC\) và \(BKA\) là hai tam giác đồng dạng nên \(\frac{{JC}}{{KA}} = \frac{{JA}}{{KB}}\) nên \(\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\), suy ra \(KB = \frac{{60}}{x}\)

Diện tích khu nuôi cá là:

\(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

\[S\left( x \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60 \ge 2\sqrt {\frac{{150}}{x} \cdot 6x} + 60 = 2\sqrt {900} + 60 = 120.\]

Dấu  xảy ra khi \[\frac{{150}}{x} = 6x\] nên \({x^2} = 25\), suy ra \(x = 5\,\,{\rm{m}}\)

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)