Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2\) là \(x + 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\) hay \(x \ne - 1;\,\,x \ne 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy phương trình \(5\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) có hai nghiệm, hoặc \(x - 2 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).

Do đó, \(0x + 0y = 4\)không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(a = 0\) và \(b = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..\)

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\) không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 100\)” được viết là \(x \le - 100.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(m > n\) nên \(m + \left( { - 3} \right) > n + \left( { - 3} \right)\) hay \(m - 3 > n - 3.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 5;\)                                         \(\sqrt {{5^2}} = 5;\)

          \(\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} = \left| { - 5} \right| = 5;\)                                   \( - {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = - 5.\)

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \sqrt {1 - 2x} \) là \(1 - 2x \ge 0\) hay \(x \le \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc nhọn \(\alpha \), ta có

\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \,;\,\,\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\)

\[\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \,;\,\,\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha .\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(N\), có: \(NP = MP \cdot \cos P.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(d\left( {O;\,\,d} \right) = 3 < R\), do đó đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( {O;\,\,4\,{\rm{cm}}} \right)\) cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Sai.              d) Đúng.

• Gọi \(x\) là số câu mà thí sinh cần trả lời đúng trong vòng đầu tiên \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

Lúc này, số câu hỏi thí sinh trả lời sai trong vòng đầu tiên là: \(20 - x\) (câu).

Do đó, ý a) là đúng.

• Số điểm thí sinh nhận được khi trả lời đúng \(x\) câu hỏi là: \(8x\) (điểm).

Số điểm thí sinh bị trừ khi trả lời sai \(\left( {20 - x} \right)\) câu hỏi là: \(3\left( {20 - x} \right)\) (điểm).

Số điểm thí sinh có được khi thi xong vòng đầu tiên là: \(10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right)\) (điểm).

Do đó, ý b) là sai.

• Theo bài, thí sinh cần đạt ít nhất \(90\) điểm để vào vòng tiếp theo nên ta có bất phương trình mô tả tình huống bài toán là: \(10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right) \ge 90\).

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

\(10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right) \ge 90\)

\(10 + 8x - 80 + 4x \ge 90\)

\(12x - 70 \ge 90\)

\(12x \ge 160\)

\(x \ge \frac{{160}}{{12}}\)

\(x \ge 13,33333.....\)

Do \(x \in {\mathbb{N}^ * }\) và cần tìm giá trị \(x\) nhỏ nhất nên \(x = 14.\)

Vậy để qua vòng tiếp theo, mỗi thí sinh cần trả lời đúng ít nhất là \(14\) câu.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Sai.                  d) Đúng.

• Xét \[\Delta AKD\] vuông tại \[D\], ta có: \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}\]O10-2024-GV154......... hay \[AK = AD \cdot \tan 36^\circ \].

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: \[FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},\] ta có \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18,164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Ta có\[AH = AK + KH \approx 18,164 + 1,6 = 19,764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn \[AH\] và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét \[\Delta AFK\] vuông tại \[K\], tacó: \[\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18,164}}{{20}}\]O10-2024-GV154........., do đó \[\widehat {KFA} \approx 42^\circ .\]

Vậy góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà khoảng \[42^\circ \].

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định: \(x \ne 2.\)

Ta có: \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

          \(\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

          \(\frac{{1 + 3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

           \(1 + 3\left( {x - 2} \right) = 3 - x\)

           \(1 + 3x - 6 = 3 - x\)

           \(3x - 5 = 3 - x\)

           \(4x = 8\)

            \(x = 2.\)

Mà điều kiện xác định \(x \ne 2\) nên phương trình không có giá trị thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 11

Gọi \(x,\,\,y\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)\) lần lượt là khối lượng táo và xoài mà bác Nam mua \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Theo đề bài, ta có phương trình về khối lượng về táo và xoài là x+y=181

Tổng giá trị của thùng trái cây là \(1\,\,205\,\,000\) đồng nên 65x+70y=1  2052

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\65x + 70y = 1\,\,205\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: \(x = 18 - y\), thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\(65\left( {18 - y} \right) + 70y = 1\,\,205\)

\(65.18 - 65y + 70y = 1\,\,205\)

\(1170 + 5y = 1\,\,205\)

\(5y = 35\)

\(y = 7\) (TMĐK).

Thay \(y = 7\) vào phương trình thứ nhất, ta được: \(x = 18 - 7 = 11\) (TMĐK).
Vậy bác Nam đã mua 11 kg táo.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

\(\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}\)

\(\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x\)

\(9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x\)

\( - x < - 7\)

   \(x > 7\).

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là \(x > 7\).

Do đó, phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8,38

Ta có \(BC \bot OA\) tại trung điểm \[M\] của \[OA\] nên \(BC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(OA.\) Do đó \[OB = AB.\] Mà \[OA = OB\] nên \[OA = OB = AB.\] Suy ra tam giác \[OAB\] là tam giác đều. Do đó \[\widehat {AOB} = 60^\circ .\] Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {AOC} = 60^\circ .\] Ta có   Khi đó số đo cung lớn \[BC\] bằng  Độ dài cung lớn \[BC\] là: \[l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi  = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8,38{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

 

Hướng dẫn giải

a) Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:

\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

b) Ta có: \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}\].

Do đó, để \[T \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{a + 1}}\] là số nguyên.

Suy ra \[a + 1\] là Ư(4).

Vì điều kiện \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] nên ta có \[a + 1 = 4\] suy ra \[a = 3.\]

Vậy \[a = 3\] là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].

Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]

Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].

b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)

Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:

\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]

Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Gọi \[F\] là giao điểm của \[BC,\,\,AE.\] Ta có: \[IC \bot AB\] và \[AF \bot AB\], suy ra \[IC\,{\rm{//}}\,AF\] hay \[IC\,{\rm{//}}\,EF\]. Xét \[\Delta BEF\], có: \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (1) Xét \[\Delta BAE\], có: \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (2) Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}\], mà \[IC = IH\] (do \(I\) là trung điểm của \(CH)\) nên \[EF = EA\] hay \[E\] là trung điểm của \[AF.\] Ta có \[\widehat {FCA} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]) nên \[\Delta FCA\] vuông tại \[C\].   Xét \(\Delta ACF\) vuông tại \(C,\) có \(CE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AF\) nên \[CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.\] Xét \[\Delta CEO\] và \[\Delta AEO\], có: \[CE = AE\], \[OC = OA\] và \[OE\] là cạnh chung Do đó \[\Delta CEO = \Delta AEO\] (c.c.c) Suy ra \[\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng). Ta có: \[\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] hay \[\widehat {ECD} = 180^\circ \]. Vậy ba điểm \[E,C,D\] thẳng hàng.

 

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ dưới đây:

Gọi \[x\] là độ dài cạnh \(AC\) hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn \[\left( {0 < x < 14} \right)\].

Khi đó, ta tính được độ dài cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là:

\[AB = 2AO = 2\sqrt {O{C^2} - A{C^2}} = 2\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Diện tích hình chữ nhật là \[S = 2x\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Ta có: \[{S^2} = 4{x^2}\left( {196 - {x^2}} \right) = - 4{x^4} + 2 \cdot 2{x^2} \cdot 196 - {196^2} + {196^2} = - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2}\] .

Nhận thấy \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} \le 0\], do đó \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2} \le {196^2}\].

Suy ra \[{S^2} \le {196^2}\], nên \[S \le \sqrt {{{196}^2}} \] hay \[S \le 196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} = 0\], hay \[2{x^2} - 196 = 0\], tức là \[x = 7\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là \[196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\].