Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là
\(x \ne 2.\)
\(x \ne 3.\)
\(x \ne - 2;{\rm{ }}x \ne 3.\)
\(x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là \(x - 4 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).
Suy ra \(x \ne 4\) và \(x \ne - 2.\)
\(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x + 3}}.\)
\(\frac{5}{{x - 1}} = \frac{2}{{x - 3}}.\)
\(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 2.\)
\(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x - 3}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét các điều kiện xác định của các đáp án, nhận thấy:
• Điều kiện xác định của \(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x + 3}}\) là \(x \ne - 1\) và \(x \ne - 3\).
• Điều kiện xác định của \(\frac{5}{{x - 1}} = \frac{2}{{x - 3}}\) là \(x \ne 1\) và \(x \ne 3\).
• Điều kiện xác định của \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 2\) là \(x \ne 1\).
• Điều kiện xác định của \(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x - 3}}\) là \(x \ne - 1\) và \(x \ne 3\).
\(5x + y = 7.\)
\(2{x^2} + y = 4.\)
\(0x + 0y = - 2.\)
\(2{x^2} + 2{y^2} = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) có dạng \(ax + by = 0\) với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Do đó, \(5x + y = 7\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các hệ phương trình dưới đây, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2{y^2} = 4\\x + y = 0\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3{x^2} - 2y = 0\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2{y^2} = 4\\3x - y = 0\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..\)
Do đó, hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right.\) là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(x + 2y > 0.\)
\(\frac{1}{x} - 3 > 0.\)
\({x^2} + 1 > 0.\)
\(\frac{x}{2} + 1 > 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta viết bất phương trình \(\frac{x}{2} + 1 > 0\) về dạng \(\frac{1}{2}x + 1 > 0,\) đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = \frac{1}{2} \ne 0\) và \(b = 1.\)
\(a - 3 > b - 3.\)
\( - 3a + 4 > - 3b + 4.\)
\(2a + 3 < 2b + 3.\)
\( - 5b - 1 < - 5a - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(a > b\) nên \(a + \left( { - 3} \right) > b + \left( { - 3} \right)\) hay \(a - 3 > b - 3\).
\(x \ge \frac{{ - 3}}{2}.\)
\(x \le \frac{{ - 3}}{2}.\)
\(x \ge \frac{{ - 2}}{3}.\)
\(x \le \frac{{ - 2}}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định: \(2x + 3 \ge 0\) suy ra \(x \ge \frac{{ - 3}}{2}.\)
\(\sqrt {{a^2}} = a.\)
\(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)
\(\sqrt a = \left| a \right|.\)
\(\sqrt {{a^2}} = - a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với mọi số \(a\), ta luôn có: \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)
Cho tam giác vuông có \(\alpha \) là góc nhọn. Khẳng định nào sau đây là sai?
Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha .\)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\cos \alpha .\)
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\tan \alpha .\)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là tang của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\cot \alpha .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khẳng định sai là: “Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha \)”.
\(\sin \alpha .\)
\(\tan \alpha .\)
\(\cos \alpha .\)
\(\cot \alpha .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \[\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \].
\(S = \pi \left( {{r^2} - {R^2}} \right).\)
\(S = \pi \left( {{r^2} + {R^2}} \right).\)
\(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\)
Kết quả khác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường tròn đồng tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \(R\) và \(r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).\) Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức \(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\)
Cắt nhau.
Không giao nhau.
Tiếp xúc nhau.
Không kết luận được.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha .\)
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
rong cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi thí sinh phải trả lời 12 câu hỏi của ban tổ chức. Mỗi câu hỏi gồm bốn phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm, trả lời sai bị trừ 2 điểm. Khi bắt đầu cuộc thi mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm. Thí sinh nào đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo. Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\left( {0 \le x \le 12,x \in \mathbb{N}} \right)\).
a) Số câu trả lời sai là \(12 - x\) câu.
b) Tổng số điểm đạt được khi trả lời hết 12 câu hỏi là: \(2 + 5x - 2\left( {12 - x} \right)\) điểm.
c) Để vào vòng tiếp theo thì thí sinh cần đạt điểm thỏa mãn \(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) > 50\) điểm.
d) Thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng ít nhất 9 câu.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
• Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\left( {0 \le x \le 12,x \in \mathbb{N}} \right)\).
Số câu trả lời sai là \(12 - x\) (câu).
Do đó, ý a) là đúng.
• Số điểm nhận được khi trả lời đúng \(x\) câu là: \(5x\) (điểm).
Số điểm bị trừ khi trả lời sai \(12 - x\) (câu) là: \(2\left( {12 - x} \right)\) (điểm).
Tổng số điểm đạt được khi trả lời hết 12 câu hỏi là: \(2 + 5x + 2\left( {12 - x} \right)\) (điểm).
Do đó, ý b) là đúng.
• Theo bài, thí sinh đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo nên ta có bất phương trình sau:
\(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50\).
Do đó, ý c) là sai.
• Giải bất phương trình:
\(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50\)
\(20 + 5x - 24 + 2x \ge 50\)
\(7x - 4 \ge 50\)
\(7x \ge 54\)
\(x \ge \frac{{54}}{7}\,\,\left( { \approx 7,714} \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{N}\) và cần tìm giá trị \(x\) nhỏ nhất nên \(x = 8.\)
Vậy thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng ít nhất 8 câu.
Do đó, ý d) là sai.
Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn C nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với một góc \(43^\circ \) so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với một góc \(28^\circ \) so với bờ sông. Hai người đứng cách nhau \(250{\rm{ m}}\) như hình minh họa dưới đây. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
a)\(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)
b)\(BH = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}.\)
c)\(AB = \left( {\tan 43^\circ + \tan 28^\circ } \right)CH\).
d) Cồn cách bờ sông hai người đứng một khoảng lớn hơn \(85{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng \(CH.\)
• Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)
Suy ra \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)
Do đó, ý a) là đúng.
• Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\) (2)
Do đó, ý b) là đúng.
• Từ (1) và (2) ta có:
\(AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)
Do đó, ý c) là sai.
• Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)
Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng \(84,66{\rm{ m}}\).
Vậy ý d) là sai.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình: \(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Điều kiện xác định: \(x \ne - 1;\,\,x \ne 2\).
Ta có: \(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(2\left( {x - 2} \right) + x + 1 = 3\)
\(2x - 4 + x + 1 = 3\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\) (không thỏa mãn).
Do đó, không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn phương trình.
Bạn An dự định mua \(2{\rm{ kg}}\) xoài và \(2{\rm{ kg}}\) vải hết \(100\) nghìn đồng. Thực tế, An đã mua \(3{\rm{ kg}}\) xoài và \(1{\rm{ kg}}\) vải hết 90 nghìn đồng. Hỏi giá tiền một kilogram xoài bao nhiêu tiền? (Đơn vị: Nghìn đồng).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 20
Gọi giá tiền của một kilogram xoài và một kilogram vải lần lượt là \(x,\,y\) (nghìn đồng).
Điều kiện: \(x,\,y > 0.\)
Theo đề, An dự định mua \(2{\rm{ kg}}\) xoài và \(2{\rm{ kg}}\) vải hết \(100\) nghìn đồng nên có \(2x + 2y = 100\) (1)
Thực tế, An đã mua \(3{\rm{ kg}}\) xoài và \(1{\rm{ kg}}\) vải hết 90 nghìn đồng nên \(3x + y = 90\) (2)
Từ (1) và (2), có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 100\\3x + y = 90\end{array} \right.\)
Từ (2) có \(y = 90 - 3x\) thế vào (1) ta được: \(2x + 2\left( {90 - 3x} \right) = 100\) hay \(2x - 6x + 180 = 100\).
Suy ra \(4x = 80\) nên \(x = 20\) (thỏa mãn).
Do đó, \(y = 90 - 3 \cdot 20 = 90 - 60 = 30\) (thỏa mãn).
Vậy giá tiền một kilogram xoài là 20 nghìn đồng.
Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình: \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: −9
Ta có: \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)\)
\(3x - 2x - 6 \le 3x + 12\)
\(x - 6 \le 3x + 12\)
\(3x - x \ge - 6 - 12\)
\(2x \ge - 18\)
\(x \ge - 9\).
Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \( - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,35
Bán kính của đường tròn lớn là: \(90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Bán kính của đường tròn nhỏ là: \(60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \(45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}\) và bằng:
\(S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534,29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0,35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\) với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4\) và \(a \ne 9.\)
a) Chứng minh rằng \(A = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).
b) Tìm \(a\) để \(A + \left| A \right| = 0.\)
Hướng dẫn giải
a) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9\), ta có:
\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).
Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9\) ta được \(P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).
b) Ta có: \(A + \left| A \right| = 0\) suy ra \(\left| A \right| = - A\).
Do đó, \(A \le 0\) hay \(\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0\) suy ra \(\sqrt a - 2 < 0\) do đó \(\sqrt a < 2\).
Suy ra \(0 \le a < 4\).
Vậy \(0 \le a < 4\) là giá trị cần tìm.
(1,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính .
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.
b)\(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)\)
Do đó đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(B.\)
Xét \(\Delta ODE\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \(H\) là trung điểm của \(DE\).
Mà \[H\] lại là trung điểm của \(AC\), do đó tứ giác \(ADCE\) là hình bình hành.
Mặt khác, \(AC \bot DE\) nên hình bình hành \[ADCE\] là hình thoi.
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BE \bot AE\) tại \(E\).
Mà\(AE\,{\rm{//}}\,CD\) (do \[ADCE\] là hình thoi) nên\[EB \bot CD\].
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính \(BC\) ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BF \bot CD\) tại \(F\).
Ta có \(EB \bot CD\) và \(FB \bot CD\) suy ra \(EB\) và \(FB\) trùng nhau.
Vậy ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Tam giác \(FDE\) vuông tại \(F\) có \[FH\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên \(FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.\)
Do đó \(\Delta HFD\) cân tại \(H\), do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HDC}\).
Mặt khác, \[O'FC\] cân tại \(O'\) (do \[O'F = O'C\]) nên \(\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}\)
Mà \(\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ \) (tam giác \[HCD\] vuông tại \[H\])
Nên \(\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ \).
Do đó \(\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(HF \bot O'F\) tại \(F\) và \(F\) thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Vậy \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
(0,5 điểm) Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8\,000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\,000\) nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) máy \(\left( {x > 0,\,x \in \mathbb{N}} \right)\).
Trong một giờ số quả bóng tennis sản xuất được là \(30x\) (quả bóng).
Như vậy, số giờ để sản xuất \(8\,000\) quả bóng tennis là \(\frac{{8\,000}}{{30x}}\) giờ.
Mỗi giờ phải trả \(192\,000\)đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là
\(B = 200\,000x + \frac{{8\,000}}{{30x}} \cdot 192\,000 = 200\,000x + \frac{{51\,200\,000}}{x}\) (đồng)
Với hai số không âm \(a\) và \(b\) ta có \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương \(200\,000x\) và \(\frac{{51\,200\,000}}{x}\), ta được:
\(200\,000x + \,\frac{{51\,200\,000}}{x} \ge 2\sqrt {200\,000x \cdot \frac{{51\,200\,000}}{x}} = 6\,400\,000\)
Dấu “=” xảy ra khi \(200\,000x = \frac{{51\,200\,000}}{x}\) hay \({x^2} = 256\) suy ra \(x = 16\) (do \(x > 0,\,x \in \mathbb{N}\))
Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.
