Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là
\(x \ne - 4;\,\,x \ne 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne - 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là \(x - 4 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).
Suy ra \(x \ne 4\) và \(x \ne - 2.\)
Phương trình \(3\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) có mấy nghiệm?
1.
2.
3.
0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình tích \(3\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) có hai nghiệm.
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - 2y = 3.\)
\(0x + 3y = 1.\)
\(0x - 0y = 5.\)
\(2x - 0y = 4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) trong đó \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Trong các hệ phương trình dưới đây, đâu là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\{x^2} + y = 4\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\0x + 0y = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\x + {y^2} = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..\)
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right.\) là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - \frac{{10}}{3}\)” được viết là
\(x > - \frac{{10}}{3}.\)
\(x \ge - \frac{{10}}{3}.\)
\(x < - \frac{{10}}{3}.\)
\(x \le - \frac{{10}}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - \frac{{10}}{3}\)” được viết là \(x \le - \frac{{10}}{3}.\)
Cho \(a\) bất kì. Kết quả so sánh nào dưới đây là đúng?
\(a - 4 > a - 5.\)
\(a - 3 < a - 4.\)
\(a - 2 \le a - 4.\)
\(a - 7 \ge a - 9.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với số \(a\) bất kì có \(a - 4 > a - 5.\)
Điều kiện xác định của căn thức \(\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}} \) là
\(x \ge 1.\)
\(x > 1.\)
\(x < 1.\)
\(x \le 1.\)
Hướng dẫn giải\(\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}} \)
Đáp án đúng là: B
Biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} \) bằng
\(3 - 2x.\)
\(2x - 3.\)
\(2x - 3\) và \( - 2x + 3\).
\(\left| {2x - 3} \right|.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} \) là \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó, \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(\sin B = \cos C.\)
\(\cos B = \sin C.\)
\(\cot B = \tan C.\)
\(\tan B = \frac{1}{{\cot C}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) hay \(\widehat B,\,\widehat C\) là hai góc phụ nhau.
Do đó, \(\tan B = \cot C.\)
Vậy khẳng định D là sai.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 3;\,\,AB = 4;\,\,BC = 5.\) Khi đó \(\tan C\) bằng
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{3}{5}.\)
\(\frac{4}{3}.\)
\(\frac{4}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)
Góc ở tâm chắn cung \(160^\circ \) có số đo bằng bao nhiêu?
\(200^\circ .\)
\(160^\circ \).
\(80^\circ \).
\(20^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.
Do đó, chọn đáp án B.
Cho đường tròn \(\left( {O;{\rm{ 4 cm}}} \right)\) và \(\left( {O';{\rm{ 3 cm}}} \right)\) có \(OO' = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Vị trí tương đối của hai đường tròn đã cho là
tiếp xúc trong.
cắt nhau.
tiếp xúc ngoài.
đựng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: 4−3<5<4+3 hay 1<OO'<7
Do đó hai đường tròn này cắt nhau.
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền nhà tài trợ dự kiến là \(30\) triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là \(17\) triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là \(60\,000\) đồng và mỗi suất ăn sáng là \(30\,000\) đồng. Gọi \(x\) là số bạn học sinh có thể tham gia \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
a) Chi phí ăn uống của mỗi người trong một ngày là \(150\,000\)đồng.
b) Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có \(x\) bạn tham gia là \(150\,000x + 17\,000\,000\) đồng.
c) Số bạn tham gia phải thỏa mãn \(150\,000x + 17\,000\,000 < 30\,000\,000\).
d) Có thể tổ chức cho nhiểu nhất 87 bạn tham gia.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
• Chi phí ăn uống của mỗi người trong một ngày là \(60\,000 + 60\,000 + 30\,000 = 150\,000\) (đồng).
Do đó, ý a) là đúng.
• Gọi \(x\) là số bạn học sinh có thể tham gia \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có \(x\) bạn tham gia là \(150\,000x + 17\,000\,000\) (đồng).
Do đó, ý b) là đúng.
• Vì số tiền nhà tài trợ dự kiến là \(30\) triệu đồng nên ta có bất phương trình:
\(150\,000x + 17\,000\,000 \le 30\,000\,000\).
Do đó, ý c) là sai.
• Giải bất phương trình:
\(150\,000x + 17\,000\,000 \le 30\,000\,000\)
\(x \le \frac{{260}}{3} \approx 86,7\)
Vậy có thể tổ chức cho nhiều nhất cho \(86\) bạn tham gia.
Do đó, ý d) là sai.
Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao \(5{\rm{ m}}\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7{\rm{ m}}\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và đỉnh \(C\) của một cột ăng – ten dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang.
a) \(CE = AE.\tan 40^\circ .\)
b) \(BE = AE.\tan 50^\circ .\)
c) \(AE = \frac{{BC}}{{\tan 40^\circ + \tan 50^\circ }}\).
d) Chiều cao của tòa nhà lớn hơn 24 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng \(BH\).
Xét tam giác \(CAE\) vuông tại \(E\), ta có:
\(CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (1).
Do đó, ý a) là đúng.
• Xét tam giác \(BAE\) vuông ở \(E\), ta có:
\(BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (2).
Do đó, ý b) là đúng.
• Từ (1) và (2) suy ra \(BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ \)
\(BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)
\(5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)
\(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do đó, ý c) là sai.
• Với \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}\) suy ra \(CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)
Chiều cao của tòa nhà là: \(5 + 11,9 + 7 \approx 23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy tòa nhà cao \(23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do đó, ý d) là sai.
Phần 3. (2,0 điểm)Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình: \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\). (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 5
Điều kiện xác định: \(x \ne 1;\,\,x \ne 3\).
Ta có: \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\)
\(\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
\({x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\)
\({x^2} - 6x + 13 = {x^2} - 4x + 3\)
\({x^2} - 6x - {x^2} + 4x = 3 - 13\)
\( - 2x = - 10\)
\(x = - 5\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\).
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A,\,\,B\) cách nhau \(130\,\,{\rm{km}}\)và gặp nhau sau 2 giờ. Biết rằng xe đi từ \(B\) có vận tốc nhanh hơn xe đi từ \(A\) là \(5{\rm{ km/h}}{\rm{.}}\) Hỏi vận tốc của xe đi từ \(B\) bằng bao nhiêu km/h?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 35
Gọi vận tốc của hai xe đi từ \(A\) và \(B\) lần lượt là \(x,\,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Điều kiện \(y > 5,\,x > 0.\)
Theo đề, hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A,\,\,B\) cách nhau \(130\,\,{\rm{km}}\)và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có \(2x + 2y = 130\) (1)
Mà xe đi từ \(B\) có vận tốc nhanh hơn xe đi từ \(A\) là \(5{\rm{ km/h}}\) nên \(y - x = 5\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 130\\y - x = 5\end{array} \right.\).
Từ (2) có \(y = 5 + x\) thay vào (1) được: \(2x + 2\left( {5 + x} \right) = 130\).
Suy ra \(4x = 120\) nên \(x = 30\) (thỏa mãn).
Do đó, \(y = 30 + 5 = 35\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc xe đi từ \(A\) có vận tốc 30 km/h, xe đi từ \(B\) có vận tốc 35 km/h.
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \[x\] thỏa mãn bất phương trình \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án: −4
Ta có: \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\]
\[\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}\]
\[4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\]
\[16x + 36 + 6 \ge 6x - 3\]
\[16x + 42 \ge 6x - 3\]
\[16x - 6x \ge - 3 - 42\]
\[10x \ge - 45\]
\[x \ge - \frac{9}{2}.\]
Vậy bất phương trình có nghiệm là \[x \ge - \frac{9}{2}.\]
Do đó, giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \[ - 4\].
Mặt đĩa CD có dạng vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \[4{\rm{ cm}}\] và \[6{\rm{ cm}}\]. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 62,8
Diện tích hình vành khuyên đó là: \(S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62,8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho hai biểu thức: \[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\] với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\).
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của \(A\) khi \(\left| {a - 1} \right| = 1\).
Hướng dẫn giải
a) Với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\), ta có:
\[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]
\[ = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}\]
\[ = - 2\sqrt a \].
Vậy \[A = - 2\sqrt a \] với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\).
b) Ta có: \(\left| {a - 1} \right| = 1\) suy ra \(a - 1 = 1\) hoặc \(a - 1 = - 1\).
Suy ra \(a = 2\) (thỏa mãn) hoặc \(a = 0\) (loại).
Thay \(a = 2\) vào \[A = - 2\sqrt a \] được \[A = - 2\sqrt 2 \].
(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\). Điểm \(M\) di động trên cung nhỏ \(BC\). Vẽ \(MH\) vuông góc với \(AB\) ở \(H\), \(MK\) vuông góc với \(AC\) ở \(K\).
a) Chứng minh rằng \(AM\) là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)
b) Chứng minh rằng \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\)
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để \(HK\)dài nhất.
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)
Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)
Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)
Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).
Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)
Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)
Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)
Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))
Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))
Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]
c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi
Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)
Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)
Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).
(0,5 điểm) Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\). Biết tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\). Xác định chiều dài \(x\) để lượng bìa cần sử dụng là ít nhất.
Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\) nên \(h = 4y\).
Thể tích chiếc hộp \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\) nên \(xyh = 3{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) hay \(4x{y^2} = 3\), suy ra \(x = \frac{3}{{4{y^2}}}\).
Do chiếc hộp không nắp, do đó diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung quanh của hộp.
Ta có: \(S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}} \cdot y + 2 \cdot 4y \cdot \left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)\)
\( = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}\).
Do \(y\) là chiều rộng của hộp nên \(y > 0\).
Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta được:
\(\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}} \cdot \frac{{27}}{{8y}} \cdot 8{y^2}}}\), suy ra \(S \ge \frac{{27}}{2}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}\), hay \({y^3} = \frac{{27}}{{64}}\) nên \(y = \frac{3}{4}\) (dm).
Do đó, \(x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là \(\frac{{27}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) khi chiều dài \(x = \frac{4}{3}\) dm.
