Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 5

(2,0 điểm) Cho hai biểu thức A=x−2x+7 và B=xx−4−12−x+1x+2.

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức \(A\) và \(B.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25.\)

c) Chứng minh rằng \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\]

d) Cho biểu thức \[P = AB.\] Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \[\sqrt P \le \frac{1}{2}.\]

(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{4}{{1 - {x^2}}}\).

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) \(\frac{{3 - 5x}}{3} - \frac{{4x + 1}}{4} \ge \frac{{2x + 1}}{2} + 3\).

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) \(\sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} + \sqrt {x - 1} = 16.\)

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Lan có một dung dịch nước muối sinh lí có nồng độ \(1,5\% \) và một dung dịch nước cất không chứa muối (nồng độ \(0\% \)). Lan cần pha trộn dung dịch để thu được 1 lít (1000 ml) dung dịch nước muối dinh lí súc miệng có nồng độ 0,9%. Hỏi cần bao nhiêu ml dung dịch nước muối và bao nhiêu ml nước cất để tạo ra dung dịch mong muốn?

3. Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền nhà tài trợ dự kiến là \(30\) triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là \(17\) triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là \(60\,000\) đồng và mỗi suất ăn sáng là \(30\,000\) đồng.

a) Viết bất phương trình phù hợp mô tả tình huống trên.

b) Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

(1,5 điểm) Tháp Discovery Complex A với quy mô 54 tầng, đang là tòa nhà cao nhất quận Cầu Giấy. Tại một thời điểm trong ngày mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \(68^\circ \) và bóng của tòa nhà trên mặt đất dài khoảng \(79{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

a) Viết tỉ số lượng giác sin và tan của góc \[ACB\] theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

b) Một người đang đi về phía tòa nhà với phương nhìn lên đỉnh tạo với phương nằm ngang một góc bằng \(45^\circ \). Biết người đó mất 140 giây để đi đến tòa nhà. Tính vận tốc trung bình của người đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

(2,5 điểm) Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn. Từ \[A\] kẻ hai tiếp tuyến \[AM,AN\] với đường tròn \[\left( O \right)\]. Một đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] (\[AB < AC\], \[d\] không đi qua tâm \[O\]). Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Đường thẳng \[NI\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là \[F\].

a) Chứng minh bốn điểm \[A,M,O,N\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \[A{N^2} = AB.AC\] và \[MF\,{\rm{//}}\,AC\].

c) Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh \[K\] thuộc một đường tròn cố định khi \[d\] thay đổi.

(0,5 điểm)Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là \({\rm{50 cm}}\)và chiều rộng là \({\rm{30 cm}}\). Bạn Linh cắt ở mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và xếp phần còn lại thành một hình hộp không nắp. Tìm \(x\) để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất.