Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 1

(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A=xx+12x−1 và B=1x+x+2xx−1−1x−x.

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(B.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)

c) Rút gọn biểu thức \(B.\)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A.B\) với \(x > 1.\)

(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x}}\).

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 < \frac{{2x + 1}}{3} + x.\)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) \(\sqrt {18x + 9} - \sqrt {8x + 4} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4.\)

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Bác Cường đến siêu thị mua một máy hút ẩm và một chiếc quạt cây với tổng số tiền theo giá niêm yết là \(9\) triệu đồng. Tuy nhiên, đúng dịp kỷ niệm \(70\) năm Giải phóng thủ đô (10/10/1954 – 10/10/2024) siêu thị khuyến mãi tri ân khách hàng nên giá của máy hút ẩm và chiếc quạt cây được giảm lần lượt \(20\% \) và \(10\% \) so với giá niêm yết. Do đó, bác Cường đã được giảm \(1,6\) triệu đồng khi mua hai sản phẩm đó. Tính giá niêm yết của máy hút ẩm và của chiếc quạt cây.

3. Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là \(10,25\,\,\euro \) cho mỗi giờ làm việc trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu theo quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất \(1\,\,500\,\,\euro \) trong mùa hè này.

a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.

b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên (€ là viết tắt của Euro, là loại tiền tệ của 20 nước thuộc liên minh Châu Âu sử dụng chung).

(1,5 điểm)Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở vị trí \(C\) đã bị gãy ngang tại \(A\) (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng \(BC = 5{\rm{ m}}\). Biết rằng phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\).

a) Viết tỉ số lượng giác sin và tan của góc \(ABC\) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

b) Hỏi chiều cao ban đầu của cây là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

(2,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính \(BC\).

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.

b) \(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).

(0,5 điểm) Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương rất cao và phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Giả sử rằng giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cuơng cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng lên hay giảm đi? Trong trường hợp nào, giá bán của viên kim cương ban đầu giảm nhiều nhất và giảm bao nhiêu lần?