Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A=x+1x−3 và B=1x−1+xx−1.x−x2x+1.

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức \(A\) và \(B\).

b) Tính giá trị biểu thức \[A\]khi \[x = \frac{1}{{16}}.\]

c) Chứng minh rằng \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\].

d) Tìm các số nguyên tố \[x\]để \[A.B < 1.\]

(3,5 điểm)

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\)

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - 1 \ge 2x + \frac{x}{2}.\]

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) \(\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6.\)

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Người ta trộn \(4{\rm{ kg}}\) chất lỏng loại I với \({\rm{3 kg}}\) chất lỏng loại II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là \({\rm{700 kg/}}{{\rm{m}}^3}\). Biết khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là \({\rm{200 kg/}}{{\rm{m}}^3}\). Tính khối lượng riêng của mỗi chất.

3. Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung bình \(6,7{\rm{ kg}}{\rm{.}}\) Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5,25\) tấn.

a) Viết bất phương trình mô tả tình huống trên.

b) Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác tài xế nặng \(65{\rm{ kg}}{\rm{.}}\)

(1,5 điểm) Một người có tầm mắt cao \[1,6{\rm{ m}}\] đứng trên sân thượng của một tòa nhà cao \[{\rm{25 m}}\] nhìn thấy một chiếc xe đang đứng yên với góc nghiêng xuống \[35^\circ \] (như hình vẽ).

1. Viết tỉ số lượng giác \(\sin ,\,\,\tan \) của góc \(35^\circ \) theo các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

2. Tính các khoảng cách từ chiếc xe đến mắt người quan sát và đến chân tòa nhà (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(2,5 điểm) Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy điểm \[M\] thuộc \[\left( O \right)\] sao cho \[MA < MB.\]Vẽ dây \[MN\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Đường thẳng \[AN\] cắt \[BM\] tại \[C\]. Đường thẳng qua \[C\] vuông góc với \[AB\] tại \[K\] và cắt \[BN\] tại \[D\]. Chứng minh rằng:

a) \[A,M,C,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) \[BK\] là tia phân giác của \[\widehat {CBD}\] và \[\Delta KMC\] cân .

c) \[KM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

(0,5 điểm)Bác Sơn muốn xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(72{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\). Đáy bể có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bác Sơn muốn phần diện tích cần xây (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy bể) là nhỏ nhất để tiết kiệm chi phí thì \(x\) phải bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?