Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0,\) tức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\).

⦁ Xét biểu thức \[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\].

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 1 \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,2\sqrt x + 1 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\), ta có: \(\sqrt x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(2\sqrt x + 1 > 0\).

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(x \ne 1.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 1}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{4} + 1}}{{\frac{1}{4} - 3}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{{11}}{4}}} = - \frac{5}{{11}}.\)

Vậy \(A = - \frac{5}{{11}}\) khi \(x = \frac{1}{{16}}\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

   \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).

d) Với \[x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1,\] ta có: \(A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).

Khi đó, để \(A.B < 1\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\).

Giải bất phương trình: \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0\)

\(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\).

Do \(3 > 0\) nên để \(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\) thì \(\sqrt x - 3 < 0\) hay \(\sqrt x < 3\). Suy ra \(x < 9\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1\) nên \(0 \le x < 9;x \ne 1\).

Mà \(x\) là số nguyên tố nên ta được \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn \(A.B < 1\) là \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)

a) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,x \ne 3\).

Ta có: \(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x \cdot 2}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 3} \right) = 2x \cdot 2\)

\({x^2} + x + {x^2} - 3x - 4x = 0\)

\(2{x^2} - 6x = 0\)

\(2x\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\).

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (loại).

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - 1 \ge 2x + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{3} \ge \frac{{4x}}{2} + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2 - 3}}{3} \ge \frac{{4x + x}}{2}\]

\[\frac{{x - 1}}{3} \ge \frac{{5x}}{2}\]

\[2\left( {x - 1} \right) \ge 3 \cdot 5x\]

\[2x - 2 \ge 15x\]

\[2x - 15x \ge 2\]

\[ - 13x \ge 2\]

\[x \le \frac{{ - 2}}{{13}}\].

c) \(\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6\)    (đkxđ: \(x \ge 2).\)

\[\frac{3}{2}\sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 9\sqrt {\frac{1}{{81}}\left( {x - 2} \right)} = 6\]

\[\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt {x - 2} - 9 \cdot \frac{1}{9}\sqrt {x - 2} = 6\]

\[3\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} = 6\]

\[2\sqrt {x - 2} = 6\]

\[\sqrt {x - 2} = 3\]

    \[x - 2 = 9\]

    \[x = 11\] (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 11.\)

2. Gọi \(x,y\) (kg/m³) lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Theo đề, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là \({\rm{200 kg/}}{{\rm{m}}^3}\) nên ta có phương trình: \(x - y = 200\) (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là: \(\frac{4}{x}\) (m³). Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là: \(\frac{3}{y}\) (m³).

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{y}\] (m³).

Người ta trộn \(4{\rm{ kg}}\) chất lỏng loại I với \({\rm{3 kg}}\) chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: \(3 + 4 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là: \(\frac{7}{{700}} = \frac{1}{{100}}\) (m³).

Khi đó, ta có phương trình: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\]   (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 200\\\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có: \(x = 200 + y\), thế vào phương trình (2), ta được: \(\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\).

Giải phương trình:

\(\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\)

\(\frac{{400y}}{{100\left( {200 + y} \right)y}} + \frac{{300\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}} = \frac{{y\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}}\)

\(400y + 300\left( {200 + y} \right) = y\left( {200 + y} \right)\)

\(400y + 60\,\,000 + 300y = 200y + {y^2}\)

\({y^2} - 500y - 60\,\,000 = 0\)

\({y^2} + 100y - 600y - 60\,\,000 = 0\)

\(y\left( {y + 100} \right) - 600\left( {y + 100} \right) = 0\)

\(\left( {y + 100} \right)\left( {y - 600} \right) = 0\)

Suy ra \(y - 600 = 0\) (do \(y + 100 > 0\) với mọi \(y > 0)\)

Do đó \(y = 600\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 600\) vào phương trình \(x = 200 + y\), ta được \(x = 800\) (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là \({\rm{800 kg/}}{{\rm{m}}^3}\) và \({\rm{600 kg/}}{{\rm{m}}^3}.\)

3. a) Đổi \(5,25\) tấn = \(5\,\,250\) kg.

Gọi \(x\) là số thùng bia mà xe có thể chở (\(x \in {\mathbb{N}^ * }\), đơn vị: thùng).

Khối lượng của \(x\) thùng bia là: \(6,7x\) (kg).

Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: \(6,7x + 65\) (kg).

Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5,25\) tấn nên ta có bất phương trình: \(65 + 6,7x \le 5\,\,250\).

b) Giải bất phương trình:

\(65 + 6,7x \le 5\,\,250\)

\(6,7x \le 5\,\,185\)

\(x \le \frac{{51\,\,850}}{{67}}\,\,\,\left( { \approx 773,88} \right)\).

Mà \(x \in {\mathbb{N}^ * }\) và cần tìm \(x\) có giá trị lớn nhất nên \(x = 773.\)

Vậy xe có thể chở được tối đa \(773\) thùng bia.

1.Ta có: \[Ax\,{\rm{//}}\,BC\] suy ra \[\widehat {ACB} = \widehat {xAC} = 35^\circ \] (so le trong).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) ta có:

\[\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}};\]\[\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}.\]

2. Ta có \[AB = 1,6 + 25 = 26,6{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Theo câu a, ta có:

⦁\[\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\] nên \[BC = \frac{{AB}}{{\tan 35^\circ }} = \frac{{26,6}}{{\tan 35^\circ }} \approx 38{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\]

⦁\[\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\] nên \[AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26,6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng \[38{\rm{ m}}\] và cách mắt người quan sát khoảng \(46{\rm{\;m}}.\)

a) Ta có: \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \[\widehat {AMC} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {AMB}\]).

Gọi \[E\] là trung điểm của \[CA\].

Xét \[\Delta AMC\] vuông tại \[M\] có \[ME\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[CA\] nên \[ME = \frac{1}{2}CA.\]

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[KE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[CA\] nên \[KE = \frac{1}{2}CA.\]

Do đó, \[KE = ME = EC = EA = \frac{1}{2}CA\] nên bốn điểm \[A,M,C,K\] cùng thuộc một đường tròn tâm \[E\] đường kính \[CA\].

b) ⦁ Xét \(\Delta OMN\) cân tại \(O\) (do \(OM = ON)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến, hay \(H\) là trung điểm của \(MN\).

Xét \[\Delta MNB\] có \[BH\] là đường cao và cũng là đường trung tuyến của \[\Delta MNB\] nên \[\Delta MNB\] cân tại \[B\].

Suy ra \[BH\] cũng là đường phân giác của \[\widehat {MBN}\].

Hay \[BK\] là đường phân giác của \[\widehat {CBD}\].

⦁ Xét \[\Delta BCD\] có \[BK\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của \[\Delta BCD\] nên \[\Delta BCD\] cân tại \[B\]

Do đó \[\widehat {BCD} = \widehat {BDC}\]. (1)

Ta có: \[\widehat {CDB} = \widehat {KAC}\] (cùng phụ với \[\widehat {DCA}\]) (2)

Xét đường tròn \[\left( E \right)\] có \[\widehat {KAC} = \widehat {KMC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC\]) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {KMC} = \widehat {BDC} = \widehat {KAC}\]

Xét \[\Delta KMC\] có \[\widehat {KCM} = \widehat {KMC}\] nên \[\Delta KMC\] cân tại \[K\].

c) Xét \[\Delta BOM\] cân tại \[O\] (do \[OM = OB\]) ta có \[\widehat {OMB} = \widehat {OBM}\].

Mà \[\widehat {OBM} = \widehat {OBD}\] (do \[BK\] là đường phân giác của \[\widehat {CBD}\]).

Suy ra \[\widehat {OMB} = \widehat {OBD}.\]

Xét \(\Delta BDK\) vuông tại \(K,\) ta có: \[\widehat {OBD} + \widehat {BDK} = 90^\circ \]

Mà \[\widehat {OMB} = \widehat {OBD}\] và \[\widehat {BDK} = \widehat {KMC}\] nên \[\widehat {OMB} + \widehat {KMC} = 90^\circ \]

Do đó, \[\widehat {KMO} = 180^\circ - \left( {\widehat {OMB} + \widehat {KMC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \].

Suy ra \[KM \bot MO\] tại \[M\] thuộc đường tròn \[\left( O \right)\].

Vậy \[KM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của bể là \(2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)

Chiều cao của bể là: \(\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích xung quanh của bể là: \(2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

\(\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Do \(x\) là chiều rộng của bể nên \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)

Suy ra \(2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85,72\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}\) hay \(2{x^3} = 108\), tức là \(x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì \(x \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)