14 câu hỏi
a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\).
Ta có \(\sqrt x + 3 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)
⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\).
Ta có \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
b) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được:
\(A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}\).
Vậy \(A = \frac{6}{7}\) khi \(x = 16\).
c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)
Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\).
d) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:
\(P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}\).
Ta lại có: \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}\).
\(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1\).
Như vậy, \( - \frac{1}{3} \le P < 1\).
Mà \(P\) nhận giá trị nguyên nên \(P = 0.\)
Với \(P = 0,\) ta có: \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,\) do đó \(\sqrt x + 3 = 4\) nên \(\sqrt x = 1,\) hay \(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy không có giá trị \(x\) để biểu thức \(P = \frac{A}{B}\) nhận giá trị nguyên.
1. a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,x \ne 2\).
Ta có: \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)
\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2\)
\({x^2} + 2x - x + 2 - 2 = 0\)
\({x^2} + x = 0\)
\(x\left( {x + 1} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)
\(x = 0\) (loại) hoặc \(x = - 1\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1\).
b) \(1 + \frac{{x + 2}}{5} > x + \frac{{x - 2}}{2} + \frac{{x + 3}}{3}.\)
\(\frac{{30 + 6x + 12}}{{30}} > \frac{{30x + 15\left( {x - 2} \right) + 10\left( {x + 3} \right)}}{{30}}\)
\(\frac{{6x + 42}}{{30}} > \frac{{30x + 15x - 30 + 10x + 30}}{{30}}\)
\[\frac{{6x + 42}}{{30}} > \frac{{55x}}{{30}}\]
\(6x + 42 > 55x\)
\(6x - 55x > - 42\)
\( - 49x > - 42\)
\(x < \frac{6}{7}\).
Vậy nghiệm cúa bất phương trình là \(x < \frac{6}{7}.\)c) \(\sqrt {4x + 20} = 20\) (đkxđ: \(x \ge - 5)\)
\(\sqrt {4\left( {x + 5} \right)} = 20\)
\(2\sqrt {x + 5} = 20\)
\(\sqrt {x + 5} = 10\)
\(x + 5 = 100\)
\(x = 95\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho là \(x = 95\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 14 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
2. a) Gọi \[x,y\] lần lượt là giá niêm yết của loại vé I và II (\[x,y > 0\], đơn vị: nghìn đồng).
• Tuần lễ kích cầu du lịch:
Giá loại vé I giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là \[85\% x = 0,85x\] (nghìn đồng).
Giá loại vé II giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là \[90\% y = 0,9y\] (nghìn đồng).
Do đó, tổng số tiền khi anh Bảo mua 3 vé loại I và 2 vé loại II là:
\[3 \cdot 0,85x + 2 \cdot 0,9y = 2,55x + 1,8y\] (nghìn đồng).
Theo bài, anh Bảo phải trả số tiền là \(24\,\,825\,\,000\) đồng (hay \(24\,\,825\) nghìn đồng) nên ta có phương trình:
\[2,55x + 1,8y = 24\,\,825\] (1)
• Tuần lễ Quốc tế Lao động:
Giá loại vé I giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là \[90\% x = 0,9x\] (nghìn đồng).
Giá loại vé II giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là \[85\% y = 0,85y\] (nghìn đồng).
Do đó, tổng số tiền khi anh Bình mua 3 vé loại I và 4 vé loại II là:
\[3 \cdot 0,9x + 4 \cdot 0,85y = 2,7x + 3,4y\] (nghìn đồng).
Theo bài, anh Bình phải trả số tiền là \(37\,\,790\,\,000\) đồng (hay \(37\,\,790\)nghìn đồng) nên ta có phương trình:
\[2,7x + 3,4y = 37\,\,790\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2,55x + 1,8y = 24\,\,825\\2,7x + 3,4y = 37\,\,790\end{array} \right.\].
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3,4 và nhân cả hai vế của phương trình (2) với 1,8, ta được hệ phương trình mới là: \[\left\{ \begin{array}{l}8,67x + 6,12y = 84\,\,405\\4,86x + 6,12y = 68\,\,022\end{array} \right.\]
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\[3,81x = 16383\] suy ra \[x = 4300\] (thỏa mãn).
Thay \[x = 4\,\,300\] vào phương trình (1), ta được:
\[2,55 \cdot 4\,\,300 + 1,8y = 24\,\,825\] suy ra \(1,8y = 13\,\,860\) nên \[y = 7\,\,700\] (thỏa mãn).
Ta có \[4\,\,300\] nghìn đồng tức là \[4{\rm{ 300 000}}\] đồng; \[7\,\,700\] nghìn đồng là \[7{\rm{ }}700{\rm{ 000}}\] đồng.
Vậy giá niêm yết của loại vé I là \[4{\rm{ 300 000}}\] đồng và giá niêm yết của loại vé II là \[7{\rm{ }}700{\rm{ 000}}\] đồng.
b) i) – Trong dịp lễ Quốc tế Lao động, doanh nghiệp định thưởng 6 vé loại I mà theo bài, nếu khách hàng mua từ 5 vé thuộc cùng một loại trở lên thì sẽ được giảm thêm \(7\% \) của giá vé đã giảm lần đầu, do đó giá tiền của mỗi vé loại I mà doanh nghiệp này đã mua được là:
\(0,9 \cdot 4\,\,300\,\,000 \cdot \left( {100\% - 7\% } \right) = 3\,\,599\,\,100\) (đồng).
Do đó, số tiền mua 6 vé loại I này là: \[6 \cdot 3\,\,599\,\,100 = 21\,\,594\,\,600\] (đồng).
– Gọi số vé thưởng loại II là \[n{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^ * },\,\,n \ge 5} \right)\].
Khi doanh nghiệp mua ít nhất là 5 vé loại II, thì giá tiền mỗi vé loại II là:
\[0,85 \cdot 7{\rm{ }}700{\rm{ 000}} \cdot \left( {100\% - 7\% } \right) = 6\,\,086\,\,850\] (đồng).
Do đó, số tiền mua \(n\) vé loại II lúc này là: \[6\,\,086\,\,850n\] (đồng).
Theo bài, nguồn kinh phí thưởng không vượt quá 95 triệu đồng, do đó ta có bất phương trình:
\[21\,\,594\,\,600 + 6\,\,086\,\,850n \le 95{\rm{ 000 000}}\].
ii) Giải bất phương trình:
\[21\,\,594\,\,600 + 6\,\,086\,\,850n \le 95{\rm{ 000 000}}\]
\[6\,\,086\,\,850n \le 73{\rm{ 405 400}}\]
\[n \le 12,05966962...\].
Do \[n \in {\mathbb{N}^ * }\] và cần tìm giá trị \(n\) lớn nhất nên \[n = 12\].
Do đó, doanh nghiệp có thể mua 6 vé loại I và nhiều nhất là 12 vé loại II.
Vậy doanh nghiệp A có thể mua nhiều nhất 18 vé thưởng cho nhân viên.
(1,5 điểm) Trong một lần đến tham quan tháp Eiffel (Paris, Pháp), bạn Vân muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Vân đã minh họa lại kết quả đo đạc như hình dưới đây.
a) Xét tam giác \(ADC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\cot \widehat {DAC} = \frac{{AC}}{{CD}}.\)
Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\cot \widehat {DBC} = \frac{{BC}}{{CD}}.\)
b) Từ câu a, ta có: \(AC = CD \cdot \cot \widehat {DAC} = h \cdot \cot 60^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)
\(BC = CD \cdot \cot \widehat {DBC} = h \cdot \cot 75^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)
Do \(AB = AC - BC\) nên \(h \cdot \cot 60^\circ - h \cdot \cot 75^\circ = 101\)
Hay \(h \cdot \left( {\cot 60^\circ - \cot 75^\circ } \right) = 101\).
Suy ra \(h = \frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326\) (m).
Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng \(326\) (m).
![a) Chứng minh bốn điểm \[A,O,E,C\] cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/16-1766502586.png)
a) Gọi \[F\] là trung điểm của \[AO\]. Khi đó \[FO = FA = \frac{1}{2}AO\].
Xét \[\Delta OMN\] cân tại \[O\] (do \[OM = ON\]) có \[OE\] là đường trung tuyến nên cũng là đường cao của \[\Delta OMN\], suy ra \[MN \bot OE\] tại \[E\], suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] hay \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\].
Xét \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\] có \[EF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[EF = \frac{1}{2}AO\].
Xét \[\Delta CAO\] vuông tại \[C\] có \[CF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[CF = \frac{1}{2}AO\].
Vì \[EF = CF = FO = FA = \frac{1}{2}AO\] nên bốn điểm \[A,O,E,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[F\] đường kính \[AO.\]
b) ⦁ Chứng minh \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\]
Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là đường phân giác của \[\widehat {BOC}\], do đó \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\].
Mặt khác, \[\widehat {CIB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BC\])
Do đó, ta có: \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\].
• Chứng minh \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]
Xét đường tròn \[\left( F \right)\], có: \[\widehat {AEC} = \widehat {AOC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AC\]).
Mà \[\widehat {CIB} = \widehat {AOC}\] (chứng minh trên) nên \[\widehat {AEC} = \widehat {BIC}\]
Lại có \[\widehat {AEC},\,\,\widehat {BIC}\] ở vị trí đồng vị nên \[BI\,{\rm{//}}\,MN\].
c)
![c) Xác định vị trí của \[N\] để diện tích tam giác \[AIN\] lớn nhất. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/17-1766502646.png)
Vẽ \[NG \bot AB\] kéo dài tại \[G\] và đường kính \[BN'\] của đường tròn \(\left( O \right)\).
Ta có: \[{S_{AIN}} = {S_{ABN}} = \frac{1}{2}NG.AB\] (vì \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]).
Để diện tích \[AIN\] lớn nhất thì \[\frac{1}{2}NG.AB\] đạt giá trị lớn nhất, mà \[AB\] là đường kính đường tròn \[\left( O \right)\] nên có giá trị không đổi, do đó ta cần \[NG\] đạt giá trị lớn nhất.
Mà \[NG \le BN\] (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
Lại có, \[BN \le BN'\] (trong một đường tròn, độ dài các dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính).
Do đó, \[NG\] đạt giá trị lớn nhất khi \[NG = BN'\] hay \[G \equiv B\], hay \[NB \bot AB,OB \bot AB\].
Suy ra \[B,O,N\] thẳng hàng.
Vậy diện tích \[AIN\] lớn nhất khi \[B,O,N\] thẳng hàng.
(0,5 điểm) Cho một mảnh giấy hình vuông \(ABCD\) cạnh \(6{\rm{ cm}}\). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là các điểm nằm trên cạnh \(AB,\,\,BC\) sao cho \(AE = 2{\rm{ cm}}\); \(BF = 3{\rm{ cm}}\). Bạn Nam muốn cắt một hình thang \(EFGH\) (hình vẽ) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của \(G\) (trên \(CD)\) và \(H\) (trên \(AD)\) để bạn Nam có thể thực hiện được mong muốn của mình.
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta CGF\) có:\(\widehat {EAH} = \widehat {GCF} = 90^\circ \) và \(\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\) (dễ dàng chứng minh được từ dữ kiện \(EH\,{\rm{//}}\,GF,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD)\).
Do đó (g.g).
Suy ra \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{x}{3} = \frac{2}{y}\], do đó \[xy = 6\] và \[y = \frac{6}{x}\].
Diện tích hình vuông \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = {6^2} = 36{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích tam giác \(BEF\) là: \({S_{BEF}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left( {6 - 2} \right) = 6{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích hình thang \(EFGH\) là:
\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - {S_{BEF}} - {S_{AHE}} - {S_{DHG}} - {S_{CGF}} = 30 - \left( {{S_{AHE}} + {S_{DHG}} + {S_{CGF}}} \right)\)
\( = 30 - \left[ {\frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{2}\left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right) + \frac{1}{2} \cdot 3y} \right]\)
\( = 30 - \left[ {x + \frac{1}{2}\left( {36 - 6y - 6x + xy} \right) + \frac{3}{2}y} \right]\)
\( = 30 - \left[ {x + 18 - 3y - 3x + \frac{1}{2}xy + \frac{3}{2}y} \right]\)
\( = 30 - \left[ { - 2x + 18 - \frac{3}{2}y + \frac{1}{2}xy} \right]\)
\[ = 12 + 2x + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}xy\]
\( = 12 + 2x + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{x} - \frac{1}{2} \cdot 6\) (do \[xy = 6\] và \[y = \frac{6}{x}\]).
\[ = 9 + 2x + \frac{9}{x}.\]
Để \({S_{EFGH}}\) nhỏ nhất thì \(2x + \frac{9}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{9}{x}\) hay \(2{x^2} = 9\), tức là \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\) Lúc này, \[y = \frac{6}{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 2 .\]
Khi đó, \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là\({S_{EFGH}} = 9 + 2 \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + \frac{9}{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}} = 9 + 6\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Vậy điểm \(G \in CD\) và \(H \in AD\) sao cho \(CG = 2\sqrt 2 \), \(AH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) thì diện tích hình thang \(EFGH\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
