Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Biểu thức nào sau đây có điều kiện xác định là \(x \ge 0,x \ne 9\)?
\(\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}.\)
\(\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}.\)
\(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}.\)
\(2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
⦁ Biểu thức \(\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)có điều kiện xác định là \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 3 \ne 0\).
Suy ra \(\sqrt x \ne 3\) nên \(x \ne 9.\)
Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\) là \(x \ge 0\)và \(x \ne 9\).
⦁ Biểu thức \(\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}\) có điều kiện xác định là: \(x \ge 0\) và \(4 - x \ne 0\) hay \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)
⦁ Biểu thức \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}\) có điều kiện xác định là \(x \ge 0.\)
⦁ Biểu thức \(2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)\) có điều kiện xác định là \(x \ge 0.\)
Vậy ta chọn phương án A.
\({x^2} + 3y = 4.\)
\(x - 3{y^2} = 5.\)
\(x + \frac{1}{y} = 2.\)
\(2x - y = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Do đó, \(2x - y = 3\)là một phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\2y - x = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\2x - y = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = 5\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\4x + 2y = 4\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = 5\end{array} \right.\) có \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{5}\) nên hệ phương trình vô nghiệm.
\(n \le \frac{3}{5}.\)
\(n < \frac{3}{5}.\)
\(n > \frac{3}{5}.\)
\(n \ge \frac{3}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “\(n\) nhỏ hơn \(\frac{3}{5}\)” là \(n < \frac{3}{5}.\)
\(a + 2 < b + 2.\)
\(a - 2 < b - 2.\)
\(2a < 2b.\)
\( - 2a < - 2b.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(a < b\) nên \( - 2a > - 2b.\)
\(\sqrt {AB} = \sqrt A \cdot \sqrt B \) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0\).
\(\sqrt {AB} = \sqrt { - A} \cdot \sqrt { - B} \) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0\).
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt { - A} }}{{\sqrt { - B} }}\) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B > 0\).
Do đó, chọn đáp án C.
Đẳng thức nào sau đây không đúng?
\(\sqrt {16} + \sqrt {144} = 16.\)
\(\sqrt {0,64} \cdot \sqrt 9 = 2,4.\)
\(\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 108.\)
\(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{7^2}} = - 21.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét các đáp án, ta được:
\(\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.\)Do đó, đáp án A là đúng.
\(\sqrt {0,64} \cdot \sqrt 9 = 0,8 \cdot 3 = 2,4\). Do đó, đáp án B là đúng.
\(\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18 \cdot 6 = 108.\)Do đó, đáp án C là đúng.
\(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{7^2}} = 3 \cdot 7 = 21 \ne - 21.\)Do đó, đáp án D là sai.
Vậy chọn đáp án D.
\(x \ge - \frac{1}{3}.\)
\(x \ne - \frac{1}{3}.\)
\(\mathbb{R}.\)
\(x > - \frac{1}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của căn thức \(\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 1} \right)}^3}}}\) là \(\mathbb{R}.\)
\(AB = AC \cdot \cos B.\)
\(AB = AC \cdot \cos C.\)
\(AB = BC \cdot \cos B.\)
\(AB = BC \cdot \cos C.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) nên \(AB = BC \cdot \cos B.\)
\(\tan \alpha = \sin \beta .\)
\(\tan \alpha = \cot \beta .\)
\(\tan \alpha = \cos \beta .\)
\(\tan \alpha = \tan \beta .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(\alpha + \beta = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau.
Do đó, \(\tan \alpha = \cot \beta .\)
\(d\parallel OA.\)
\(d \equiv OA.\)
\(d \bot OA\) tại \(A\).
\(d \bot OA\) tại \(O.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nếu đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) thì \(d \bot OA\) tại \(A\).
\(2{\rm{ cm}}.\)
\({\rm{7 cm}}.\)
\({\rm{3 cm}}.\)
\({\rm{1 cm}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cho hai đường tròn \(\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)\) và \(\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)\) tiếp xúc ngoài thì \(OO' = 2 + 5 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài \(170\) km. Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút, một xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó 40 phút. Biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km. Gọi \(x\) là vận tốc của xe tải, \(y\) là vận tốc của xe khách (\(y > x > 0\), km/h).
a)\(y - x = 15.\)
b) Phương trình biểu diễn quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ là \(\frac{7}{3}x + \frac{2}{3}y = 170.\)
c) Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{7}{3}x + \frac{2}{3}y = 170\end{array} \right.\).
d) Vận tốc của xe tải là \(60\)km/h, vận tốc của xe khách là 45 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
Gọi \(x\) là vận tốc của xe tải, \(y\) là vận tốc của xe khách (\(y > x > 0\), km/h).
• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km nên \(y - x = 15.\)
Do đó, ý a) là đúng.
• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{7}{3}\) giờ.
Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: \(\frac{7}{3}y\) (km) và xe tải đi được quãng đường là \(\frac{2}{3}x\) (km).
Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\).
Do đó, ý b) là sai.
• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là sai.
• Thế \(y = 15 + x\), thế vào phương trình \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\), ta được:
\(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170\)
\(\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170\)
\(3x = 135\)
\(x = 45\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 45\) vào phương trình (1), ta được: \(y = 15 + 45 = 60\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của xe tải là \(45\)km/h, vận tốc của xe khách là \(60\) km/h.
Vậy ý d) là sai.
a)\(AC = AB.\cot \widehat {CBA}\).
b) Tòa nhà có độ cao lớn hơn \(272{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
c) Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \(E\) đến chân tòa nhà khoảng \(93,26{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
d) Hai xe thu gom phế thải cách nhau một khoảng lớn hơn \(45{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:
\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)
Do đó, ý a) là sai.
• Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:
\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy tòa nhà cao \[270,57{\rm{ m}}\].
Do đó, ý b) là sai.
• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].
Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:
\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]
Do đó, ý c) là đúng.
• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]
Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].
Vậy ý d) là đúng.
Phần 3. (2,0 điểm)Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Tìm giá trị của \[x\] thỏa mãn phương trình \(\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Điều kiện xác định: \(x \ne 3,{\rm{ }}x \ne - 1\).
Ta có: \(\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\(\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\(\frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( - x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right) = - 4x\)
\( - {x^2} - x + 3x - {x^2} + 4x = 0\)
\( - 2{x^2} + 6x = 0\)
\( - 2x\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\).
\(x = 0\) (TM) hoặc \(x = 3\) (loại).
Vậy \(x = 0\) là nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn của bất phương trình \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 < \frac{{2x + 1}}{3} + x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8
\(\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}\)
\(\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x\)
\(9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x\)
\( - x < - 7\)
\(x > 7\).
Vậy bất phương trình trên có nghiệm là \(x > 7\).
Do đó, phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.
Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\) tại \[x = 0,25.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: −1
Điều kiện xác định: \[x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9\].
Thay \[x = 0,25\] (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\), ta được:
\(Q = \frac{{\sqrt {0,25} + 2}}{{3 - \sqrt {0,25} }} = \frac{{0,5 + 2}}{{3 - 0,5}} = \frac{{2,5}}{{ - 2,5}} = - 1\).
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] bán kính \[OA.\] Từ trung điểm \[M\] của \[OA\] vẽ dây \[BC \bot OA.\] Biết độ dài đường tròn \[\left( O \right)\] là \[4\pi {\rm{\;cm}}.\] Độ dài cung lớn \[BC\] bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8,38
Ta có \(BC \bot OA\) tại trung điểm \[M\] của \[OA\] nên \(BC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(OA.\) Do đó \[OB = AB.\] Mà \[OA = OB\] nên \[OA = OB = AB.\] Suy ra tam giác \[OAB\] là tam giác đều. Do đó \[\widehat {AOB} = 60^\circ .\] Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {AOC} = 60^\circ .\] Ta có Khi đó số đo cung lớn \[BC\] bằng Độ dài cung lớn \[BC\] là: \[l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8,38{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] | |
![Cho đường tròn \[\left( O \right)\] bán kính \[OA.\] Từ trung điểm \[M\] của \[OA\] vẽ dây \[BC \bot OA.\] Biết độ dài đường tròn \[\left( O \right)\] là \[4\pi {\rm{\;cm}}.\] Độ dài cung lớn \[BC\] bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/22-1761105129.png)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho biểu thức \(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\) với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16.\)
a) Chứng minh \(C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}\).
b) Tính giá trị của biểu thức \(C\) khi \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)
Hướng dẫn giải
a) Với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\), ta có:
\(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\)
\[ = \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]
Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\) có \[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]
b) Ta có: \(a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}\).
Thay vào \[C,\] ta được:
\[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5 \].
Vậy giá trị của \(C = 9 - 4\sqrt 5 \) tại \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)
(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].
a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.
b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].
Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]
Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].
b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)
Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:
\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]
Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).
Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Gọi \[F\] là giao điểm của \[BC,\,\,AE.\] Ta có: \[IC \bot AB\] và \[AF \bot AB\], suy ra \[IC\,{\rm{//}}\,AF\] hay \[IC\,{\rm{//}}\,EF\]. Xét \[\Delta BEF\], có: \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (1) Xét \[\Delta BAE\], có: \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (2) Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}\], mà \[IC = IH\] (do \(I\) là trung điểm của \(CH)\) nên \[EF = EA\] hay \[E\] là trung điểm của \[AF.\] Ta có \[\widehat {FCA} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]) nên \[\Delta FCA\] vuông tại \[C\].
Xét \(\Delta ACF\) vuông tại \(C,\) có \(CE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AF\) nên \[CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.\] Xét \[\Delta CEO\] và \[\Delta AEO\], có: \[CE = AE\], \[OC = OA\] và \[OE\] là cạnh chung Do đó \[\Delta CEO = \Delta AEO\] (c.c.c) Suy ra \[\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng). Ta có: \[\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] hay \[\widehat {ECD} = 180^\circ \]. Vậy ba điểm \[E,C,D\] thẳng hàng. |
|
Coi các sân đó là hình vuông \[ABCD\], phần lát gạch đỏ trang trí là hình vuông \[MNPQ\].
Ta chứng minh được \[\Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP\] (c.c.c)
Diện tích hình vuông \[MNPQ\] có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở bốn góc hình vuông \[ABCD\] là lớn nhất.
Gọi \[S = {S_{AMQ}} + {S_{BNM}} + {S_{CPN}} + {S_{DQP}} = 4{S_{AMQ}} = 4 \cdot \frac{1}{2}AM \cdot AQ = 2 \cdot AM \cdot AQ\]
Mà \[AM + AQ = AM + MB = 16\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Lại có \[{\left( {AM - MB} \right)^2} \ge 0\]
Suy ra \[A{M^2} + M{B^2} \ge 2MA \cdot MB\]
Do đó, \[A{M^2} + 2MA \cdot MB + M{B^2} \ge 4MA \cdot MB\]
\[{\left( {MA + MB} \right)^2} \ge 4MA \cdot MB\]
Suy ra \[2MA \cdot MB \le \frac{{{{\left( {MA + MB} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{16}^2}}}{2} = 128\] hay \[S \le 128\].
Dấu “=” xảy ra khi \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = 8{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
Khi đó, \[M,\,N,\,P,\,Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\,BC,\,CD,\,DA.\]
Vậy khi \[M,\,N,\,P,\,Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\,BC,\,CD,\,DA\] thì diện tích hình vuông \[MNPQ\] nhỏ nhất.
