Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|\), do đó:

Nếu \(\sqrt {{a^2}} = - a\) thì \(a \le 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AC = AB.\cot C.\)

Ta có \(\widehat {CAH} = \widehat {CBA}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAB}\))

Xét \(\Delta BAC\) vuông tại \(A\) có \(\cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).

Suy ra \(\cot \widehat {ACH} = \frac{3}{4}\).

Vậy chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta ABC\) có \(CO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\) và \(CO = \frac{1}{2}AB\) (do \(AB\) là đường kính của đường tròn tâm \(O)\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).

Do đó, \(\widehat {ACB}\) là góc vuông.

Nhận thấy hai đường tròn cắt nhau thì  \[\left| {R - R'} \right| < OO' < R + R'\] hay \(2{\rm{ cm}} < OO' < 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.      b) Đúng.          c) Sai.  d) Sai.

• Gọi \(x,\,\,y\) (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)

Trong 1 giờ, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc); tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).

Do đó, ý a) là đúng.

• Trong 3 giờ, tổ I làm được \(\frac{3}{x}\) (công việc).

Trong 5 giờ, tổ II làm được \(\frac{5}{y}\) (công việc).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau \(15\) giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được \(\frac{1}{{15}}\) (công việc). Ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\) (1)

Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được \(25\% = \frac{1}{4}\) công việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).

Do đó, ý c) là sai.

• Từ phương trình thứ nhất, ta được: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\).

Thế \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(3\left( {\frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\) hay \(\frac{1}{5} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}\), suy ra \(\frac{2}{y} = \frac{1}{{20}}\) nên \(y = 40\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 40\) vào phương trình \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\), ta được:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{40}}\) hay \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\), suy ra \(x = 24\) (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.      c) Sai.          d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\) hay \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\). Do đó, ý a) là đúng.

• Vì \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) nên \(\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.\) Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4,47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4,47 = 6,705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng \(AB\). Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\).

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: \[4,47 + 6,705 = 11,175 \approx 11,18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có: Điều kiện xác định: \(x \ne 0,{\rm{ }}x \ne 3\).

Ta có: \(\frac{{2x - 5}}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{6x + 3}}{{{x^2} - 3x}}\)

\(\frac{{\left( {2x - 5} \right)x}}{{\left( {x - 3} \right)x}} - \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}\)

\(\frac{{2{x^2} - 5x - x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}\)

\(2{x^2} - 5x - x + 3 = 6x + 3\)

\(2{x^2} - 5x - x + 3 - 6x - 3 = 0\)

\(2{x^2} - 12x = 0\)

\(2x\left( {x - 6} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\)(loại) hoặc \(x = 6\)(TM).

Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.

Vậy có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −16

Ta có: \[\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4\]

\[\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4\]

\[\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0\]

\[\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0\]

\[\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0\]

\[ - x - 16 \ge 0\]

\[x \le - 16\].

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(x = - 16\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: −0,6

Điều kiện xác định: \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 16\).

Thay \(x = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}\), ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 2}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 4}} = \frac{{\frac{1}{4} + 2}}{{\frac{1}{4} - 4}} = \frac{9}{4}:\left( { - \frac{{15}}{4}} \right) = \frac{{ - 9}}{{15}} = \frac{{ - 3}}{5} = - 0,6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,6

Công thức tính độ dài của cung tròn \(n^\circ \) trên đường tròn bán kính \(R{\rm{\;(cm)}}\) là: \[l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Suy ra \(R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Thay \(n = 50,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}\) ta được: \[R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{50 \cdot \pi }} = 3,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy bán kính của đường tròn đó là \[3,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

    a) Với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\), ta có:

\[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]

   \[ = \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]

\[ = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]

 \[ = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}\]

\[ = - 2\sqrt a \].

Vậy \[A = - 2\sqrt a \] với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\).

b) Ta có: \(\left| {a - 1} \right| = 1\) suy ra \(a - 1 = 1\) hoặc \(a - 1 = - 1\).

Suy ra \(a = 2\) (thỏa mãn) hoặc \(a = 0\) (loại).

Thay \(a = 2\) vào \[A = - 2\sqrt a \] được \[A = - 2\sqrt 2 \].

Hướng dẫn giải

a) Vì \(AM,\,\,AN\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N\) nên \(AM \bot OM,\,\,AN \bot ON.\)

Gọi \[E\] là trung điểm của \[OA\]. Khi đó \(OE = AE = \frac{1}{2}OA.\)

Xét \[\Delta MOA\] vuông tại \[M\] có \[ME\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[ME = \frac{1}{2}OA\].

Xét \[\Delta NOA\] vuông tại \[N\] có \[NE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[NE = \frac{1}{2}OA\].

Vì \[NE = ME = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,M,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

b) Xét \[\Delta COB\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB\]) có \[OI\] là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó \[OI \bot BC\]. Suy ra \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\].

Xét \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\] có \[IE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[IE = \frac{1}{2}OA\].

Khi đó, ta có \[NE = IE = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,I,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

Suy ra \[\widehat {AIN} = \widehat {AON}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AN\] của đường tròn tâm \[E\]). (*)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \[AM,AN\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là phân giác của \[\widehat {MON}\]

Do đó, \[\widehat {AON} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\].

Mà \[\widehat {NFM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[MN\])

Suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AON}\] (**)

Từ (*) và (**), suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AIN}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó \[MF\,{\rm{//}}\,AC\].

c)

⦁ Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(OA.\)

Ta có \(AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OM = ON\) nên \(A,\,\,O\) cùng nằm trên đường trung trực của \(MN\) hay \(OA\) là đường trung trực của \(MN\).

Suy ra \[MN \bot OA\] hay \[HN \bot OA\].

Xét \[\Delta OHN\] và \[\Delta ONA\], có: \[\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AON}\] là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra \[\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}\] suy ra \[OH.OA = O{N^2} = {R^2}\] (3).

⦁ Ta có \(OC = OB,\,\,IC = IB\) (do \(I\) là trung điểm của \(BC),\) \(KC = KB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm \(O,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

Xét \[\Delta OIB\] và \[\Delta OBK\], có: \[\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ \] và \[\widehat {BOK}\] là góc chung

Do đó  (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}\] suy ra \[OI.OK = O{B^2} = {R^2}\] (4).

Từ (3) và (4) suy ra \[OI.OK = OH.OA = {R^2}.\] Từ đó, ta có \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\].

Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OHK\] có: \[\widehat {AOK}\] là góc chung và \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\]

Do đó  (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ \], suy ra \[HK \bot OA\].

Mà \[MN \bot OA\] tại \[H\] và \[MN\] cố định (do điểm \(A\) cố định), do đó \[K\] thuộc \[MN\] cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn \(AB\) là \(x\) (\(0 < x < 8\), đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn \(AB\) chính là chu vi hình vuông đó và bằng \(4x\) (m).

Do đó, độ dài đoạn \(BC\) là \(8 - 4x\) (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn \(BC\) là \(\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x\) (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Ta có: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2{\rm{ }}{m^2}\) khi \(x - 1 = 0\) hay \(x = 1.\)

Khi đó, độ dài đoạn thẳng \(AB = 4{\rm{ m}}\)và độ dài đoạn thẳng \(BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}\) hay \(B\) là trung điểm của đoạn \(AC\).

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau \(AB = BC = 4{\rm{\;m}}.\)