Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của \(\sqrt[3]{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}\) là \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khẳng định sai là: “Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha \)”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \[\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường tròn đồng tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \(R\) và \(r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).\) Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức \(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Đúng.          d) Đúng.

Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

• Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ nên ta có phương trình:

\(2y + 9 - 2x - 9 = 8\) suy ra \(2y - 2x = 8\) hay \(y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).

Do đó, ý c) là đúng.

• Cộng theo vế hai phương trình ta được \(2y = 90\), suy ra \(y = 45\) (TM).

Thay \(y = 45\) vào phương trình (1), ta được \(x + 45 = 86\), suy ra \(x = 41\) (TM).

Vậy lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.          c) Sai.            d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng \(CH.\)

• Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)

Suy ra \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\) (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

\(AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)

Do đó_, ý c) là sai.

• Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng \(84,66{\rm{ m}}\).

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Điều kiện xác định: \(x \ne 2,{\rm{ }}x \ne  - 2\).

Ta có: \(\frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 4x + 24\)

\({x^2} + 5x + 6 - {x^2} + x + 2 = {x^2} - 4x + 24\)

\(6x + 8 - {x^2} + 4x - 24 = 0\)

\( - {x^2} + 10x - 16 = 0\)

\({x^2} - 10x + 16 = 0\)

\({x^2} - 2x - 8x + 16 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)

Do đó, \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 8 = 0\)

Suy ra \(x = 2\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 8\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: −9

Ta có: \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)\)

\(3x - 2x - 6 \le 3x + 12\)

\(x - 6 \le 3x + 12\)

\(3x - x \ge - 6 - 12\)

\(2x \ge - 18\)

\(x \ge - 9\).

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \( - 9\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,15

Điều kiện xác định: \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\).

Thay \(x = \frac{1}{{25}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{25}}} \left( {\sqrt {\frac{1}{{25}}} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt {\frac{1}{{25}}} } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5}}}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{6}{{25}}:\frac{8}{5} = \frac{3}{{20}} = 0,15\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,35

Bán kính của đường tròn lớn là: \(90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Bán kính của đường tròn nhỏ là: \(60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \(45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}\) và bằng:

\(S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534,29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0,35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Hướng dẫn giải

a) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9\) ta được \(P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

b) Ta có: \(A + \left| A \right| = 0\) suy ra \(\left| A \right| = - A\).

Do đó, \(A \le 0\) hay \(\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0\) suy ra \(\sqrt a - 2 < 0\) do đó \(\sqrt a < 2\).

Suy ra \(0 \le a < 4\).

Vậy \(0 \le a < 4\) là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)

Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).

Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)

Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)

Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)

Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))

Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi

Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)

Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là \[x\] và \[y\] (\[0 < x < 150;\,\,0 < y < 150\]).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là \[300\] mét, suy ra \[x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Diện tích của mảnh đất là \[S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

⦁ Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi \(x > 0,\,\,y > 0.\)

Thật vậy, với mọi \(x > 0,\,\,y > 0,\) ta có:

 \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\]

    \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]

    \[{x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\]

    \[{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0\]

   \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].

Đẳng thức xảy ra khi \[x = y.\]

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Suy ra \[S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625\].

Dấu bằng xảy ra khi \[x = y = \frac{{150}}{2} = 75\] (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất \[S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] khi \[x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh \[75{\rm{ m}}\] để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.