Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là
\(x \ne - 4;\,\,x \ne 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne - 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
\(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}\) là \(x - 4 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).
Suy ra \(x \ne 4\) và \(x \ne - 2.\)
\(x - 2y = 3.\)
\(0x + 3y = 1.\)
\(0x - 0y = 5.\)
\(2x - 0y = 4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) trong đó \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Do đó, không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các hệ phương trình dưới đây, đâu là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\{x^2} + y = 4\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\0x + 0y = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\x + {y^2} = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..\)
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right.\) là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(a - 4 > a - 5.\)
\(a - 3 < a - 4.\)
\(a - 2 \le a - 4.\)
\(a - 7 \ge a - 9.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với số \(a\) bất kì có \(a - 4 > a - 5.\)
\(x > - \frac{{10}}{3}.\)
\(x \ge - \frac{{10}}{3}.\)
\(x < - \frac{{10}}{3}.\)
\(x \le - \frac{{10}}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - \frac{{10}}{3}\)” được viết là \(x \le - \frac{{10}}{3}.\)
\(x \ge 1.\)
\(x > 1.\)
\(x < 1.\)
\(x \le 1.\)\(x - 1 > 0\)\(x > 1.\)
Hướng dẫn giải\(\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}} \)
Đáp án đúng là: B
\(3 - 2x.\)
\(2x - 3.\)
\(\left| {2x - 3} \right|.\)
\(2x - 3\) và \( - 2x + 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} \) là \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó, \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|\).
\(\left| {1 - x} \right|.\)
\(1 - x.\)
\(x - 1.\)
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} = 1 - x\].
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{3}{5}.\)
\(\frac{4}{3}.\)
\(\frac{4}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)
\(\sin B = \cos C.\)
\(\cos B = \sin C.\)
\(\cot B = \tan C.\)
\(\tan B = \frac{1}{{\cot C}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) hay \(\widehat B,\,\widehat C\) là hai góc phụ nhau.
Do đó, \(\tan B = \cot C.\)
Vậy khẳng định D là sai.
\(200^\circ .\)
\(160^\circ \).
\(80^\circ \).
\(20^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.
Do đó, chọn đáp án B.
tiếp xúc trong.
cắt nhau.
tiếp xúc ngoài.
đựng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: hay
Do đó hai đường tròn này cắt nhau.
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Lan có một dung dịch nước muối sinh lí có nồng độ \(1,5\% \) và một dung dịch nước cất không chứa muối (nồng độ \(0\% \)). Lan cần pha trộn dung dịch để thu được 1 lít (1000 ml) dung dịch nước muối sinh lí súc miệng có nồng độ 0,9%. Gọi (ml) là thể tích dung dịch nước muối và \(y\) (ml) là thể tích nước cất \(0\% \) (\(x,{\rm{ }}y > 0\)).
a) Phương trình biểu diễn tổng thể tích dung dịch là \(x + y = 1\,\,000\).
b) Phương trình biểu diễn lượng muối trong dung dịch ban đầu là .
c) Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,015x + y = 900\end{array} \right.\).
d) Lan cần pha \(600{\rm{ ml}}\) dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(400{\rm{ ml}}\) dung dịch nước cốt \(0\% \) để được dung dịch mong muốn.\(1,5\% .x\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
• Gọi \(x\) (ml) là thể tích dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(y\) (ml) là thể tích nước cất \(0\% \) (\(x,{\rm{ }}y > 0\)).
Tổng thể tích dung dịch là \(1{\rm{ 000 ml}}\) nên ta có phương trình \(x + y = 1\,\,000\) (1).
Do đó, ý a) là đúng.
• Tổng khối lượng muối trong dung dịch là \(0,9\% \) của \(1{\rm{ 000 ml}}\). Lượng muối trong dung dịch ban đầu là \(1,5\% .x\) và trong nước cất là \(0\).
Do đó ta có: \(0,015x + 0y = 0,009.1\,\,000\) hay \(0,015x = 9\) (2)
Do đó, ý b) là sai.
• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,015x = 9\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là sai.
• Giải phương trình \(0,015x = 9\) ta được \(x = 600\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 600\) vào phương trình (1), được: \(y = 1\,000 - 600 = 400\) (thỏa mãn).
Vậy Lan cần pha \(600{\rm{ ml}}\) dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(400{\rm{ ml}}\) dung dịch nước cốt \(0\% \) để được dung dịch mong muốn.
Do đó, ý d) là đúng.
Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao \(5{\rm{ m}}\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7{\rm{ m}}\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và đỉnh \(C\) của một cột ăng – ten dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang.
a) \(CE = AE.\tan 40^\circ .\)
b) \(BE = AE.\tan 50^\circ .\)
c) \(AE = \frac{{BC}}{{\tan 40^\circ + \tan 50^\circ }}\).
d) Chiều cao của tòa nhà lớn hơn 24 m.Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng \(BH\).
Xét tam giác \(CAE\) vuông tại \(E\), ta có:
\(CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (1).
Do đó, ý a) là đúng.
• Xét tam giác \(BAE\) vuông ở \(E\), ta có:
\(BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (2).
Do đó, ý b) là đúng.
• Từ (1) và (2) suy ra \(BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ \)
\(BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)
\(5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)
\(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do đó, ý c) là sai.
• Với \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}\) suy ra \(CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)
Chiều cao của tòa nhà là: \(5 + 11,9 + 7 \approx 23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy tòa nhà cao \(23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do đó, ý d) là sai.
Phần 3. (2,0 điểm)Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Điều kiện xác định \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)
Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4\)
\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4\)
\( - 6x \cdot 2 = 4\)
\( - 12x = 4\)
\(x = - \frac{1}{3}\) (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Do đó, không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \[x\] thỏa mãn bất phương trình \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án: −4
Ta có: \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\]
\[\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}\]
\[4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\]
\[16x + 36 + 6 \ge 6x - 3\]
\[16x + 42 \ge 6x - 3\]
\[16x - 6x \ge - 3 - 42\]
\[10x \ge - 45\]
\[x \ge - \frac{9}{2}.\]
Vậy bất phương trình có nghiệm là \[x \ge - \frac{9}{2}.\]
Do đó, giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \[ - 4\].
Tính giá trị của biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}\] tại \[x = 25.\] (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,25
Điều kiện xác dịnh: \[x \ge 0\].
Thay \[x = 25\] (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \[A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}\], ta được:
\[A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} = 0,25\].
Vậy \[A = 0,25\] tại \[x = 25.\]
Mặt đĩa CD có dạng vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \[4{\rm{ cm}}\] và \[6{\rm{ cm}}\]. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 62,8
Diện tích hình vành khuyên đó là: \(S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62,8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0\) và
a) Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\).
Hướng dẫn giải
a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].
Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\).\(BC\)
Theo đề, để \(2P = 2\sqrt x + 5\) thì \(\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\)
Suy ra \(2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \) hay \(2x + 3\sqrt x - 2 = 0\) do đó \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
Suy ra \(\sqrt x + 2 = 0\) hoặc \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0\).
Do đó, \(\sqrt x = - 2\) (vô lí) hoặc \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5\).
(1,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính .
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.
b)\(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)\)
Do đó đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(B.\)
Xét \(\Delta ODE\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \(H\) là trung điểm của \(DE\).
Mà \[H\] lại là trung điểm của \(AC\), do đó tứ giác \(ADCE\) là hình bình hành.
Mặt khác, \(AC \bot DE\) nên hình bình hành \[ADCE\] là hình thoi.
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BE \bot AE\) tại \(E\).
Mà\(AE\,{\rm{//}}\,CD\) (do \[ADCE\] là hình thoi) nên\[EB \bot CD\].
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính \(BC\) ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BF \bot CD\) tại \(F\).
Ta có \(EB \bot CD\) và \(FB \bot CD\) suy ra \(EB\) và \(FB\) trùng nhau.
Vậy ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Tam giác \(FDE\) vuông tại \(F\) có \[FH\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên \(FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.\)
Do đó \(\Delta HFD\) cân tại \(H\), do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HDC}\).
Mặt khác, \[O'FC\] cân tại \(O'\) (do \[O'F = O'C\]) nên \(\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}\)
Mà \(\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ \) (tam giác \[HCD\] vuông tại \[H\])
Nên \(\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ \).
Do đó \(\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(HF \bot O'F\) tại \(F\) và \(F\) thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Vậy \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].
Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật.
Do đó, \[EM = AD = x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có \(EM\,{\rm{//}}\,AB\) (cùng vuông góc với \(AC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:
\[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].
Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].
Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:
\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\]\[ = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]
\[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]\[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].
Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] hay \[x = 3.\]
Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].
Lúc này, xét \(\Delta ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(DM\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) nên \(DM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC,\) suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].
