Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 10)
39 câu hỏi
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
∫0dx=C (C là hằng số).
∫1xdx=lnx+C (C là hằng số , x≠0).
∫xαdx=xα+1α+1+C (C là hằng số).
∫dx=x+C (C là hằng số).
Chọn C
Vì khẳng định không đúng khi α=−1.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+x−2 là
ex+x22−x+C.
ex+x22−2x+C.
ex+x2−2x+C.
e2x+x22−2x+C.
Chọn B
Ta có ∫f(x)dx=∫(ex+x−2)dx=ex+x22−2x+C.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sin(2x+π7) là
−12cos(2x+π7)+C.
12cos(2x+π7)+C.
−12cos(x−π7)+C.
−cos(2x+π7)+C.
Chọn A
Ta có ∫f(x)dx=∫sin(2x+π7)dx=−12cos(2x+π7)+C.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=1x+1 là
ln(x+1)+C.
lnx−1+C.
lnx+1+C.
12lnx+1+C.
Chọn C
Ta có ∫f(x)dx=∫1x+1dx=lnx+1+C
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
∫abfxdx=∫abfydy.
∫abfx+gxdx=∫abfxdx+∫abgxdx.
∫aafxdx=0.
∫abfx.gxdx=∫abfxdx.∫abgxdx.
Chọn D
Các đáp án A, B, C là các tính chất của tích phân. Đáp án D không phải là tính chất của tích phân.
Cho M=∫12x2+22x2dx. Giá trị của M là
2.
52.
1.
112.
Chọn C
Ta có M=∫12x2+22x2dx=∫1212+1x2dx=x2−1x12=1.
Tích phân I=∫012exdx có giá trị là
I=2e−2.
I=2e.
I=2e+2.
I=e2−2e.
Chọn A
Ta có I=∫012exdx=2ex01=2e−2.
Tích phân ∫122xdx có giá trị là
3.
1.
4.
2.
Chọn A
Ta có: ∫122xdx=x212=3
Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=fx, y=gxvà hai đường thẳng x=a, x=b a<b.
S=∫abfx−gxdx.
S=∫abfx−gxdx.
S=∫abfx−gxdx.
S=π∫abfx−gxdx.
Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x+1; y=0; x=0; x=1 quay xung quanh trục Ox là
V=7π.
V=7.
V=73π.
V=73.
Chọn C
Ta có: V=π∫01x+12dx=73π.
Hai điểm M và M' phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oxyz). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hai điểm M và M' có cùng tung độ và cao độ.
Hai điểm M và M' có cùng hoành độ và cao độ.
Hai điểm M và M' có hoành độ đối nhau.
Hai điểm M và M' có cùng hoành độ và tung độ.
Chọn D
“Hai điểm và có cùng hoành độ và tung độ” là mệnh đề đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM→=1;5;2, ON→=3;7;−4. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.
P2;6;−1.
P5;9;−10.
P7;9;−10.
P5;9;−3.
Chọn B
Ta có: OM→=1;5;2⇒M1;5;2, ON→=3;7;−4⇒N3;7;−4, .
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được
xP=2xN−xM=5yP=2yN−yM=9zP=2zN−zM=−10⇒P5;9;−10
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Tam giác có diện tích bằng
6.
63.
62.
12.
Chọn C
AB→=−1;0;1,AC→=1;1;1.
SΔABC=12AB→ ,AC→=62.
Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm I (2;2;-3) và bán kính R=3.
x−22+y−22+z+32=9.
x+22+y−22+z+32=9.
x−22+y−22+z−32=9.
x−22+y+22+z+32=9
Chọn A
Mặt cầu tâm I2;2;−3 và bán kính R = 3, có phương trình: (S): x−22+y−22+z+32=9.
Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có đường kính AB với A1;3;1, B−2;0;1.
x−122+y−322+z−12=92.
x+122+y−322+z−12=92.
x+122+y−322+z+12=92.
x+122+y−322+z−1=92.
Chọn B
Ta có: AB→=−3;−3;0⇒AB=32.
Gọi I là trung điểm AB ⇒I−12;32;1.
Mặt cầu tâm I−12;32;1 và bán kính R=AB2=322, có phương trình:
(S): x+122+y−322+z−12=92.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz?
y=0.
x=0.
z=0.
y−1=0.
Chọn A
Phương trình mặt phẳng Oxzcó phương trình là y = 0.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(1;2;-1) có một vectơ pháp tuyến n→2; 0; 0 có phương trình là
y+z=0.
y+z−1=0.
x−1=0.
2x−1=0.
Chọn C
Phương trình mặt phẳng: 2x−1=0⇔x−1=0.
Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;3), B(-3;-2;-1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
x−y−z=0.
x+y+z+6=0.
x+y+z−6=0.
x+y+z=0.
Chọn D
Gọi i là trung điểm của AB⇒I−1;0;1.
Phương trình mặt phẳng trung trực AB của đoạn thẳng qua I−1;0;1 nhận BA→=4;4;4 là vectơ pháp tuyến: 4x+1+4y+4z−1=0⇔x+y+z=0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox có phương trình là
y−2z+2=0.
x+2z−3=0.
2y−z+1=0.
x+y−z=0.
Chọn A
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm.
Do P // Ox nên P:by+cz+d=0.
Do (P) chứa các điểm A1; 0; 1, B−1; 2; 2nên c+d=02b+2c+d=0⇒2b+c=0.
Ta chọn b=1⇒c=−2. Khi đó d=2.
Vậy phương trình P:y−2z+2=0.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(3;-1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 3z - 5 = 0 có phương trình là
d:x−13=y−1−1=z+32.
d:x+31=y−11=z+2−3.
d:x−31=y+11=z−2−3.
d:x+13=y+1−1=z−32.
Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm A3;−1;2 nhận vectơ pháp tuyến nP→=1;1;−3 là vectơ chỉ phương nên có phương trình là x−31=y+11=z−2−3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;1) và mặt phẳng P:x+y+2z−5=0. Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặt phẳng ?
x−31=y+21=z−12.
x−34=y−2−2=z+1−1.
x+31=y−21=z+12.
x−34=y+2−2=z−1−1.
Chọn D
Vì d đi qua điểm A3; −2; 1 nên loại B, C.
d⊥P⇒nP→. ud→=0nên loại A vì nP→= ud→.
Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600πcm2, chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?
.
425,2 (lít).
425162 (lít).
212,6 (lít).
212581(lít)
Chọn A
Ta có chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
.
Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn.
có bán kính r có diện tích là 1600πcm2, nên.
r2π=1600π⇒r=40cm.
Ta có: Parabol có đỉnh I0; 40 và qua A50; 30.
Nên có phương trình y=−1250x2+40.
Thể tích của trống là.
V=π∫−5050−1250x2+402dx=π.4060003cm3≈425,2dm3=425,2(lít).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3), B(1;0;2). Độ dài đoạn thẳng bằng
5.
9.
3.
29.
Chọn C
Áp dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm ta có:
AB=1+12+0−22+2−32=4+4+1=3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2;-3;5), N(4;7;-9), E(3;2;1), F(1;-8;12). Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
M, N, F.
M, E, F.
N, E, F.
M, N, E.
Chọn A
Ta có: MN→=2; 10; −14, MF→=−1; −5; 7 suy ra MN→=−2MF→.
Vậy M, N, F thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
D−2;5;0.
D1;2;3.
D1;−1;6.
D0;0;2.
Chọn A
Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.
Ta có AB→(−2;−1;3), AC→(−1;−4;5)⇒AB→;AC→=(7;7;7). Mặt phẳng (ABC) đi qua A1;2;0 và có véc tơ pháp tuyến n→=(1;1;1). Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là
: 1(x−1)+1(y−2)+1(z−0)=0⇔x+y+x−3=0
Thay tọa độ điểm D từng đáp án ta có đáp án A.
Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng α: 16x−15y−12z+75=0
x+y2+z2=9.
x2+y2+z=9.
x2+y2+z2=−9.
x2+y2+z2=9.
Chọn D
Do (S) tiếp xúc với ⇔dO,α=R⇔R=7525=3.
Mặt cầu tâm O0;0;0 và bán kính R = 3, có phương trình (S): x2+y2+z2=9
Cho A(1;-2;0), B(3;3;2, C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng
5.
4.
3.
6.
Chọn C
Tính AB→=2;5;2, AC→=−2;4;2, AD→=2;5;1⇒AB→;AC→=(2;−8;18)
V=16AB→,AC→.AD→=3.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I2;5 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
15 km.
323 km.
12 km.
353 km.
Chọn B
Parabol có đỉnh I2;5 và đi qua điểm (0;1) có phương trình y=−x2+4x+1.
Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là:
S1=∫01−x2+4x+1dx=−x33+2x2+xx=1x=0=83
Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là S2=2.4=8
Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là S=S1+S2=83+8=323 .
Xét (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=a a>0. Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng 57π là
a=2.
a=3.
a=5.
a=4.
Chọn B
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay quanh trục hoành là:
V=π∫0a2x+12dx=57π⇔43x3+2x2+x0a=57⇔43a3+2a2+a−57=0
⇔a=3 (thỏa mãn a > 0).
Vậy a = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A−1;2;4 và song song với mặt phẳng có P:4x+y−z+5=0 phương trình là
4x+y+z−5=0.
4x+y+z−2=0.
4x+y−z=0.
4x+y−z+6=0.
Chọn D
Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n→=4;1;−1.
Vì (P) // (Q) nên cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A−1;2;4, có vectơ pháp tuyến n→=4;1;−1 nên nó có phương trình là 4x+1+1.y−2−1.z−4=0⇔4x+y−z+6=0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x − y + 2z + 1 = 0 và hai điểm A1 ; 0 ; −2,B−1 ; −1 ;3. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với (P) có phương trình dạng ax − by + cz + 5 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
a + b + c = 21.
a + b + c = 7.
a + b + c = − 21.
a + b + c = − 7.
Chọn D
Ta có AB→−2 ; −1 ; 5, (P) nhận nP→ = 2 ; − 1 ; 2 làm vectơ pháp tuyến.
Do (Q) qua A, B và vuông góc với (P) nên (Q) nhận làm vectơ pháp tuyến, tức có phương trình là 3 x − 1 + 14y + 4 z + 2 = 0 ⇔ 3x + 14y + 4z + 5 = 0.
⇒ a = 3 , b = − 14 , c = 4.
Vậy a + b + c = −7.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng P:2x−2y+z+17=0. Biết mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu S:x2+y−22+z+12=25 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó mặt phẳng (Q) có phương trình là
2x−2y+z−7=0.
2x−2y+z−17=0.
2x−2y+z+17=0.
x−y+2z−7=0.
Chọn A
Vì Q//P nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2x−2y+z+D=0 D≠17.
Mặt cầu (S) có tâm I0 ;2 ;−1, bán kính R=5.
Trên hình vẽ, ta có tam giác Δ IHA vuông tại H⇒IH2+r2=R2
⇔dI,Q2+r2=R2⇔dI,Q=R2−r2⇒dI,Q=52−32=4⇒2.0−2.2−1+D22+−22+12=4⇔D−5=12⇔D−5=12D−5=−12⇔D=17 D=−7
(loại D = 17).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x−2y+z−7=0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0;-1;2), B(2;-3;0), C(-2;1;1), D(0;-1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA→.MB→=MC→.MD→=1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính bằng bao nhiêu?
r=112.
r=72.
r=32.
r=52.
Chọn A
Gọi Mx;y;z là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có
AM→=x;y+1;z−2, BM→=x−2;y+3;z, CM→=x+2;y−1;z−1, DM→=x;y+1;z−3.
Từ giả thiết: MA→.MB→=MC→.MD→=1⇔MA→.MB→=1MC→.MD→=1
⇔xx−2+y+1y+3+zz−2=1xx+2+y+1y−1+z−1z−3=1⇔x2+y2+z2−2x+4y−2z+2=0x2+y2+z2+2x−4z+1=0
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I11;−2;1, R1=2 và mặt cầu tâm I2−1;0;2, R2=2.
Ta có: I1I2=5.
Dễ thấy: r=R12−I1I222=4−54=112.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là
972.
97.
92.
914.
Chọn A
Tính AB→2;5;2, AC→−2;4;2, AD→2;5;1
V=16AB→,AC→.AD→=3
V=13B.h, với B=SΔABC=12AB→,AC→=72, h=dD,ABC
⇒h=3VB=3.372=972.
Cho hình chóp S. ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥ABCD. Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 272 (đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm i của S1S2.
I0;−1;−3.
I1;0;3.
I0;1;3.
I−1;0;−3.
Chọn C
Ta có AB→=−1;−1;2, AC→=1;−2;1⇒SABC=12AB→,AC→=332
DC→=−2;−2;4, AB→=−1;−1;2⇒DC→=2.AB→ là hình thang và
Vì SABCD=3SABC=932
Lại có h là trung điểm của CD⇒H0;1;5
Gọi Sa;b;c⇒SH→=−a;1−b;5−c⇒SH→=kAB→,AC→=k3;3;3=3k;3k;3k
Suy ra 33=9k2+9k2+9k2⇒k=±1
+) Với k=1⇒SH→=3;3;3⇒S−3;−2;2
+) Với k=−1⇒SH→=−3;−3;−3⇒S3;4;8
Suy ra I0;1;3
Viết phương trình mặt cầu (S) biết: (S) qua bốn điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3), D(1;0;4).
x−22+y−12+z2=26.
x+22+y+12+z2=26.
x+22+y−12+z2=26.
x+22+y−12+4z2=26.
Chọn C
Gọi Ix;y;z là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: IA=IBIA=ICIA=ID⇔IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔−y+z=−1x+7z=−2y−4z=1⇔x=−2y=1z=0.
Do đó: I−2;1;0 và R=IA=26. Vậy (S): x+22+y−12+z2=26.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2). Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là một đường thẳng d. Phương trình tham số của đường thẳng là
x=−8−3ty=tz=15+7t.
x=−8+3ty=tz=15−7t.
x=−8+3ty=−tz=−15−7t.
x=−8+3ty=tz=15+7t.
Chọn A
Ta có AB→=−2; 1; −1; BC→=3; −5; 2.
Ta thấy AB→ và BC→ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
M cách đều hai điểm A, B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB.
M cách đều hai điểm B, C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC.
Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến của hai mặt trung trực của AB và BC.
Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC.
K0; 32; 12 là trung điểm AB; N12; −12; 1 là trung điểm BC.
(P) đi qua K và nhận AB→=−2; 1; −1 làm P:−2x+y−32−z−12=0 véctơ pháp tuyến nên hay P:2x−y+z+1=0.
(Q) đi qua N và nhận BC→=3; −5; 2 làm Q:3x−12−5y+12+2z−1=0 véctơ pháp tuyến nên hay Q:3x−5y+2z−6=0.
Ta có d:2x−y+z+1=03x−5y+2z−6=0
Nên d có véctơ chỉ phương u→=AB→,BC→=−3; 1; 7.
Cho y = 0 ta sẽ tìm được x=−8, z=15 nên −8; 0; 15∈d.
Vậy đường thẳng d có phương trình x=−8−3ty=tz=15+7t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C, ABC^=60°, AB=32, đường thẳng AB có phương trình x−31=y−41=z+8−4, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng α:x+z−1=0. Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi (a;b;c) là tọa độ điểm C, giá trị của a+b+c bằng
3.
2.
-4.
7.
Chọn B
Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng α. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x−31=y−41=z+8−4x+z−1=0⇔x=1y=2z=0. Vậy điểm A1; 2; 0.
Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B3+t; 4+t; −8−4t.
Theo giả thiết thì t+3>0⇔t>−3.
Do AB=32, ta có t+22+t+22+16t+22=18⇒t=−1 nên B2; 3; −4.
Theo giả thiết thì AC=ABsin60°=362; BC=AB.cos60°=322.
Vậy ta có hệ a+c=1a−12+b−22+c2=272a−22+b−32+c+42=92⇔a+c=12a+2b−8c=9a−12+b−22+c2=272
⇔a=72b=3c=−52. Vậy C72; 3; −52 nên a+b+c=2.
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và fx.f'x=cosx.1+f2x, ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn π6;π2.
m=212, M=22.
m=52, M=3.
m=52, M=3.
m=3, M=22.
Chọn A
Từ giả thiết fx.f'x=cosx.1+f2x
⇒∫fx.f'x1+f2xdx=sinx+C
Đặt t=1+f2x⇒t2=1+f2x⇒tdt=fxf'xdx.
Thay vào ta được ∫dt=sinx+C⇒t=sinx+C⇒1+f2x=sinx+C.
Do f0=3⇒C=2.
Vậy 1+f2x=sinx+2⇒f2x=sin2x+4sinx+3
⇒fx=sin2x+4sinx+3, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2.
Ta có π6≤x≤π2⇒12≤sinx≤1, xét hàm số gt=t2+4t+3 có hoành độ đỉnh t=−2 loại.
Suy ra max12;1gt=g1=8, min12;1gt=g12=214.
Suy ra maxπ6;π2fx=fπ2=22, minπ6;π2fx=gπ6=212.
