Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án - Đề 4

Đáp án D

Phương pháp:

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là $-\frac{A}{B}$.

Cách giải:

Phân thức đối của $\frac{2x-1}{5-x}$ là $-\frac{2x-1}{5-x}=\frac{1-2x}{5-x}$.

Đáp án A

Phương pháp:

Giá trị của phân thức $\frac{A}{B}$xác định khi $B\ne 0$.

Cách giải:

Giá trị của phân thức $\frac{x+1}{2x-6}$được xác định khi $2x-6\ne 0\iff 2x\ne 6\iff x\ne 3$ .

Đáp án B

Phương pháp:

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn biểu thức.

Sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Cách giải:

Ta có:$\frac{-2x^2-2x}{1-x^2}=\frac{-2x\left(x+1\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}$

$=\frac{-2x}{1-x}=\frac{2x}{x-1}$

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pytago để tính cạnh huyền 

Sử dụng: Trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến ứng với cạch huyền bằng nửa cạnh huyền.

Cách giải:

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pytago ta có:$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$

Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}=\mathrm{2,5}cm$ .

Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài $a$, chiều rộng $b$là $S=ab$.

Cách giải:

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là $S=ab$ với $a,b$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng

Chiều dài mới là $a^{\text{'}}=6a$

Chiều rộng mới là $b^{\text{'}}=\frac{b}{2}$

Lúc này diện tích hình chữ nhật là $S^{\text{'}}=a^{\text{'}}.b^{\text{'}}=6a.\frac{b}{2}=3ab=3S$

Như vậy diện tích tăng 3 lần so với ban đầu.

Đáp án C

Phương pháp:

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn biểu thức.

Cách giải:

Đáp án A: Ta có: $\frac{4x+4}{4x}=\frac{4\left(x+1\right)}{4x}=\frac{x+1}{x}$ nên A đúng

Đáp án B: Ta có: $\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+2}$ nên B đúng

Đáp án C: Ta có: $\frac{5x+5}{5x}=\frac{5\left(x+1\right)}{5x}=\frac{x+1}{x}\ne 5$ nên C sai

Đáp án D: Ta có:$\frac{4x^2-9}{2x+3}=\frac{\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x+3\right)}=2x-3$  nên D đúng

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Cách giải:

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên C đúng.

Đáp án A

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định.

Cho phân thức bằng 1 sau đó quy đồng mẫu thức để tìm $x$.

So sánh điều kiện để kết luận

Cách giải:

ĐK:$2x\ne 0\iff x\ne 0$

Ta có:

$\frac{x+2}{2x}=1\iff \frac{x+2}{2x}=\frac{2x}{2x}$

$\Rightarrow x+2=2x$

 $\iff x=2$(tm)

Vậy $x=2$.

Đáp án A

Phương pháp:

Đưa về cộng hai phân thức cùng mẫu:$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$ .

Cách giải:

Ta có:

$\frac{x+3}{2x-1}+\frac{4-x}{1-2x}=\frac{x+3}{2x-1}+\frac{4-x}{2x-1}$

$=\frac{x+3+4-x}{2x-1}=\frac{7}{2x-1}$.

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về hình chữ nhật, hai tam giác bằng nhau, trục đối xứng.

Cách giải:

Ta có A, B, C đều đúng.

D sai vì hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

Cách giải:

Ta có:

$\left(x^3+27\right):\left(3x-9-x^2\right)$

$=\left(x+3\right):\left(x^2-3x+9\right):\left[-\left(x^2-3x+9\right)\right]$

$=-\left(x+3\right)=-x-3$

Đáp án D

Phương pháp:

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau.

Sử dụng định lý Pytago.

Cách giải:

Xét hình vuông $ABCD$ có đường chéo .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ABC$ ta có:

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

$\iff 2A{B}^2=4^2$

$\iff A{B}^2=8$

$\Rightarrow AB=\sqrt{8}$

Vậy hình vuông có cạnh là $\sqrt{8}$.

Cách giải:

Cách giải:

Tính giá trị của  biết .

Tìm các giá trị nguyên của  để  có giá trị nguyên.

Ta có:$A=\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3x-6+7}{x-2}=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}$

Vì $x\in \mathbb{Z}$ và $3\in \mathbb{Z}$nên để $A\in \mathbb{Z}$ thì $x-2\in U\left(7\right)=\left\{\pm 1;\pm 7\right\}$ .

Ta có bảng:

Vậy với $x\in \left\{3;1;9;-5\right\}$ thì $A\in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\frac{1}{2};-1\right\}$.

Tìm $a$và $b$ để $f\left(x\right)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$ chia hết cho $g\left(x\right)=x^2-3x+4$.

Ta có:

$f\left(x\right)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$

$=\left(x^4-3x^3+4x^2\right)-\left(x^2-3x+4\right)+ax-3x+b+4$

$=\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-1\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

$=x^2\left(x^2-3x+4\right)-\left(x^2-3x+4\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

$=\left(x^2-1\right)f\left(x\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

Để $f\left(x\right)$chia hết cho $g\left(x\right)$ thì $\left\{\begin{array}{l}a-3=0\\ b+4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-4\end{array}\right.$.

Vậy $a=3$,$b=-4$ .

Cách giải:

Chứng minh tứ giác $AEDF$là hình chữ nhật.

Cách giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Chứng minh tứ giác $ABDI$là hình bình hành và từ đó suy ra ba điểm $B,O,I$ thẳng hàng.

Cách giải:

Tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $ABCI$ là hình thang cân. Hãy tính  trong trường hợp này biết .

Phương pháp:

Xét $y=0$

Xét $y\ne 0$, chia cả tử và mẫu cho $y^2$. Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng $-3$.

Cách giải:

Xét $y=0$, ta có:$P=1$ .

Xét $y\ne 0$, chia cả tử và mẫu của $\left(1\right)$ cho $y^2$, ta có:

$P=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-6\left(\frac{x}{y}\right)+6}{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-2\left(\frac{x}{y}\right)+1}$

Đặt $t=\frac{x}{y}\left(t\ne 1\right)$. Biểu thức $P$ trở thành:

$P=\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}$

Ta sẽ đi chứng minh:$P\ge -3\left(\ast \right)$

Ta có:

$\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}\ge -3$

$\iff t^2-6t+6\ge -3t^2+6t-3$

$\iff 4t^2-12t+9\ge 0$

$\iff {\left(2t-3\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \left(\ast \right)$ luôn đúng.

Dấu $"="$ xảy ra $\iff 2t-3=0\iff t=\frac{3}{2}\iff \frac{x}{y}=\frac{3}{2}\iff 2x=3y$.

Vậy $\min P=-3$, đạt được khi $2x=3y$.