Đáp án A

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định.

Cho phân thức bằng 1 sau đó quy đồng mẫu thức để tìm $x$ .

So sánh điều kiện để kết luận

Cách giải:

ĐK:$2x\ne 0\iff x\ne 0$

Ta có:

$\frac{x+2}{2x}=1\iff \frac{x+2}{2x}=\frac{2x}{2x}$

$\Rightarrow x+2=2x$

 $\iff x=2$(tm)

Vậy $x=2$.

Đáp án A

Phương pháp:

Đưa về cộng hai phân thức cùng mẫu:$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$ .

Cách giải:

Ta có:

$\frac{x+3}{2x-1}+\frac{4-x}{1-2x}=\frac{x+3}{2x-1}+\frac{4-x}{2x-1}$

$=\frac{x+3+4-x}{2x-1}=\frac{7}{2x-1}$.

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về hình chữ nhật, hai tam giác bằng nhau, trục đối xứng.

Cách giải:

Ta có A, B, C đều đúng.

D sai vì hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

Cách giải:

Ta có:

$\left(x^3+27\right):\left(3x-9-x^2\right)$

$=\left(x+3\right):\left(x^2-3x+9\right):\left[-\left(x^2-3x+9\right)\right]$

$=-\left(x+3\right)=-x-3$

Đáp án D

Phương pháp:

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau.

Sử dụng định lý Pytago.

Cách giải:

Xét hình vuông $ABCD$ có đường chéo .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ABC$ ta có:

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

$\iff 2A{B}^2=4^2$

$\iff A{B}^2=8$

$\Rightarrow AB=\sqrt{8}$

Vậy hình vuông có cạnh là $\sqrt{8}$.

Cách giải:

Cách giải:

Tính giá trị của  biết .

Tìm các giá trị nguyên của  để  có giá trị nguyên.

Ta có:$A=\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3x-6+7}{x-2}=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}$

Vì $x\in \mathbb{Z}$ và $3\in \mathbb{Z}$ nên để $A\in \mathbb{Z}$ thì $x-2\in U\left(7\right)=\left\{\pm 1;\pm 7\right\}$  .

Ta có bảng:

Vậy với $x\in \left\{3;1;9;-5\right\}$ thì $A\in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\frac{1}{2};-1\right\}$ .

Tìm $a$ và $b$ để $f\left(x\right)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$ chia hết cho $g\left(x\right)=x^2-3x+4$ .

Ta có:

$f\left(x\right)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$

$=\left(x^4-3x^3+4x^2\right)-\left(x^2-3x+4\right)+ax-3x+b+4$

$=\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-1\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

$=x^2\left(x^2-3x+4\right)-\left(x^2-3x+4\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

$=\left(x^2-1\right)f\left(x\right)+\left(a-3\right)x+b+4$

Để $f\left(x\right)$ chia hết cho $g\left(x\right)$  thì $\left\{\begin{array}{l}a-3=0\\ b+4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-4\end{array}\right.$ .

Vậy $a=3$ ,$b=-4$ .

Cách giải:

Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Cách giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Chứng minh tứ giác $ABDI$ là hình bình hành và từ đó suy ra ba điểm $B,O,I$  thẳng hàng.

Cách giải:

Tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $ABCI$ là hình thang cân. Hãy tính  trong trường hợp này biết .

Phương pháp:

Xét $y=0$

Xét $y\ne 0$ , chia cả tử và mẫu cho $y^2$ . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng $-3$.

Cách giải:

Xét $y=0$, ta có:$P=1$ .

Xét $y\ne 0$, chia cả tử và mẫu của $\left(1\right)$ cho $y^2$, ta có:

$P=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-6\left(\frac{x}{y}\right)+6}{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-2\left(\frac{x}{y}\right)+1}$

Đặt $t=\frac{x}{y}\left(t\ne 1\right)$ . Biểu thức $P$  trở thành:

$P=\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}$

Ta sẽ đi chứng minh:$P\ge -3\left(\ast \right)$

Ta có:

$\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}\ge -3$

$\iff t^2-6t+6\ge -3t^2+6t-3$

$\iff 4t^2-12t+9\ge 0$

$\iff {\left(2t-3\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \left(\ast \right)$ luôn đúng.

Dấu $"="$  xảy ra $\iff 2t-3=0\iff t=\frac{3}{2}\iff \frac{x}{y}=\frac{3}{2}\iff 2x=3y$ .

Vậy $\min P=-3$, đạt được khi $2x=3y$ .