Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 04
11 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?
\(y = 0x + 3.\)
\(y = 2{x^2} + 1.\)
\(y = - x.\)
\(y = 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\) với \(a \ne 0.\)
Vậy hàm số \(y = - x\) là hàm số bậc nhất.
Giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - 2x + 4\) với trục \(Ox\) là
\(\left( {2;0} \right).\)
\(\left( {4;0} \right).\)
\(\left( {0;4} \right).\)
\(\left( {0;2} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - 2x + 4\) với trục \(Ox\) là 0.
Do đó ta có \(0 = - 2x + 4\)
Suy ra \(x = 2.\)
Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - 2x + 4\) với trục \(Ox\) là \(\left( {2;0} \right).\)
Cho đường thẳng \(y = ax + b.\) Với giá trị \(a\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục \(Ox\) là góc tù?
\(a < 0.\)
\(a = 0.\)
\(a > 0.\)
\(a \ne 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khi \(a < 0\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \(Ox\) là góc tù.
Hai đường thẳng \(y = x + 2\) và \(y = 2x + 2\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ có vị trí tương đối là
Trùng nhau.
Cắt nhau tại điểm có tung độ là 2.
Song song với nhau.
Cắt nhau tại điểm có tung độ là \( - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(y = x + 2\) có hệ số góc \(a = 1.\)
Đường thẳng \(y = 2x + 2\) có hệ số góc \(a = 2.\)
Do đó hai đường thẳng trên cắt nhau.
Đường thẳng \(y = x + 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
Đường thẳng \(y = 2x + 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ là 2. Ta chọn phương án B.
Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng về \(MN?\)
là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
là đường trung trực của \(\Delta ABC.\)
là đường phân giác của \(\Delta ABC.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,AC\) nên \[MN\] là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
Cho tam giác \(PQR\) có \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(PQ\) và \(QR.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(IK = \frac{1}{2}PR.\)
\(IK\,{\rm{//}}\,PR\)
Cả A và B đều đúng.
Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta PQR\) có \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(PQ\) và \(QR\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác, đo dó \(IK\,{\rm{//}}\,PR\) và \(IK = \frac{1}{2}PR.\)
Vậy ta chọn phương án C.
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 15{\rm{\;cm}},\,\,AC = 20{\rm{\;cm}},\,\,BC = 25{\rm{\;cm}},\,\,AD\] là đường phân giác của \(\widehat {BAC}.\) Tỉ số diện tích của \[\frac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}}\] bằng
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{1}{4}.\]
\[\frac{3}{4}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}.\)
Ta có: \({S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}AH \cdot DB;\,\,{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}AH \cdot DC.\)
Do đó \[\frac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AH \cdot DB}}{{\frac{1}{2}AH \cdot DC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}.\]
Cho hình vẽ bên, biết \[DE\,{\rm{//}}\,BC,\] \[EF\,{\rm{//}}\,CD\,.\] Tỉ số nào sau đây là sai?
\(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{EF}}{{CD}}.\)
\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}.\)
\(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}.\)
\[\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{{BC}}{{DE}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) với \[DE\,{\rm{//}}\,BC,\] ta có:
⦁ \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\) (định lí Thalès). Do đó B là khẳng định đúng.
⦁ \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\] (hệ quả của định lí Thalès).
Xét \(\Delta ADC\) với \[EF\,{\rm{//}}\,CD\,,\] ta có:
⦁ \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{EF}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Do đó A là khẳng định đúng.
Mà \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\] nên \[\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{{DE}}{{BC}}.\] Do đó D là khẳng định sai.
\(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}.\) Do đó C là khẳng định đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Trong giờ thực hành thí nghiệm, một học sinh thả một miếng chì có khối lượng \(0,31\) kg đang ở nhiệt độ \(100^\circ {\rm{C}}\) vào \(0,25\) kg nước đang ở nhiệt độ \(58,5^\circ {\rm{C}}.\) Biết nhiệt dung riêng của nước là \(4\,\,200\) J/kg.K, nhiệt dung riêng của chì là 130 J/kg.K. gọi \(t^\circ {\rm{C}}\) là nhiệt độ khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt, \({Q_{nuoc}}\) (J) là nhiệt lượng nước thu vào để tăng nhiệt độ từ \(58,5^\circ {\rm{C}}\) lên \(t^\circ {\rm{C}}{\rm{,}}\) \({Q_{chi}}\) (J) là nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ \(100^\circ {\rm{C}}\) xuống \(t^\circ {\rm{C}}{\rm{.}}\)
a) Biết công thức tính nhiệt lượng thu vào/ tỏa ra là: \(Q = m \cdot c \cdot \Delta t\) (J), trong đó \(m\) là khối lượng của vật (kg), \(c\) là nhiệt dung riêng của chất làm nên vật (J/kg.K) và \(\Delta t = {t_2} - {t_1}\) là độ tăng/giảm nhiệt độ của vật \(\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\) với \({t_1}\) là nhiệt độ ban đầu, \({t_2}\) là nhiệt độ cuối cùng.Viết công thức tính \({Q_{chi}}\) theo \(t.\)
b) Công thức tìm được ở câu a có phải là hàm số bậc nhất không? Nếu có, hãy tìm các hệ số \(a,\,\,b\) của nó.
c) Khi có sự cân bằng nhiệt thì nhiệt độ của nước và chì là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải
a) Nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ \(100^\circ {\rm{C}}\) xuống \(t^\circ {\rm{C}}\) là:
\({Q_{chi}} = 0,31 \cdot 130 \cdot \left( {100 - t} \right) = - 40,3t + 4\,\,030\) (J).
b) Công thức \({Q_{chi}} = - 40,3t + 4\,\,030\) (J) là hàm số bậc nhất với hệ số \(a = - 40,3\) và \(b = 4\,\,030.\)
c) Nhiệt lượng nước thu vào để tăng nhiệt độ từ \(58,5^\circ {\rm{C}}\) lên \(t^\circ {\rm{C}}\) là:
\({Q_{nuoc}} = 0,25 \cdot 4\,\,200 \cdot \left( {t - 58,5} \right) = 1\,\,050t - 61\,\,425\) (J).
Khi cân bằng nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng với nhiệt lượng thu vào nên ta có:
\({Q_{nuoc}} = {Q_{chi}}\)
Do đó \(1\,\,050t - 61\,\,425 = - 40,3t + 4\,\,030\)
\(1\,\,090,3t = 65\,\,455\)
\(t \approx 60\)
Vậy nhiệt độ của nước và chì khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt là khoảng \(60^\circ {\rm{C}}.\)
Cho hai hàm số \(y = x + 3\) (1) và \(y = - \frac{1}{2}x + 3\) (2).
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Gọi giao điểm đồ thị của hàm số (1) và hàm số (2) với trục hoành lần lượt là \(M\) và \(N,\) giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và hàm số (2) là \(P.\) Xác định toạ độ các điểm \(M,\,\,N,P.\)
c) Tính diện tích và chu vi của \(\Delta MNP?\) (với độ dài đoạn đơn vị trên mặt phẳng tọa độ là \({\rm{cm}}).\)
Hướng dẫn giải
a) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 3:\)
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = - 3.\) wertyuiop[4567890
Đồ thị hàm số \(y = x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( { - 3;0} \right).\)
⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3:\)
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 6.\)
Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {6;0} \right).\)
b)
Giao điểm đồ thị của hàm số (1) với trục hoành là \(M\left( { - 3;0} \right);\)
Giao điểm đồ thị của hàm số (2) với trục hoành là \(N\left( {6;0} \right);\)
Giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và hàm số (2) là \(P\left( {0;3} \right).\)
Vậy \(M\left( { - 3;0} \right);\,\,N\left( {6;0} \right);\,\,P\left( {0;3} \right).\)
c) Tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP:\)
\(MN = MO + ON = 3 + 6 = 9{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)
\(MP = \sqrt {M{O^2} + P{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)
\(NP = \sqrt {O{P^2} + O{N^2}} = \sqrt {{3^2} + {6^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Diện tích của \(\Delta MNP\) là: \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}PO \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = \frac{{27}}{2}\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Chu vi tam giác \(MNP\) là: \(9 + 3\sqrt 2 + 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Cho \(\Delta ABC\) có đường phân giác \(AD.\)
a) Giả sử \(AB = 6\;{\rm{cm}},\) \(BC = 10\;{\rm{cm}},\) \(AC = 9\;{\rm{cm}}.\) Tính độ dài đoạn thẳng \(BD.\)
b) Trên tia đối của các tia \(AB\) và \(AC,\) lần lượt lấy các điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,\,\,AC = 3AF.\) Chứng minh \(EF\,{\rm{//}}\,BC.\)
c) Qua \(A,\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC.\) Đường thẳng \(d\) cắt \(BF\) và \(CE\) lần lượt tại \(I\) và \(K.\) Chứng minh:
i) \(A\) là trung điểm của \(IK.\) ii) \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = 1.\)
a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC},\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác), suy ra \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}.\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB + AC}}{{DB + DC}} = \frac{{AB + AC}}{{BC}} = \frac{{6 + 9}}{{10}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}.\)
Suy ra \(DB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4{\rm{\;cm}},\,\,DC = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6{\rm{\;cm}}.\)
b) Từ \(AE = \frac{1}{3}AB\) suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)
Từ \(AC = 3AF\) suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{3}.\)
Do đó \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{3}.\)
Theo định lí Thalès đảo ta có \(EF\,{\rm{//}}\,BC.\)
c) i) Xét \(\Delta FBC\) có \(IA\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{FI}}{{FB}} = \frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{IA}}{{BC}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta EBC\) có \(AK\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{AK}}{{BC}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(EF\,{\rm{//}}\,BC\) (câu b) theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}},\) suy ra \(\frac{{AE}}{{AE + AB}} = \frac{{AF}}{{AF + AC}},\) hay \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AF}}{{FC}}.\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{IA}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{BC}},\) do đó \(AI = AK,\) hay \(A\) là trung điểm của \(IK.\)
ii) Xét \(\Delta EBC\) có \(AK\,{\rm{//}}\,BC\) (do \(d\,{\rm{//}}\,BC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{CK}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CF}}.\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (1) và (4) ta có \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = \frac{{AF}}{{FC}} + \frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{FC}}{{FC}} = 1.\)
Vậy \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = 1.\)
