Hướng dẫn giải

a) Với \(m \ne 1,\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 2x - 3\) thì \(m - 1 = 2\) và \(m \ne  - 3,\) tức là \(m = 3\) (thỏa mãn \(m \ne 1,\,\,m \ne  - 3).\)

Vậy \(m = 3.\)

b) ⦁ Với \(m = 3,\) ta có hàm số \(y = 2x + 3.\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3.\)

Cho \(x =  - 1,\) ta có \(y = 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) là đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right).\)

⦁ Xét hàm số \(y = 2x - 3.\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y =  - 3.\)

Cho \(x = 1,\) ta có \(y =  - 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right).\)

c) Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(y = x + 2;y = \frac{1}{2}x + 3.\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \(y = x + 2\) nên ta có \({y_A} = {x_A} + 2.\) Khi đó \(A\left( {{x_A};\,\,{x_A} + 2} \right).\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x + 3\) nên ta có \({x_A} + 2 = \frac{1}{2}{x_A} + 3,\) suy ra \(\frac{1}{2}{x_A} = 1,\) do đó \({x_A} = 2.\)

Từ đó ta có \({y_A} = {x_A} + 2 = 2 + 2 = 4.\)

Vì vậy ta được \(A\left( {2;4} \right).\)

Để ba đường thẳng \(y = x + 2;y = \frac{1}{2}x + 3\) và \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) đồng quy thì đường thẳng \(\left( d \right)\) phải đi qua giao điểm \(A\left( {2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(y = x + 2;y = \frac{1}{2}x + 3.\)

Khi đó \(x = 2,\,\,y = 4\) thỏa mãn hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + m,\) ta được:

\(4 = \left( {m - 1} \right) \cdot 2 + m,\) suy ra \(2m - 2 + m = 4,\) do đó \(3m = 6,\) nên \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 1).\)

Vậy \(m = 2.\)

Hướng dẫn giải

1)

⦁ Hình 1:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[x = 7,5\,\,{\rm{cm}}.\]

⦁ Hình 2:

Xét tam giác \[IKJ\] có \[IL\] là phân giác trong góc \[\widehat {KIJ}\] (do \(\widehat {KIL} = \widehat {JIL}),\) nên \(\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}}\) hay \[\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}}\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6,2 + 8,7}} = \frac{{KJ}}{{14,9}} = \frac{{12,5}}{{14,9}}.\]

Suy ra \[LJ = \frac{{12,5}}{{14,9}} \cdot 8,7 \approx 7,3.\]

2)

a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,DM\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,MC\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả

định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\) \(\left( 2 \right)\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(DM = MC.\) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\) \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \(EF\,{\rm{//}}\,AB.\)

b) i)Xét \(\Delta ADM\) có \(HE\,{\rm{//}}\,DM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)

Xét \(\Delta AMC\) có \(EF\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},\) mà \(DM = MC\) nên \(HE = EF.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(EF = FN.\) Suy ra \(HE = EF = FN.\)

ii) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}.\) Suy ra \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.\)

Do đó \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)

Mà theo câu b, \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)

Suy ra \(HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.\)

Vậy \(HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.\)