Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 03
11 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Cho hàm số \(y = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}x + 5.\) Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?
\(m \ne 1.\)
\(m \ne - 1.\)
\(m = 1.\)
\(m \ne 1\) và \(m \ne - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số \(y = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}x + 5\) là hàm số bậc nhất thì \(a = \frac{{m - 1}}{{m + 1}} \ne 0\) tức là \(m - 1 \ne 0\) và \(m + 1 \ne 0\) hay \(m \ne 1\) và \(m \ne - 1.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Cho hàm số được xác định bởi công thức \(y = ax - 1.\) Biết đồ thị hàm số này đi qua điểm \[\left( {1;2} \right).\] Hoành độ của điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \( - 4\) là
\( - 13.\)
\( - 1.\)
\( - 5.\)
\( - 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì đồ thị hàm số \(y = ax - 1\) đi qua điểm \[\left( {1;2} \right)\] nên ta có:
\(2 = a \cdot 1 - 1\)
Suy ra \(a = 3.\) Khi đó ta có hàm số \(y = 3x - 1.\)
Đồ thị hàm số \(y = 3x - 1\) đi qua điểm có tung độ bằng \( - 4\) nên ta có hoành độ của điểm này thỏa mãn:
\( - 4 = 3x - 1,\) suy ra \(3x = - 3\) nên \(x = - 1.\)
Vậy ta chọn phương án B.
Cho đường thẳng \(y = ax + b.\) Với giá trị \(a\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục \(Ox\) là góc nhọn?
\(a < 0.\)
\(a = 0.\)
\(a > 0.\)
\(a \ne 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khi \(a > 0\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \(Ox\) là góc nhọn.
Giá trị \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x + 3\) (với \(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = x\) là
\(m = 0.\)
\(m = 1.\)
\(m = 2.\)
Không có giá trị của \(m.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x + 3\) (với \(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = x\) thì \(m - 1 = 1\) và \(3 \ne 0\) (luôn đúng) hay \(m = 2.\)
Vậy ta chọn phương án C.
Một tam giác có bao nhiêu đường trung bình?
1.
2.
3.
4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Một tam giác có 3 đường trung bình.
Cho hình thang \[ABCD\] \[\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right).\] Đường thẳng song song với đáy \[AB\] cắt các cạnh bên \[AD,{\rm{ }}BC\] và các đường chéo \[BD,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{BC}}.\)
\(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{BQ}}{{BC}}.\)
\(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{BC}}.\)
\(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{CQ}}{{BQ}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ADB\] có \[MP\,{\rm{//}}\,AB\] nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{DP}}{{BD}}\) (1)
Xét tam giác \[CDB\] có \[NP\,{\rm{//}}\,DC\] nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DP}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{CB}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{DP}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{CB}}.\)
Cho hình bên. Biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là \({\rm{cm}}.\) Giá trị \(x\) và \(y\) lần lượt là
\(16{\rm{\;cm}}\) và \(12{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
\(14{\rm{\;cm}}\) và \(14{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
\(14,3{\rm{\;cm}}\) và \(10,7{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
\(12{\rm{\;cm}}\) và \(16{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác). Suy ra \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}\) (tính chất tỉ lệ thức).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{28}}{{15 + 20}} = \frac{4}{5}.\]
Suy ra \(x = DB = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5} \cdot 15 = 12{\rm{\;cm}}\) và \(y = DC = \frac{4}{5}AC = \frac{4}{5} \cdot 20 = 16{\rm{\;cm}}.\)
Cho hình vẽ bên. Biết \(DE = 13{\rm{\;cm}},\) độ dài đoạn thẳng \(HE\) là
\(5,5{\rm{\;cm}}.\)
\(6,5{\rm{\;cm}}.\)
\(7{\rm{\;cm}}.\)
\(8{\rm{\;cm}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[DK = KF = 7{\rm{\;cm}},\] suy ra \[K\] là trung điểm của \[DF.\]
Lại có \(\widehat {DHK} = \widehat {DEF},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HK\,{\rm{//}}\,EF.\]
Trong tam giác \[DEF\] có \[K\] là trung điểm của \[DF\] và \[HK\,{\rm{//}}\,EF\] nên \(HK\) là đường trung bình của tam giác, do đó \[H\] là trung điểm của \[DE.\]
Suy ra \(HE = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5{\rm{\;cm}}.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN
Giá nước sinh hoạt của một hộ gia đình được tính như sau: \[10{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] đầu tiên giá \[7{\rm{ }}500\] đồng/m3; từ trên \[10{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] đến \[20{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] giá \[8{\rm{ }}800\] đồng/m3; từ trên \[20{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] đến \[30{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] giá \[12{\rm{ }}000\] đồng/m3; từ trên \[30{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\] giá \[24{\rm{ }}000\] đồng/m3.
a) Viết công thức biểu thị số tiền \[y\] (đồng) mà nhà bạn Lan phải trả khi sử dụng \[x\] (m3) trong tháng 10/2023 với \[x > 30.\]
b) Hỏi \[y\] có phải là hàm số bậc nhất của \[x\] hay không?
c) Nhà bạn Lan đã phải trả \[427{\rm{ }}000\] đồng cho tiền nước tháng 11/2023. Tính số mét khối nước nhà bạn Lan đã sử dụng trong tháng 11/2023, biết rằng số nước đó lớn hơn \[30{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\]
Hướng dẫn giải
a) Công thức biểu thị số tiền \[y\] (đồng) mà nhà bạn Mai phải trả khi sử dụng \[x\] (m3) trong tháng 10/2023 với \[x > 30\] là:
\[y{\rm{ }} = 7\,\,500 \cdot 10 + 8\,\,800 \cdot 10 + 12\,\,000 \cdot 10 + 24\,\,000\left( {x - 30} \right)\]
\[ = 75{\rm{ }}000 + 88{\rm{ }}000 + 120{\rm{ }}000 + 24{\rm{ }}000x--720{\rm{ }}000\]
\[ = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).
Vậy \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).
b) Hàm số \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] là hàm số bậc nhất của \[x\] vì mỗi giá trị của \[x\] chỉ xác định đúng 1 giá trị của \[y.\]
c) Do nhà bạn Lan đã phải trả \[427{\rm{ }}000\] đồng cho tiền nước tháng 11/2023 nên ta có:
\[24\,\,000x - 437\,\,000 = 427\,\,000\]
\[24\,\,000x = 864\,\,000\]
Suy ra \[x = 36\] (m3).
Vậy trong tháng 11/2023, nhà bạn Lan đã dùng 36 m3 nước.
Cho hàm số bậc nhất \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)
a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \[y = --x.\] Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm \(A\) của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) bằng phép toán.
b) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = x + 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Tính diện tích của tam giác \(ABC,\) trong đó \(B,\,\,C\) lần lượt là giao điểm của \(\left( d \right)\)và đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục \(Ox.\)
Hướng dẫn giải
Hàm số \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] là hàm số bậc nhất khi \(m + 2 \ne 0,\) hay \[m \ne --2.\]
a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng \[y = --x\] khi \[m + 2 = --1,\] tức là \[m = --3\] (thỏa mãn điều kiện \[m \ne --2).\]
Với \[m = --3\] ta có hàm số \[y = --x + 3.\]
Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1.\)
Vì \[A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3\] nên ta có: \[{y_A} = --{x_A} + 3,\] do đó \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).\)
Vì \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên ta có:
\(--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,\) suy ra \(2{x_A} = 2,\) do đó \({x_A} = 1.\)
Suy ra \({y_A} = - 1 + 3 = 2.\)
Vậy \(A\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của \[\left( d \right):y = --x + 3\] với đường thẳng \(y = x + 1.\)
b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \[y = --x + 3:\]
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 3.\)
Đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\] và \[\left( {3;{\rm{ }}0} \right).\]
⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 1:\)
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 1;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = - 1.\)
Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)
Ta có đồ thị hai hàm số như sau:
c)
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục hoành \(Ox\) là \[B\left( {--1;0} \right).\] Do đó \[OB = \left| { - 1} \right| = 1.\]
Giao điểm của đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] với trục hoành \(Ox\) là \[C\left( {3;0} \right).\] Do đó \[OC = \left| 3 \right| = 3.\]
Khi đó \(BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.\)
Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\left( {1;2} \right)\) xuống trục hoành.
Khi đó \(AH = \left| {{y_A}} \right| = 2\) và \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) (đơn vị diện tích).
1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)
a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.
b) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)
2) Cho hình bình hành \[ABCD,\] \[AC\] cắt \[BD\] tại \[O.\] Đường phân giác góc \[A\] cắt \[BD\] tại \[M,\] đường phân giác \[D\] cắt \[AC\] tại \[N.\] Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\) b) \[MN\,{\rm{//}}\,AD.\]
1)
a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot AC;\,\,IN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,IN.\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IN\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(N\) là trung điểm của \(AC.\)
Xét tứ giác \(ADCI\) có: \(N\) là trung điểm của \(ID,\,\,AC\) nên \(ADCI\) là hình bình hành.Lại có \(IN \bot AC\) hay \(ID \bot AC\) nên hình bình hành \(ADCI\) là hình thoi.\(\)
b)
Kẻ \(IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),\) mà \(I\) là trung điểm của \(BC,\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta BKC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của \(KC\) hay \(KH = HC\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \[\Delta DIH\] có \(N\) là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên \(NK\) là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra \(K\)là trung điểm của \(DH\) hay \(DK = KH\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(DK = KH = HC.\) Do đó \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)
2) a) Trong \(\Delta ABD\) có: \[AM\] là phân giác của góc \(\widehat {BAD}\) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).
Tương tự: trong \(\Delta ADC\) có \[DN\] là phân giác góc \(\widehat {ADC}\) nên \(\frac{{DC}}{{DA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)
Mà \[AB = DC\] (do \[ABCD\] là hình bình hành) suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)
b) Theo câu a, \(\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) suy ra \(\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1\) hay \(\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}\)
Suy ra \(\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}\) \[\left( 1 \right)\]
Mà \[ABCD\] là hình bình hành nên hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại trung điểm \[O\] của mỗi đường, suy ra \[BD = 2DO,\] \[AC = 2AO\] \[\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}\] hay \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\)
Xét \(\Delta OAD\) có \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,AD\] (định lí Thalès đảo).
