Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \[DK = KF = 7{\rm{\;cm}},\] suy ra \[K\] là trung điểm của \[DF.\]

Lại có \(\widehat {DHK} = \widehat {DEF},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HK\,{\rm{//}}\,EF.\]

Trong tam giác \[DEF\] có \[K\] là trung điểm của \[DF\] và \[HK\,{\rm{//}}\,EF\] nên \(HK\) là đường trung bình của tam giác, do đó \[H\] là trung điểm của \[DE.\]

Suy ra \(HE = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Công thức biểu thị số tiền \[y\] (đồng) mà nhà bạn Mai phải trả khi sử dụng \[x\] (m3) trong tháng 10/2023 với \[x > 30\] là:

\[y{\rm{ }} = 7\,\,500 \cdot 10 + 8\,\,800 \cdot 10 + 12\,\,000 \cdot 10 + 24\,\,000\left( {x - 30} \right)\]

\[ = 75{\rm{ }}000 + 88{\rm{ }}000 + 120{\rm{ }}000 + 24{\rm{ }}000x--720{\rm{ }}000\]

\[ = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).

Vậy \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).

b) Hàm số \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] là hàm số bậc nhất của \[x\] vì mỗi giá trị của \[x\] chỉ xác định đúng 1 giá trị của \[y.\]

c) Do nhà bạn Lan đã phải trả \[427{\rm{ }}000\] đồng cho tiền nước tháng 11/2023 nên ta có:

\[24\,\,000x - 437\,\,000 = 427\,\,000\]

\[24\,\,000x = 864\,\,000\]

Suy ra \[x = 36\] (m³).

Vậy trong tháng 11/2023, nhà bạn Lan đã dùng 36 m³ nước.

Hướng dẫn giải

Hàm số \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] là hàm số bậc nhất khi \(m + 2 \ne 0,\) hay \[m \ne --2.\]

a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng \[y = --x\] khi \[m + 2 = --1,\] tức là \[m = --3\] (thỏa mãn điều kiện \[m \ne --2).\]

Với \[m = --3\] ta có hàm số \[y = --x + 3.\]

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1.\)

Vì \[A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3\] nên ta có: \[{y_A} = --{x_A} + 3,\] do đó \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên ta có:

\(--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,\) suy ra \(2{x_A} = 2,\) do đó \({x_A} = 1.\)

Suy ra \({y_A} =  - 1 + 3 = 2.\)

Vậy \(A\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của \[\left( d \right):y = --x + 3\] với đường thẳng \(y = x + 1.\)

b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \[y = --x + 3:\]

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 3.\)

Đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\] và \[\left( {3;{\rm{ }}0} \right).\]

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 1:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 1;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x =  - 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Ta có đồ thị hai hàm số như sau:

c)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục hoành \(Ox\) là \[B\left( {--1;0} \right).\] Do đó \[OB = \left| { - 1} \right| = 1.\]

Giao điểm của đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] với trục hoành \(Ox\) là \[C\left( {3;0} \right).\] Do đó \[OC = \left| 3 \right| = 3.\]

Khi đó \(BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\left( {1;2} \right)\) xuống trục hoành.

Khi đó \(AH = \left| {{y_A}} \right| = 2\) và \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) (đơn vị diện tích).

1)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot AC;\,\,IN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,IN.\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IN\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(N\) là trung điểm của \(AC.\)

Lại có \(IN \bot AC\) hay \(ID \bot AC\) nên hình bình hành \(ADCI\) là hình thoi.\(\)

b)

Kẻ \(IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),\) mà \(I\) là trung điểm của \(BC,\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta BKC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của \(KC\) hay \(KH = HC\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \[\Delta DIH\] có \(N\) là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên \(NK\) là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra \(K\)là trung điểm của \(DH\) hay \(DK = KH\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(DK = KH = HC.\) Do đó \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

2) a) Trong \(\Delta ABD\) có: \[AM\] là phân giác của góc \(\widehat {BAD}\) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Tương tự: trong \(\Delta ADC\) có \[DN\] là phân giác góc \(\widehat {ADC}\) nên \(\frac{{DC}}{{DA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

Mà \[AB = DC\] (do \[ABCD\] là hình bình hành) suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

b) Theo câu a, \(\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) suy ra \(\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1\) hay \(\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}\)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}\) \[\left( 1 \right)\]

Mà \[ABCD\] là hình bình hành nên hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại trung điểm \[O\] của mỗi đường, suy ra \[BD = 2DO,\] \[AC = 2AO\] \[\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}\] hay \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\)

Xét \(\Delta OAD\) có \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,AD\] (định lí Thalès đảo).