Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong \[\Delta NDP\] có \[I,\,\,E\] lần lượt là trung điểm của \[NP,\] \[DN\] (do \[DE = EN).\]

Do đó \[EI\] là đường trung bình của \(\Delta NDP.\)

Suy ra \[EI\,{\rm{//}}\,PD\] và \(EI = \frac{1}{2}PD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong \(\Delta MEI\) có \[D\] là trung điểm \[ME\] (do \[MD = DE),\] \[DH\,{\rm{//}}\,EI{\rm{ }}\left( {H \in DP} \right).\]

Hướng dẫn giải

a) Sau \[x\] năm sử dụng, thiết bị tiệt khuẩn đó bị khấu hhao là \[kx\] (triệu đồng).

Giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau \[x\] năm sử dụng là: \[y = 60 - kx\] hay \[y =  - kx + 60.\]

Mà \[0 < k < 60\] hay \[k \ne 0,\] suy ra \[y\] là hàm số bậc nhất của \[x.\]

b) Từ câu a, ta có \[b = 60.\]

Do đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[B\left( {10;{\rm{ }}30} \right)\] nên ta có:

\[30 = a \cdot 10 + 60.\]

Hay \[10a = --30\]

Suy ra \[a =  - 3.\]

Vậy \[a =  - 3\] và \[b = 60.\]

c) Với \[a =  - 3\] và \[b = 60,\] ta có hàm số: \[y =  - 3x + 60.\]

Giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau 12 năm sử dụng là:

\[ - 3 \cdot 12 + 60 = --36 + 60 = 24\] (triệu đồng).

Tỉ số phần trăm giữa giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau 12 năm sử dụng và giá mua ban đầu là: \(\frac{{24}}{{60}} \cdot 100{\rm{\% }} = 40{\rm{\% }}{\rm{.}}\)

Vậy sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng \[40\% \] so với giá mua ban đầu.

Hướng dẫn giải

a) Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì \(3 - m \ne 0,\) hay \(m \ne 3.\)

b) Để đường thẳng \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2\] đi qua điểm \[\left( {1;3} \right)\] thì \(x = 1\) và \(y = 3\) thỏa mãn hàm số trên.

Do đó ta có: \[3 = \left( {3--m} \right) \cdot 1 + 3m + 2\]

\[3 = 3--m + 3m + 2\]

\[2m =  - 2\]

\(m =  - 1.\)

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Để đường thẳng \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2\] cắt đường thẳng \[y = x--1\] thì \(3 - m \ne 1,\) do đó \(m \ne 2.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng.

Để hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì \({x_A} = 0.\)

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số \[y = x--1\] ta được \({y_A} = 0 - 1 =  - 1.\)

Thay \({x_A} = 0\) và \({y_A} =  - 1\) vào hàm số \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2\] ta được:

\[ - 1 = \left( {3--m} \right) \cdot 0 + 3m + 2\]

\[ - 1 = 3m + 2\]

\[m =  - 1\] (thỏa mãn \(m \ne 2).\)

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

1)

Ta có: \[BC = BD + DC\] nên \[DC = BC - BD = 21 - 9{\rm{ }} = 12.\]

Trong \(\Delta ABC,\) \[AD\] là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Hay \(\frac{6}{x} = \frac{9}{{12}}\), suy ra \(x = \frac{{6 \cdot 12}}{9} = 8.\)

2)

a) Trong \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến \[BD,{\rm{ }}CE\] nên \[D\] là trung điểm của \[AC,\] \[E\] là trung điểm của \[AB\] nên \[ED\] là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Suy ra \(ED = \frac{1}{2}BC\) và \[ED\,{\rm{//}}\,BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác).

b) Ta có: \[E\] là trung điểm của \[AB\] nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB.\)

Mà \[M\] là trung điểm của \[EB\] nên \(EM = MB = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{4}AB\) hay \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{4}.\)

Tương tự, ta cũng có \(NC = \frac{1}{4}AC\) hay \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\)

Suy ra \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\,\,\left( { = \frac{1}{4}} \right).\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (định lí Thalès đảo).

c) Ta có \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (câu b) và \[ED\,{\rm{//}}\,BC\] (câu a) nên \[ED\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,BC.\]

Xét \(\Delta BDE\) có \[M\] là trung điểm của \[EB\] và \[MI\,{\rm{//}}\,ED\] (do \[ED\,{\rm{//}}\,MN)\]

Suy ra \[I\] là trung điểm của \[BD\] hay \[IB = ID.\]

Khi đó \[MI\] là đường trung bình của \(\Delta BDE\) nên \(MI = \frac{1}{2}ED.\)

Tương tự, trong DCDE ta cũng có \(KN = \frac{1}{2}ED,\) trong DBCE có \(MK = \frac{1}{2}BC.\)

Ta có \(IK = MK - MI = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED = ED - \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}ED\).

Do đó \(MI = IK = KN = \frac{1}{2}ED\).