Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 01
11 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(f\left( { - 1} \right) = - 3.\)
\(f\left( 1 \right) = 1.\)
\(f\left( { - 1} \right) = - 1.\)
\(f\left( 1 \right) = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 1.\)
Thay \(x = - 1\) vào hàm số trên ta có \(f\left( { - 1} \right) = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 1 = 2 - 1 = 1.\)
Thay \(x = 1\) vào hàm số trên ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \cdot {1^2} - 1 = 2 - 1 = 1.\)
Vậy ta chọn phương án B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x - 1.\) Để giá trị của hàm số bằng 3 thì giá trị của \(x\) bằng bao nhiêu?
\(x = 2.\)
\(x = 1.\)
\(x = 5.\)
\(x = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để giá trị của hàm số bằng 3 thì \(2x - 1 = 3.\) Suy ra \(2x = 4\) nên \(x = 2.\)
Vậy ta chọn phương án A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(y = ax + b.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khi \(a < 0\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] là góc nhọn.
Khi \(a = 0\) thì đường thẳng \(y = ax + b\) song song với trục \(Oy.\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(\left( {0;b} \right).\)
Với \(a \ne 0,\) khi \(a\) càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] càng nhỏ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét đường thẳng \(y = ax + b.\)
⦁ Khi \(a < 0\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] là góc tù.
⦁ Khi \(a = 0\) thì ta có hàm số \(y = b,\) đường thẳng này song song với trục \(Ox.\)
⦁ Thay \(x = 0\) vào hàm số \(y = ax + b,\) ta được \(y = a \cdot 0 + b = b.\) Do đó đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(\left( {0;b} \right).\)
⦁ Với \(a \ne 0,\) khi \(a\) càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] càng lớn.
Vậy ta chọn phương án C.
Hai đường thẳng \[y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + m\] \(\left( {m \ne \pm 1} \right)\) và \(y = 3x + 2\) trùng nhau khi
\(m = 2.\)
\(m = - 2.\)
\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2.\)
\(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \[y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + m\] \(\left( {m \ne \pm 1} \right)\) và \(y = 3x + 2\) trùng nhau khi và chỉ khi:
\({m^2} - 1 = 3\) (*) và \(m = 2\) (**)
Giải (*): \({m^2} - 1 = 3\)
\({m^2} = 4\)
\(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)
Kết hợp với (**) ta được \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne \pm 1).\)
Vậy \(m = 2.\)
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB,\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{3}{8}.\) Tỉ số \(\frac{{AM}}{{AB}}\) là
\(\frac{5}{8}.\)
\(\frac{5}{{11}}.\)
\(\frac{3}{{11}}.\)
\(\frac{8}{{11}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo tính chất tỉ lệ thức ta có từ \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{3}{8},\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AM + MB}} = \frac{3}{{3 + 8}}\) hay \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{3}{{11}}.\]
Cho tam giác \(MNP\) có \(H \in MN;\,\,K \in MP.\) Điều kiện không kết luận được \[HK\,{\rm{//}}\,NP\] là
\(\frac{{MH}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}.\)
\(\frac{{MH}}{{HN}} = \frac{{MK}}{{KP}}.\)
\[\frac{{NH}}{{MN}} = \frac{{PK}}{{MP}}.\]
\(\frac{{NH}}{{MN}} = \frac{{MP}}{{KP}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Theo định lí Thalès đảo nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 
Xét tam giác \(MNP,\) nếu có một trong các tỉ số \(\frac{{MH}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}};\,\,\frac{{MH}}{{HN}} = \frac{{MK}}{{KP}};\,\,\frac{{NH}}{{MN}} = \frac{{PK}}{{MP}}\) thì \(HK\,{\rm{//}}\,NP\) (định lí Thalès đảo).
Vậy ta chọn phương án D.
Cho hình vẽ bên. Tỉ số \(\frac{{BD}}{{BC}}\) bằng
\(\frac{5}{9}.\)
\(\frac{9}{5}.\)
\(\frac{5}{{14}}.\)
\[\frac{9}{{14}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của góc \(BAC\) (do \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}),\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác).
Do đó \(\frac{{AB}}{{AB + AC}} = \frac{{BD}}{{BD + DC}}\) (tính chất tỉ lệ thức)
Suy ra \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{5}{{5 + 9}} = \frac{5}{{14}}.\)
Cho tam giác \(ABC,\) đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,\,\,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) \(F\) là trung điểm của \(EC.\) Biết \(AC = 9{\rm{\;cm}},\) độ dài đoạn \(AE\) là
\(4,5{\rm{\;cm}}.\)
\(3{\rm{\;cm}}.\)
\(2{\rm{\;cm}}.\)
\(6{\rm{\;cm}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \[\Delta BCE\] có \(M,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,EC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(MF\,{\rm{//}}\,BE,\) hay \(MF\,{\rm{//}}\,DE.\)
Xét \(\Delta AMF\) có \(D\) là trung điểm của \(AM\) và \(DE\,{\rm{//}}\,MF\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(E\) là trung điểm của \(AF.\) Suy ra \(AE = EF.\)
Mà \(F\) là trung điểm của \(EC\) nên \(EF = FC,\) do đó \(AE = EF = FC\) hay \(AE = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3{\rm{\;cm}}.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN
Hàm chi phí đơn giản nhất là hàm chi phí bậc nhất \(y = ax + b,\) trong đó \(b\) biểu thị chi phí cố định của hoạt động kinh doanh và hệ số \(a\) biểu thị chi phí của mỗi mặt hàng được sản xuất. Giả sử rằng một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là 36 triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là \(1,8\) triệu đồng.
a) Viết công thức của hàm số biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày.
b) Hàm số nhận được ở câu a có phải hàm số bậc nhất không? Nếu có, hãy xác định \(a,\,\,b.\)
c) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp trong ngày, nếu chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng?
Hướng dẫn giải
a) Công thức của hàm số biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày là:
\(y = 1,8x + 36\) (triệu đồng).
b) Hàm số \(y = 1,8x + 36\) là hàm số bậc nhất, với \(a = 1,8\) và \(b = 36.\)
c) Do chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng nên \(y = 72\) (triệu đồng).
Thay \(y = 72\) vào công thức \(y = 1,8x + 36\) ta có:
\(1,8x + 36 = 72\)
\(1,8x = 36\)
\(x = 20\)
Vậy với chi phí là 72 triệu đồng thì trong ngày đó có thể sản xuất được 20 chiếc xe đạp.
Xác định \[a,{\rm{ }}b\] của hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] sao cho đồ thị hàm số:
a) Đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] và \[B\left( {2;--5} \right).\]
b) Đi qua giao điểm của hai đường thẳng \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3,\] và đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24.\)
c) Vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[5.\]
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] nên ta có:
\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)
Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[B\left( {2;--5} \right)\] nên ta có:
\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]
Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:
\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]
\(a = 4.\)
Suy ra \(b = - 3 \cdot 4 - 1 = - 13.\)
Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)
b) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]
Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)
\(x = 4.\)
Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)
Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)
Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:
\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).
Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)
c) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)
Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:
\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)
Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)
1) Cho \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:
a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\] b) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)
2) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:
a) Tam giác \(AEK\) cân. b) \(BK = EC.\)
Hướng dẫn giải
1)
a) Xét \(\Delta ABD\) có \(DM\) là đường phân giác của \[\widehat {ADB}\] nên \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).
b) Xét \(\Delta ACD\) có \(DN\) là đường phân giác của \[\widehat {ADC}\] nên \[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).
Mà \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (câu a) và \[DB = DC\] nên \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]
Xét \(\Delta ABC\) có: \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\] (câu b) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\](định lí Thalès đảo).
Tam giác \(AEK\) có \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}\) nên là tam giác cân tại \(A.\)
2)
a) Vì \(AD\,{\rm{//}}\,KM\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BKM}\) (đồng vị).
Vì \(AD\,{\rm{//}}\,EM\) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {CEM}\) (đồng vị).
Mà \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\)
Do đó \(\widehat {BKM} = \widehat {CEM},\) lại có \(\widehat {CEM} = \widehat {AEK}\) nên \(\widehat {BKM} = \widehat {AEK}\) hay \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.\)
b) Xét \(\Delta ACD\) có \(EM\,{\rm{//}}\,AD,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.\)
Mà \(\Delta AEK\) cân tại \(A\) nên \(AK = AE.\)
Lại có điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC.\)
Do đó \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)
Xét \(\Delta BMK\) có \(AD\,{\rm{//}}\,KM,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.\)
Mà \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}\) nên \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},\) do đó \(EC = BK.\)
