Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05

Đáp án đúng là: B

Độ dài đoạn thẳng \(MH\) là ngắn nhất , vì trong các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Do đó, khẳng định B sai vì độ dài đoạn thẳng \(MC\) lớn hơn độ dài đoạn thẳng \(MH\).

Đáp án đúng là: A

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(BC - AB < AC < BC + AB\) do đó, \(7 - 2 < AC < 7 + 2\) hay \(5 < AC < 9\).

Mà độ dài cạnh \(AC\)là một số tự nhiên lẻ nên \(AC = 7\).

Chu vi tam giác \(ABC\) là:

\(AB + BC + AC = 2 + 7 + 7 = 16\) (cm).

Đáp án đúng là: D

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy và cách mỗi trung điểm một khoảng bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua trung điểm đấy. (Tính chất trọng tâm tam giác).

a) \(\frac{5}{x} = \frac{{12}}{{ - 13}}\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

\(12x = 5.\left( { - 13} \right)\)

\(12x =  - 65\)

\(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\).

b) \(\frac{{\left| {2x - 5} \right|}}{{ - 21}} = \frac{{ - 3}}{7}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = \left( { - 3} \right).\left( { - 21} \right)\)

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = 63\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 63:7\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 9\)

Trường hợp 1: \(2x - 5 =  - 9\)

\(2x = \left( { - 9} \right) + 5\)

\(2x =  - 4\)

\(x = \left( { - 4} \right):2\)

\(x =  - 2\)

Trường hợp 2: \(2x - 5 = 9\)

\(2x = 9 + 5\)

\(2x = 14\)

\(x = 14:2\)

\(x = 7\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,7} \right\}\).

c) \(\frac{{4x - 2}}{8} = \frac{{32}}{{4x - 2}}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left( {4x - 2} \right)\,\,.\,\,\left( {4x - 2} \right) = 8\,\,.\,\,32\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = 256\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = {16^2} = {\left( { - 16} \right)^2}\)

Trường hợp 1: \(4x - 2 = 16\)

\(4x = 16 + 2\)

\(4x = 18\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Trường hợp 2: \(4x - 2 =  - 16\)

\(4x = \left( { - 16} \right) + 2\)

\(4x =  - 14\)

\(x = \frac{{ - 7}}{2}\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 7}}{2}} \right\}\).

Gọi \(x;\,\,y;\,\,z\) (tờ) lần lượt là số tờ tiền \(2\,\,000\) đồng; \(5\,\,000\) đồng và \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x;\,\,y;\,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì có tất cả \(16\) tờ tiền nên \(x + y + z = 16\).

Vì tổng giá trị mỗi loại tiền là như nhau nên số tờ tiền mỗi loại và giá trị một tờ tiền mỗi loại tỉ lệ nghịch với nhau.

Ta có: \(x.2000 = y.5000 = z.10000\)

Suy ra \(\frac{{2\,\,000x}}{{10\,\,000}} = \frac{{5\,\,000y}}{{10\,\,000}} = \frac{{10\,\,000z}}{{10\,\,000}}\) hay \(\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 2 + 1}} = \frac{{16}}{8} = 2\).

Khi đó, \(\frac{x}{5} = 2\) nên \(x = 2\,\,.\,\,5 = 10\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{2} = 2\) nên \(y = 2\,\,.\,\,2 = 4\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{1} = 2\) nên \(z = 1\,\,.\,\,2 = 2\) (thỏa mãn).

Vậy số tờ tiền mỗi loại \(2\,\,000\) đồng; \(5\,\,000\) đồng; \(10\,\,000\) đồng lần lượt là \(10\) tờ; \(4\) tờ; \(2\) tờ.

a) \(A\left( x \right) = 6{x^2} - 5x + {x^3} - 4{x^2} + 7\)\( = {x^3} + \left( {6{x^2} - 4{x^2}} \right) - 5x + 7\)

\( = {x^3} + 2{x^2} - 5x + 7\);

\(B\left( x \right) =  - 2{x^2} - 5x + 11 + 2{x^2} + {x^3}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) - 5x + 11\)

\( = {x^3} + 0 - 5x + 11\)\( = {x^3} - 5x + 11\);

Khi đó, \[M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\]\[ = \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x + 7} \right) - \left( {{x^3} - 5x + 11} \right)\]

\[ = {x^3} + 2{x^2} - 5x + 7 - {x^3} + 5x - 11\]\[ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2{x^2} + \left( { - 5x + 5x} \right) + \left( {7 - 11} \right)\]

\[ = 0 + 2{x^2} + 0 - 4\]\[ = 2{x^2} - 4\]

b) Ta có: Để đa thức có nghiệm thì \(M\left( x \right) = 0\).

Ta có: \[2{x^2} - 4 = 0\]

\[2{x^2} = 0 + 4\]

\[2{x^2} = 4\]

\[{x^2} = 4:2\]

\[{x^2} = 2\]

\({x^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\)

\(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - \sqrt 2 \)

Để \(M\left( x \right)\) có nghiệm thì \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - \sqrt 2 \).

Từ \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}\]

Suy ra, \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2d}}{d} - 1\]

Ta có: \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{2a + b + c + d}}{a} - \frac{a}{a} = \frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{a}\]     (1)

Tương tự: \[\frac{{a + 2b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{b}\]        (2)

\[\frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{c}\]     (3)

\[\frac{{a + b + c + 2d}}{d} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]     (4)

Từ (1); (2); (3); (4) ta có: \[\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

Trường hợp 1: \(a + b + c + d = 0\)\( \Rightarrow \frac{0}{a} = \frac{0}{b} = \frac{0}{c} = \frac{0}{d} = 0\) (đúng)

Khi đó, \(a + b =  - \left( {c + d} \right);\left( {b + c} \right) =  - \left( {a + d} \right)\)

Thay vào \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\), ta được:

\(M = \frac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \frac{{ - \left( {d + a} \right)}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \frac{{d + a}}{{ - \left( {d + a} \right)}}\)\( = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) =  - 4\).

Trường hợp 2: \(a + b + c + d \ne 0\)

\[\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d} = \frac{{4\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}} = 4\].

Khi đó, \[\frac{{a + b + c + d}}{a} = 4\] hay \(a + b + c + d = 4a \Rightarrow b + c + d = 3a\) (5)

Tương tự, \(a + c + d = 3b\,\,\left( 6 \right);a + b + d = 3c\,\,\left( 7 \right);a + b + c = 3d\,\,\left( 8 \right)\)

Lấy (5) – (6) theo vế ta được:

\(\left( {b + c + d} \right) - \left( {a + c + d} \right) = 3a - 3b\)

\(b + c + d - a - c - d = 3a - 3b\)

\(b - a = 3a - 3b\)

\(b + 3b = 3a + a\)

\(4b = 4a\)

\(a = b\). Chứng minh tương tự ta được \(a = b = c = d\).

Thay vào \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\) ta được:

\(M = \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}}\)\( = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}}\)\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

Vậy \(M = 4\) hoặc \(M =- 4\).