Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
34 câu hỏi
Cho số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\]. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{n}{m}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m \cdot n}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m - n}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, với số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\] thì ta có
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
Cho \[x,\,y\] là hai số thực dương và \[m,\,n\] là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\({x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {x \cdot y} \right)^n} = {x^n} \cdot {y^n}\).
\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}\).
\({x^m} \cdot {y^n} = {\left( {xy} \right)^{m + n}}\).
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của lũy thừa, ta thấy đáp án D sai.
Cho \(x\) là số thực dương. Biểu thức \[\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\] được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\[{x^{\frac{7}{{12}}}}.\]
\[{x^{\frac{5}{6}}}.\]
\[{x^{\frac{{12}}{7}}}.\]
\[{x^{\frac{6}{5}}}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.\]
Cho \[P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}}\]. Biểu thức rút gọn của \(P\) là
\[x.\]
\[2x.\]
\[x + 1.\]
\[x - 1.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[P = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}{\left( {\frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\frac{x}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} = x\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Với mọi số thực dương \(a,\,\,{\log _4}\left( {4a} \right)\) bằng
\(1 + {\log _4}a\).
\(1 - {\log _4}a\).
\({\log _4}a\).
\(4{\log _4}a\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _4}\left( {4a} \right) = {\log _4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a\).
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\), khi đó \({\log _a}\sqrt[4]{a}\) bằng
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\( - 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).
Cho \[x,y > 0\] và \[{x^2} + 4{y^2} = 12xy\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1.\]
\[{\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y.\]
\[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right).\]
\[4{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y.\]
Đáp án đúng là: C
Với \[x,y > 0\], ta có: \[{x^2} + 4{y^2} = 12xy \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 16xy\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + 2y} \right)^2} = {\log _2}16xy\]
\[ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right).\]
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
\(y = {2^{\log x}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\).
\(y = {x^{\ln 3}}\).
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\) là một hàm số lôgarit.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^{2x}}\).
\(y = {2^{ - x}}\).
\(y = {x^{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên đây là đồ thị của hàm số mũ, ta loại đáp án C và đáp án D. Lại thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến, do đó ta loại đáp án A, chọn đáp án B.
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 4} \right) = 3\) là
\(x = 5\).
\(x = 4\).
\(x = 2\).
\(x = 12\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 4\).
Ta có \({\log _2}\left( {x + 4} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1\) là
\(\left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;\,2} \right)\).
\[\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\].
\[\left[ { - 2;\,2} \right]\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge {\log _{\frac{4}{3}}}1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1\) là \(S = \left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
Phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) có số nghiệm nguyên là
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có log12x−3≥log124⇔x−3≤4x−3>0⇔x≤7x>3⇔3<x≤7
Vì x∈ℤ3<x≤7⇒x∈4; 5; 6; 7
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm nguyên.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \[f'\left( 6 \right) = 2.\] Giá trị của biểu thức \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}}\] bằng
\[12.\]
\[2\].
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) và \({x_0} \in D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại \({x_0}\).
Vậy kết quả của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)có hệ số góc là
\[f'\left( {{x_0}} \right)\].
\[f\left( {{x_0}} \right)\].
\[ - f'\left( {{x_0}} \right)\].
\[ - f\left( {{x_0}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là \[f'\left( {{x_0}} \right)\].
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^2}\), trong đó \(t > 0,\)\(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 2\) giây là
\(2{\rm{m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{3m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{4m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{5m/s}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t\).
Khi đó \(v\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Chọn khẳng định đúng?
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = x\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
Cho hàm số \(u\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \({u'_x}\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại \(u\) là \({y'_u}\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là
\({y'_x} = {y'_u} + {u'_x}\).
\({y'_x} = {y_u} \cdot {u'_x}\).
\({y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x}\).
\({y'_x} = {y'_u} \cdot {u_x}\).
Đáp án đúng là: C
Cho hàm số \(u\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \({u'_x}\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại \(u\) là \({y'_u}\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \({y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^6}\) tại \(x = - 1\) là
\( - 6\).
\(6\).
\(5\).
\( - 5\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^6}} \right)^\prime } = 6{x^5}\). Khi đó \(y'\left( { - 1} \right) = 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^5} = - 6\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\) là
\[y'' = \cos x\].
\(y'' = - \sin x\).
\(y'' = \sin x\).
\(y'' = - \cos x\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\) ; \(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \(BC'\)?
\(A'D\).
\(AC\).
\(BB'\).
\(AD'\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A'D\,{\rm{//}}\,B'C,\,\,B'C \bot BC' \Rightarrow A'D \bot BC'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,SD\). Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\) bằng
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(70^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó, \(MN\,{\rm{//}}\,SA\). Suy ra, \(\left( {MN,\,SC} \right) = \left( {SA,\,SC} \right) = \widehat {ASC}\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).
Lại có \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\). Do đó \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) (định lí Pythagore đảo). Suy ra \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Vậy \(\left( {MN,\,SC} \right) = 90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(\widehat {SAB} = 100^\circ \). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng
\(100^\circ \).
\(90^\circ \).
\(80^\circ \).
\(70^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Do đó, \(\left( {SA,\,CD} \right) = \left( {SA,\,AB} \right) = 180^\circ - \widehat {SAB} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là
\(C\).
\(D\).
\(A\).
\(B\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(A\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(SC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(AD \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) và \(AD \bot AB\) (do ABCD là hình chữ nhật).
Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Cho tứ diện \[OABC\] có \[3\] cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\]đôi một vuông góc. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] thì:
\[H\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{c}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\). (1)
Lại có \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(OH \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). Do đó, \(BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\).
Từ đó suy ra \[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1 điểm) Cho \[a = {\log _2}3;b = {\log _3}5;c = {\log _7}2.\] Tính giá trị của \[{\log _{140}}63\] theo \(a,\,b,\,c\).
Ta có \[{\log _{140}}63 = \frac{{{{\log }_2}63}}{{{{\log }_2}140}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2} \cdot 7} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2} \cdot 5 \cdot 7} \right)}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{2 + {{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}\]
\[ = \frac{{2{{\log }_2}3 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}}{{2 + {{\log }_2}3 \cdot {{\log }_3}5 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}} = \frac{{2a + \frac{1}{c}}}{{2 + ab + \frac{1}{c}}}\]
\[ = \frac{{1 + 2ac}}{{1 + 2c + abc}}.\]
(1 điểm)Tìm đạo hàm các hàm số
a) \[y = - {x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 2020x\];
b) \[y = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 1}}\].
a) \[y' = {\left( { - {x^4}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{3}{2}{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {2020x} \right)^\prime } = - 4{x^3} + 3x + 2020\].
b) \[y' = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^\prime } \cdot \left( {x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}.\left( {x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{x + 1 - 2x - 4\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{1 - x - 4\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(AH\) nằm trong \(\left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta lại có \(AH \bot SB\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\))
Khi đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Từ đó suy ra \(AH \bot SC\).
(1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \[2023\] thỏa mãn
\({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)?
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).
Vì \(x \in \mathbb{N},\,\,x \le 2023\) nên \(x \in \left\{ {1;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,...;\,\,2023} \right\}\).
Vậy có \(2021\) số tự nhiên \(x\) thỏa mãn bài ra.
