Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
34 câu hỏi
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{n}{m}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m \cdot n}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m - n}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, với số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\] thì ta có
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
Cho \[x,\,y\] là hai số thực dương và \[m,\,n\] là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\({x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {x \cdot y} \right)^n} = {x^n} \cdot {y^n}\).
\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}\).
\({x^m} \cdot {y^n} = {\left( {xy} \right)^{m + n}}\).
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của lũy thừa, ta thấy đáp án D sai.
\[{x^{\frac{7}{{12}}}}.\]
\[{x^{\frac{5}{6}}}.\]
\[{x^{\frac{{12}}{7}}}.\]
\[{x^{\frac{6}{5}}}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.\]
\[x.\]
\[2x.\]
\[x + 1.\]
\[x - 1.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[P = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}{\left( {\frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\frac{x}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} = x\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\(1 + {\log _4}a\).
\(1 - {\log _4}a\).
\({\log _4}a\).
\(4{\log _4}a\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _4}\left( {4a} \right) = {\log _4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a\).
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\( - 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).
\[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1.\]
\[{\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y.\]
\[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right).\]
\[4{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y.\]
Đáp án đúng là: C
Với \[x,y > 0\], ta có: \[{x^2} + 4{y^2} = 12xy \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 16xy\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + 2y} \right)^2} = {\log _2}16xy\]
\[ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right).\]
\(y = {2^{\log x}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\).
\(y = {x^{\ln 3}}\).
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\) là một hàm số lôgarit.
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^{2x}}\).
\(y = {2^{ - x}}\).
\(y = {x^{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên đây là đồ thị của hàm số mũ, ta loại đáp án C và đáp án D. Lại thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến, do đó ta loại đáp án A, chọn đáp án B.
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
\(x = 5\).
\(x = 4\).
\(x = 2\).
\(x = 12\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 4\).
Ta có \({\log _2}\left( {x + 4} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
\(\left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;\,2} \right)\).
\[\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\].
\[\left[ { - 2;\,2} \right]\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge {\log _{\frac{4}{3}}}1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1\) là \(S = \left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có
Vì
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm nguyên.
\[12.\]
\[2\].
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) và \({x_0} \in D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại \({x_0}\).
Vậy kết quả của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.\)
\[f'\left( {{x_0}} \right)\].
\[f\left( {{x_0}} \right)\].
\[ - f'\left( {{x_0}} \right)\].
\[ - f\left( {{x_0}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là \[f'\left( {{x_0}} \right)\].
\(2{\rm{m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{3m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{4m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{5m/s}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t\).
Khi đó \(v\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Chọn khẳng định đúng?
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = x\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\).
\({y'_x} = {y'_u} + {u'_x}\).
\({y'_x} = {y_u} \cdot {u'_x}\).
\({y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x}\).
\({y'_x} = {y'_u} \cdot {u_x}\).
Đáp án đúng là: C
Cho hàm số \(u\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \({u'_x}\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại \(u\) là \({y'_u}\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \({y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x}\).
\( - 6\).
\(6\).
\(5\).
\( - 5\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^6}} \right)^\prime } = 6{x^5}\). Khi đó \(y'\left( { - 1} \right) = 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^5} = - 6\).
\[y'' = \cos x\].
\(y'' = - \sin x\).
\(y'' = \sin x\).
\(y'' = - \cos x\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\) ; \(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
\(A'D\).
\(AC\).
\(BB'\).
\(AD'\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A'D\,{\rm{//}}\,B'C,\,\,B'C \bot BC' \Rightarrow A'D \bot BC'\).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(70^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó, \(MN\,{\rm{//}}\,SA\). Suy ra, \(\left( {MN,\,SC} \right) = \left( {SA,\,SC} \right) = \widehat {ASC}\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).
Lại có \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\). Do đó \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) (định lí Pythagore đảo). Suy ra \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Vậy \(\left( {MN,\,SC} \right) = 90^\circ \).
\(100^\circ \).
\(90^\circ \).
\(80^\circ \).
\(70^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Do đó, \(\left( {SA,\,CD} \right) = \left( {SA,\,AB} \right) = 180^\circ - \widehat {SAB} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
\(C\).
\(D\).
\(A\).
\(B\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(A\).
\(AC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(SC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(AD \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) và \(AD \bot AB\) (do ABCD là hình chữ nhật).
Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\[H\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{c}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\). (1)
Lại có \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(OH \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). Do đó, \(BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\).
Từ đó suy ra \[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1 điểm) Cho \[a = {\log _2}3;b = {\log _3}5;c = {\log _7}2.\] Tính giá trị của \[{\log _{140}}63\] theo \(a,\,b,\,c\).
Ta có \[{\log _{140}}63 = \frac{{{{\log }_2}63}}{{{{\log }_2}140}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2} \cdot 7} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2} \cdot 5 \cdot 7} \right)}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{2 + {{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}\]
\[ = \frac{{2{{\log }_2}3 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}}{{2 + {{\log }_2}3 \cdot {{\log }_3}5 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}} = \frac{{2a + \frac{1}{c}}}{{2 + ab + \frac{1}{c}}}\]
\[ = \frac{{1 + 2ac}}{{1 + 2c + abc}}.\]
(1 điểm)Tìm đạo hàm các hàm số
a) \[y = - {x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 2020x\];
b) \[y = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 1}}\].
a) \[y' = {\left( { - {x^4}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{3}{2}{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {2020x} \right)^\prime } = - 4{x^3} + 3x + 2020\].
b) \[y' = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^\prime } \cdot \left( {x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}.\left( {x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{x + 1 - 2x - 4\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{1 - x - 4\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(AH\) nằm trong \(\left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta lại có \(AH \bot SB\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\))
Khi đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Từ đó suy ra \(AH \bot SC\).
(1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \[2023\] thỏa mãn
\({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)?
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).
Vì \(x \in \mathbb{N},\,\,x \le 2023\) nên \(x \in \left\{ {1;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,...;\,\,2023} \right\}\).
Vậy có \(2021\) số tự nhiên \(x\) thỏa mãn bài ra.
