Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7
34 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0\).
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\forall a \in \mathbb{R}\).
\({a^0} = 1;\forall a \in \mathbb{R}\).
\({a^0} = 0;\forall a \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0\) nên A đúng, B sai.
Với \(a \ne 0\) ta có \({a^0} = 1\), do đó C và D sai.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?
\(M = {2^0}\); \(N = {0^0}\); \(P = {0^{ - n}}\); \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\).
\(M\) và \(Q\).
\(M\) và \(N\).
\(Q\).
\(M\), \(N\) và \(Q\).
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(M = {2^0}\) và \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\) có nghĩa.
Căn bậc năm của\( - 4\sqrt 2 \) bằng
\( - \sqrt 2 \).
\(\sqrt 2 \).
\({\left( { - 4\sqrt 2 } \right)^5}\).
\( - 4\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 4\sqrt 2 = - {2^2} \cdot {2^{\frac{1}{2}}} = - {2^{2 + \frac{1}{2}}} = - {2^{\frac{5}{2}}}\).
Do đó, \(\sqrt[5]{{ - 4\sqrt 2 }} = \sqrt[5]{{ - {2^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( { - {2^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt 2 \).
Rút gọn biểu thức \(P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a \) với \(a > 0\) thu được kết quả là
\(P = {a^{\frac{4}{5}}}\).
\(P = {a^{\frac{1}{4}}}\).
\(P = {a^{\frac{5}{4}}}\).
\(P = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a = {a^{\frac{3}{4}}}:{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}a = a\,\).
\({\log _a}a = 2a\).
Đáp án đúng là: A
Với \(a > 0,\,a \ne 1\), ta có \({\log _a}a = 1\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\), biểu thức \({\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
3.
\(\frac{1}{3}\).
\( - 3\).
\( - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\).
Nếu \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 4{\log _2}b\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\) thì \(x\) bằng
\({a^5}{b^4}\).
\({a^4}{b^5}\).
\(5a + 4b\).
\(4a + 5b\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)\).
Do đó, \(x = {a^5}{b^4}\).
Cho \({\log _a}x = 2\), \({\log _b}x = 3\) với \(a\), \(b\) là các số thực lớn hơn \(1\). Giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x\) là
\[6\].
\[ - 6\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{{ - 1}}{6}\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(a\), \(b\) là các số thực lớn hơn \(1\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}x = 2\\{\log _b}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2}\\x = {b^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^3} \Leftrightarrow a = \sqrt {{b^3}} \Leftrightarrow a = {b^{\frac{3}{2}}}\).
Ta có \(P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x = {\log _{\frac{{{b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^2}}}}}x = {\log _{{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}x = - 2{\log _b}x = - 6\).
Tập xác định của hàm số\(y = {7^x}\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {7^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}x\) là
\(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
\(D = \left( { - \infty ;0} \right).\)
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện để hàm số có nghĩa là \[x > 0\]. Vậy tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \[\mathbb{R}\]?
\[y = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1\) nên hàm số \[y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên ta loại ngay đáp án A và đáp án B.
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), vậy ta chọn đáp án D.
Phương trình \({2^x} = a\) có nghiệm khi
\(a < 0\).
\(a > 0\).
\(a \ge 0\).
\(a \ne 1\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({2^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó, phương trình \({2^x} = a\) có nghiệm khi \(a > 0\).
Phương trình \({\log _2}x = 5\) có nghiệm là
\(x = 32\).
\(x = 16\).
\(x = 7.\)
\(x = 10.\)
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _2}x = 5 \Leftrightarrow x = {2^5} \Leftrightarrow x = 32\) (thỏa mãn).
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4\) là
\(S = \left( { - \infty ;17} \right)\).
\(S = \left( {1;\,\,17} \right)\).
\(S = \left( {17; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {0;\,\,17} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > 1\).
Ta có \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4\)\( \Leftrightarrow x - 1 > {2^4}\) (do 2 > 1)
\( \Leftrightarrow x > 17\).
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4\) là \(S = \left( {17; + \infty } \right)\).
Chọn đáp án đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f''\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f'\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(\frac{1}{2}f''\left( {{x_0}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).
Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ \(T\) theo thời gian \(t\) thì … biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\). Đáp án thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là
\[f''\left( t \right)\].
\[\frac{1}{2}f\left( t \right)\].
\[f'\left( {{t_0}} \right)\].
\[\frac{1}{2}f''\left( t \right)\].
Đáp án đúng là: C
Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ \(T\) theo thời gian \(t\) thì \[f'\left( {{t_0}} \right)\] biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1;\, - 4} \right)\) có phương trình là
\(y = - 6x + 8\).
\(y = 6x - 8\).
\(y = 6x + 2\).
\(y = - 6x - 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta tìm được \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3\) nên \(f'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 6\).
Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1;\, - 4} \right)\) có phương trình là
\(y + 4 = 6\left( {x + 1} \right)\) hay \(y = 6x + 2\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan \,x\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\) là
\( - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
\( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\left( {\tan \,x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho hai hàm số \(u\left( x \right)\) và \(v\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc tập xác định. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' \cdot v'\).
\({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' + v'\).
\({\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'\).
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\,\,\,\,\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Cho hai hàm số \(u\left( x \right)\) và \(v\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc tập xác định. Ta có các quy tắc tính đạo hàm:
+ Đạo hàm của tổng: \({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\);
+ Đạo hàm của hiệu: \({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'\);
+ Đạo hàm của tích: \({\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'\);
+ Đạo hàm của thương: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\,\,\,\,\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^5}\) tại điểm \(x = 3\) là
\(405\).
\( - 405\).
\(243\).
\( - 243\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^5}} \right)^\prime } = 5{x^4}\). Khi đó \(y'\left( 3 \right) = 5 \cdot {3^4} = 405\).
Với \(x > 0\), đạo hàm của hàm số \(y = {\log _4}x\) là
\(y' = \frac{1}{{\ln 4}}\).
\(y' = \frac{1}{{x\ln 4}}\).
\(y' = x\ln 4\).
\(y' = \frac{1}{{4x}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = {\left( {{{\log }_4}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 4}}\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có số đo từ 0° đến 180°.
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng 0° khi đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 180°.
Góc giữa hai đường thẳng luôn luôn là góc nhọn.
Đáp án đúng là: B
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có số đo từ 0° đến 90°, do đó đáp án A và D sai.
Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 0° nên đáp án C sai.
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng 0° khi đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\) là mệnh đề đúng.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a\), \(b\), \(c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\,\,{\rm{//}}\,b\) và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
Nếu góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mp \(\left( \alpha \right)\,\,{\rm{//}}\,c\) thì góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\).
Đáp án đúng là: B
+) A sai vì: Nếu \(a\) và \(b\)cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\) và \(b\)hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(c\)).
+) C sai vì: Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\)chéo nhau, ta dựng đường thẳng \(c\) là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng với góc giữa \(b\) và \(c\) và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng \(a\) và \(b\)không song song.
+) D sai vì: Giả sử \(a\) vuông góc với \(c\), \(b\) song song với \(c\), khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng 90°, còn góc giữa \(b\) và \(c\) bằng 0°.
Do đó B đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = DA = a\) nên nó là hình thoi.
Suy ra \(CD{\rm{//}}AB\). Do đó \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right)\).
Tam giác \(SAB\) có \(SA = AB = SB = a\) nên \(SAB\) là tam giác đều, do đó \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không nằm trong \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Gọi \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó, \(a\) vuông góc với \(b\) khi và chỉ khi …Cụm từ thích hợp điền vào … để được đáp án đúng là
\(a\)vuông góc với \(b'\).
\(a\)song song với \(b'\).
\(a\)cắt \(b'\).
\(a\)và \(b'\) chéo nhau.
Đáp án đúng là: A
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không nằm trong \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Gọi \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó, \(a\) vuông góc với \(b\) khi và chỉ khi \(a\)vuông góc với \(b'\).
Chọn đáp án đúng.
Trong không gian, cho đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(d\)
vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
vuông góc với đường thẳng \(a\) mà đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\).
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
vuông góc với đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa: Trong không gian, cho đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(d\)vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Biết \[SA = SC,SB = SD\]. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[O\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[A\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[B\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[C\].
Đáp án đúng là: A
Vì \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\] nên \[O\] là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Tam giác \(SAC\) có \[SA = SC\] nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot AC\). (1)
Tam giác \(SBD\) có \[SB = SD\] nên tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot BD\). (2)
Ta có \(AC,\,\,BD \subset \left( {ABCD} \right)\). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), vậy hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[O\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \(O\), \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]. Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(SA \bot BD\).
\(AD \bot SC\).
\(SO \bot BD\).
\(SC \bot BD\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] suy ra \[SA \bot BD\] (đáp án A đúng), \[SA \bot AD\] .
Và nếu \[AD \bot SC\] thì \(AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\) vô lí vì \[AC \bot BD\] (đáp án B sai).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC,BD \bot SO\) (đáp án C, D đúng).
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1,0 điểm) Cho \[a,b > 0\] và \[a,b \ne 1\], thu gọn các biểu thức sau:
a) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4}\]; b) \[Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\].
a) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.\]
b) \[Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3 \cdot \left( { - 2} \right){\log _b}b\] \[ = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1.\]
(1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\);
b) \[y = x \cdot \sqrt {{x^2} - 2x} \].
a) \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
b) \[y = x \cdot \sqrt {{x^2} - 2x} \Rightarrow y' = \sqrt {{x^2} - 2x} + x \cdot \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, có \(SA\) vuông góc \(\left( {ABCD} \right).\) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên cạnh \(SB\) và \(SD.\) Chứng minh rằng \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\)
Ta có \(S{A^2} = SH \cdot SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).\)
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK.\)
Ta có \(S{A^2} = SK \cdot SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\AB = AD\end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)suy ra \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK{\rm{//}}BD.\)
Lại có \(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.\)
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(HK{\rm{//}}BD\) nên \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)
(1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên của tham số \[m\] để bất phương trình \[\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\] nghiệm đúng với mọi \[x\].
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \[m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\].
Ta có \[\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \log 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - m > 0\\16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\4 \le {\left( {5 - m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}5 - m \le - 2\\5 - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\].
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(2 < m \le 3\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m = 3\].
