Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Cho số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi:
\[{a^r} = {a^{m - n}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
\[{a^r} = {a^{n - m}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{n}{m}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Đáp án đúng là: D
Với số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}\) bằng
\({a^8}\).
\({a^2}\).
\({a^{\frac{7}{2}}}\).
\({a^{\frac{9}{2}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}\).
So sánh hai số \(m\), \(n\) nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\).
\(m < n.\)
\(m = n.\)
\(m > n.\)
\(m = - n\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\) thì \(m < n\).
Cho số thực dương \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Rút gọn biểu thức \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}}\] ta được
\(C = a\).
\(C = {a^5}\).
\(C = {a^{\frac{7}{2}}}\).
\(C = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\) là
\( - 9\).
\(9\).
\( - 10\).
\(10\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\)\( = \frac{{{2^{3 - 1}} + {5^{ - 3 + 4}}}}{{{{10}^{ - 3 - \left( { - 2} \right)}} - 1}} = \frac{{{2^2} + {5^1}}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}} = \frac{{4 + 5}}{{\frac{1}{{10}} - 1}} = \frac{9}{{ - \frac{9}{{10}}}} = - 10\).
Với mọi số thực dương \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) và \(a,b \ne 1\), mệnh đề nào sau đây sai?
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}\left( x \right){\log _a}\left( y \right)\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) nên đáp án A sai.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \[{\log _7}{a^2}\] bằng
7\[{\log _2}a\].
2\[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\]\[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\]+ \[{\log _2}a\].
Đáp án đúng là: B
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a\].
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{\log _3}\left( {3a} \right)\] bằng
\[3 - {\log _3}a\].
\[1 - {\log _3}a\].
\[3 + {\log _3}a\].
\[1 + {\log _3}a\].
Đáp án đúng là: D
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a\].
Nếu \({\log _a}b = 4\) thì \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\) bằng
9.
21.
20.
13.
Đáp án đúng là: B
Vì \({\log _a}b = 4\) nên \(a,\,b\) là các số thực dương và \(a \ne 1\).
Khi đó, ta có \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\)\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\)
\( = 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21\).
Cho \({\log _2}3 = a,\,{\log _2}5 = b\) . Biểu thị \({\log _9}10\) theo \(a\) và \(b\) ta được
\(\frac{{2a}}{{1 + b}}\).
\(\frac{{1 + b}}{{2a}}\).
\(\frac{b}{{2a}}\).
\(\frac{{1 - b}}{{2a}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _9}10 = {\log _{{3^2}}}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}{\log _3}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5} \right)\).
Áp dụng công thức đổi cơ số ta có \({\log _2}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}2}} = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\), suy ra \({\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\).
Tương tự \({\log _2}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2}} \Rightarrow {\log _3}5 = {\log _2}5 \cdot {\log _3}2 = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}\).
Do đó, \({\log _9}10 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{b}{a}} \right) = \frac{{1 + b}}{{2a}}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}.\)
\(y = {8^{\frac{x}{2}}}.\)
\(y = {2^{ - x}}.\)
\(y = {x^{ - 2}}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lôgarit?
\(y = \log x.\)
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
\(y = \ln x.\)
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\) không phải là hàm số lôgarit.
Cho hai hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\) với \(a\), \(b\) là hai số thực dương, khác \[1\] có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(0 < b < a < 1\).
\(a > 1\).
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < b < 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _4}\left( {2x - 5} \right)\) là
\(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
\(D = \left( { - \infty ;0} \right).\)
\(D = \left( {\frac{5}{2};\, + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - \infty ;\,\frac{5}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện để hàm số có nghĩa là \[2x - 5 > 0\], tức là \(x > \frac{5}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
\(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: A
Xét từng đáp án:
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(0 < \frac{2}{e} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(\frac{\pi }{3} > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) (do \(4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)) và có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) và có cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Cho phương trình \[{2^x} = 8\]. Khi đó công thức nghiệm được xác định bởi
\(x = {3^2}\).
\(x = {2^3}\).
\(x = \frac{8}{2}\).
\(x = {\log _2}8\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8\].
Phương trình \[{\log _a}x = b\,\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\] luôn có nghiệm duy nhất là
\(x = \frac{a}{b}\).
\(x = {b^a}\).
\(x = ab\).
\(x = {a^b}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{\log _a}x = b\, \Leftrightarrow x = {a^b}\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\].
Phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3\) có tập nghiệm là
\(\left\{ { - 3;3} \right\}\).
\(\left\{ { - 3} \right\}\).
\(\left\{ 3 \right\}\).
\(\left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\).
Ta có \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\).
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^{x - 1}} > 16\) là
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({4^{x - 1}} > 16 \Leftrightarrow {4^{x - 1}} > {4^2} \Leftrightarrow x - 1 > 2\) (do 4 > 1)
\( \Leftrightarrow x > 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({4^{x - 1}} > 16\) là \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Phương trình \({4^x} - {2^x} - 3 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({4^x} - {2^x} - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2^x} - 3 = 0\) (1)
Đặt \({2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó (1) \( \Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \({2^x} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
“Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt ……. hoặc …….. với \[a\] và \[b\]”. Điền vào chỗ trống lần lượt là:
vuông góc, trùng.
vuông góc, chéo.
song song, chéo.
song song, trùng.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\].
Cho hình lập phương \(ABCD.A'BC'D'\). Hai đường thẳng vuông góc với nhau là
\[BC,A'D'\].
\[AB,DC\].
\[AA',BB'\].
\[AB,AA'\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'BC'D'\) là hình lập phương nên ta có:
+) \[BC{\rm{//}}A'D'\] (do cùng song song với \(B'C'\));
+) \[AB{\rm{//}}DC\] (do \(ABCD\) là hình vuông);
+) \[AA'{\rm{//}}BB'\] (các cạnh bên);
+) \[AB \bot AA'\] (cạnh đáy và cạnh bên).
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a\), \(b\), \(c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\,\,{\rm{//}}\,b\) và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
Nếu góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mp \(\left( \alpha \right)\,\,{\rm{//}}\,c\) thì góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\).
Đáp án đúng là: B
+) A sai vì: Nếu \(a\) và \(b\)cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\) và \(b\)hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(c\)).
+) C sai vì: Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\)chéo nhau, ta dựng đường thẳng \(c\) là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng với góc giữa \(b\) và \(c\) và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng \(a\) và \(b\)không song song.
+) D sai vì: Giả sử \(a\) vuông góc với \(c\), \(b\) song song với \(c\), khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng 90°, còn góc giữa \(b\) và \(c\) bằng 0°.
Do đó B đúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(A'A\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên cạnh \(A'A \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\).
Nên \(A'A \bot B'D'\)\( \Rightarrow \left( {A'A,B'D'} \right) = 90^\circ \).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì
\(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\)song song với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\)nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: A
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Hỏi \(SA\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Hình chóp hình chóp \(S.ABCD\) có mặt đáy là \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Đường thẳng nào sau đây là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)?
\(DC\).
\(AD\).
\(SC\).
\(SB\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(BC \bot AB\).
\(BC \bot AC\).
\(BC \bot SC\).
\(BC \bot AH\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).
Cho hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB \bot \left( {SAB} \right)\].
\[AB \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAB} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng \(180^\circ \).
Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Đáp án đúng là: A
+) Đáp ánAđúng theo định nghĩa.
+) Đáp án B sai vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.
+) Đáp án C sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng 0° hoặc 90° (góc vuông).
+) Vì B, C sai nên D sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Đáp án đúng là: C
Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
Cho hình chóp cụt đều. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mỗi mặt bên là một hình thang cân.
Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Có các cạnh bên bằng nhau.
Mỗi mặt bên là một hình vuông.
Đáp án đúng là: D
Hình chóp cụt đều có các mặt bên là hình thang cân nên đáp án D sai.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và đáy \[ABC\] vuông ở \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\](tham khảo hình vẽ bên dưới). Mặt phẳng \[\left( {A'AC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\[\left( {ABB'A'} \right)\].
\[\left( {ABCD} \right)\].
\[\left( {ADD'A'} \right)\].
\[\left( {CDD'C'} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\).
Từ đó suy ra \(\left( {A'AC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] (tham khảo hình vẽ bên dưới).
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] (tham khảo hình vẽ bên dưới). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/23-1766721502.png)
Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABD} \right)\]và mặt phẳng \[\left( {A'B'BA} \right)\] là
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
\[45^\circ \].
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng \[\left( {ABD} \right)\] chính là mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\].
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(\left( {A'B'BA} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABD} \right)\]và mặt phẳng \[\left( {A'B'BA} \right)\] bằng \[90^\circ \].
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = {2^{1 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{\frac{1}{2}}}\).
b) Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\).
a) Ta có \(A = {2^{1 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{\frac{1}{2}}} = {2^{1 - \sqrt 2 + 3 + \sqrt 2 }} \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
\( = {2^4} \cdot {2^{2 \cdot \frac{1}{2}}} = {2^4} \cdot {2^1} = {2^{4 + 1}} = {2^5} = 32.\)
b) \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
ĐK: \(x > 0\,\,\left( * \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)\).
\(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)
So với \(\left( * \right)\): \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
a) Chứng minh\(SI \bot SJ\).
b) Chứng minh \(SI \bot \left( {SCD} \right),\,\,SJ \bot \left( {SAB} \right)\).
a) Ta có tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tứ giác \(IBCJ\) là hình chữ nhật nên \(IJ = BC = a\).
Tam giác \(SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S\) nên \(SJ = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2}\).
Do đó, \(S{J^2} + S{I^2} = I{J^2}\,\,\left( { = {a^2}} \right)\), suy ra tam giác \(SIJ\) vuông tại \(S\).
Vậy \(SI \bot SJ\).
b) Vì tam giác \(SCD\) là tam giác cân đỉnh \(S\) nên \(SJ \bot CD\).
Do \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(SJ \bot AB\) mà \(SI \bot SJ\) nên \(SJ \bot \left( {SAB} \right)\).
Chứng minh tương tự ta có \(SI \bot \left( {SCD} \right)\).
(1,0 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \(SC \bot BD\) (vì \(BD \bot AC,BD \bot SA\))
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(OI \bot SC\) thì ta có \(SC \bot \left( {BID} \right)\).
Khi đó \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {BID}\).
Trong tam giác \(SAC\), kẻ đường cao \(AH\) thì \(AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Mà \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(OI\,{\rm{//}}\,AH\) nên \(OI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
Tam giác \(IOD\) vuông tại \(O\) có \(tan\widehat {OID} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {OID} = 60^\circ \)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(60^\circ \).
