Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
\({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\).
\({x^\alpha } \cdot {y^\beta } = {\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }}\).
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\).
\({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\).
Đáp án đúng là: B
Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:
+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);
+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);
+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).
Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có
\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).
Từ đó suy ra đáp án B sai.
Tính \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\), ta được
\(\frac{{19}}{3}\).
\( - \frac{{109}}{{27}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{109}}{{27}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = \frac{{109}}{{27}}\).
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}}\] bằng
\({a^{\frac{2}{3}}}\).
\({a^{\frac{7}{3}}}\).
\({a^{\frac{5}{3}}}\).
\({a^{\frac{4}{3}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{2 + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3}}}\].
Cho số dương \(a\), biểu thức \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}}\] viết dưới dạng lũy thừa hữu tỷ là
\[{a^{\frac{5}{7}}}\].
\[{a^{\frac{1}{6}}}\].
\[{a^{\frac{7}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{3}}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}\].
Rút gọn \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}}\) ta được
\[{a^2}b\].
\[a{b^2}\].
\[{a^2}{b^2}\].
\[ab\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab\).
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[{\log _a}x\] có nghĩa với mọi \(x\).
\({\log _a}1 = a\) và \({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}xy = {\log _a}x \cdot {\log _a}y\).
\[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
+) \[{\log _a}x\] có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\), do đó đáp án A sai.
+) \({\log _a}1 = 0\), do đó đáp án B sai.
+) \({\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y\), do đó đáp án C sai.
+) \[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\], do đó đáp án D đúng.
Giá trị của \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9\) bằng
\[\frac{1}{2}\].
\[4\].
\[ - 4\].
\[2\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4\).
Nếu \[{\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5\]\(\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\) thì \(x\) bằng
\[\frac{1}{5}\].
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{3}{5}\].
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}\].
Vậy \(x = \frac{3}{5}\).
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\).
\[M = \frac{1}{3}\].
\[M = 1\].
\[M = \frac{1}{2}\].
\(M = \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}\)
\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1\).
Cho \[a > 0\], \[b > 0\]và \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\[{\log _7}\frac{{a + b}}{2} = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\].
\[{\log _3}\frac{{a + b}}{7} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right)\].
\[{\log _3}\frac{{a + b}}{2} = \frac{1}{7}\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right)\].
\[{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 2{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}{\log _7}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{9}\)
\( = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{7ab + 2ab}}{9} = \frac{1}{2}{\log _7}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\).
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\).
\(y = {5^x}\).
\(y = {2023^{ - x}}\).
\(y = {x^{2023}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{2023}}\) không phải hàm số mũ.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(y = {a^x}\) với \(a > 1\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\).
Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\)với \(0 < a\), \(a \ne 1\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\).
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(0 < a\), \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(\left( {a\,;\,1} \right)\).
\(y = {a^x}\) với \(0 < a < 1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
+) Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) và với \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) nên đáp án A và D sai.
+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(0 < a\), \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(\left( {1\,;\,\,a} \right)\) nên đáp án C sai.
+) Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\)với \(0 < a\), \(a \ne 1\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\) là mệnh đề đúng.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
\(y = \log x\) .
\(y = \ln x\).
\(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\) có cơ số là \(\frac{e}{3}\) và \(0 < \frac{e}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\) với \(a,{\rm{ }}b\) là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < a < b < 1\).
\(0 < b < a < 1\).
\(0 < a < 1 < b\).
Đáp án đúng là: A
Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).
Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là
\(\left( {2;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
ĐKXĐ: \( - {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\).
Vậy hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là \(\left( {2;3} \right)\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mũ?
\({2^x} = 3\).
\({\log _3}x = 5\).
\(\ln x = 4\).
\(3x - 1 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({2^x} = 3\) là phương trình mũ.
Nghiệm của bất phương trình \({3^x} > 6\) là
\(x > 2\).
\(x < {\log _3}6\).
\(x > {\log _3}6\).
\(x < 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({3^x} > 6 \Leftrightarrow x > {\log _3}6\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2\) là
\(x = 8\).
\(x = 9\).
\(x = 7\).
\(x = 10\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 10\).
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 4}} = {2^x}\) là
\(x = 16\).
\(x = - 16\).
\(x = - 4\).
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4\).
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\) là
\(2\).
\(3\).
\(0\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 0\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).
Ta có \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{{3^{ - 1}}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) - {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = {3^0}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 1\)\( \Rightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện ta chọn \(x = 1\), vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: C
+) Phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
+) Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.
+) Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]?
\[A'D\].
\[AC\].
\[BB'\].
\[AD'\].
Đáp án đúng là: A
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/4-1766714954.png)
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)\).
Suy ra \(ABC'D'\) là hình bình hành, do đó \(AD'{\rm{//}}BC'\).
Lại có \(AD' \bot A'D\) (do \(ADD'A'\) là hình vuông).
Từ đó suy ra \(BC' \bot A'D\).
Cho hình lập phương \(MNPQ.M'N'P'Q'.\) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M'P'\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(MN{\rm{//}}M'N'\) nên \(\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).
Khi đó ta có \(ME,\,\,NE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(BCD,\,\,ABD\).
Suy ra \(ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB\). Do đó, \(\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)\).
Ta có \(ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(MNE\) ta có
\(\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MEN} = 120^\circ \).
Khi đó, \(\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Vậy \(\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ \).
Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\)vuông tại \(C\). Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(S\).
\(A\).
\(B\).
\(C\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(A\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,\,b\)và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
Nếu \(b\; \bot a\) thì \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b\;{\rm{//}}\;a\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(b\; \bot a\) thì có thể xảy ra trường hợp \(b\; \subset \;\left( P \right)\), nên đáp án A sai.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\].
Lại có \[ABCD\]là hình vuông nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot AM\).
Mà \(AM \bot SB\) (do \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\)).
Như vậy, \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]và tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]. Gọi \[AH\]là đường cao của tam giác\[SAB\]. Tìm mệnh đề sai?
\[SA \bot BC\].
\[AB \bot SC\].
\[AH \bot SC\].
\[AH \bot BC\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[SA \bot BC\], đáp án A đúng.
Ta có \(BC \bot AB\) (do tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]) và \[SA \bot BC\] nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra \(BC \bot AH\). Lại có \(AH \bot SB\), do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Suy ra \(AH \bot SC\) và \[AH \bot BC\], đáp án C và D đúng.
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Hãy chọn khẳng định đúng?
Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(180^\circ \).
Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(60^\circ \).
Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(30^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương.
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề ii) và iii) là các mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
+) Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau, do đó đáp án A đúng.
+) Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
+) Đáp án C sai vì giả sử ta chọn đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho thì đường thẳng này nằm trong cả 2 mặt phẳng.
+) Đáp án D là sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), do đó đáp án B đúng.
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\]. Lại có \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\)nên \(AB \bot BC\). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\], vậy đáp án D đúng.
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) nên \(BM \bot AC\).
Lại có \(BM \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)) nên \(BM \bot \left( {SAC} \right)\), do đó \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\), vậy đáp án C đúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(ABCD\) là hình vuông, do đó hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.
Lại có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(AA' \bot BD\).
Khi đó, đường thẳng \(BD\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(AC\) và \(AA'\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\). Suy ra \(\left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng \(90^\circ \).
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}}\).
b) Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {2019^{\sqrt {4 - {x^2}} }} + {\log _2}\left( {2x - 3} \right)\).
a) Ta có \(\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = {5^2} - {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 25 - 24 = 1\).
Do đó
\(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}} = {\left[ {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}} \cdot \left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = 5 - 2\sqrt 6 \).
b) Hàm số đã cho xác định khi 4−x2≥02x−3>0⇔−2≤x≤2x>32⇔32<x≤2.
Vậy \(D = \left( {\frac{3}{2};2} \right].\)
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SA\).
Và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Mà \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BD\).
Và \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Mà \(SA,AC \subset \left( {SAC} \right)\).
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Mặt khác ta có: \(BD \subset \left( {SBD} \right)\).
Vậy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
(1,0 điểm) Trong năm 2020 (tính đến hết ngày 31/12/2020), diện tích rừng trồng mới của tỉnh \(A\) là 1 200 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh \(A\) mỗi năm tiếp theo đều tăng \(6\% \) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2020, năm nào là năm đầu tiên tỉnh \(A\) có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1 600 ha?
Diện tích rừng trồng mới của năm \(2020 + 1\) là \(1200{\left( {1 + 6\% } \right)^1}\) .
Diện tích rừng trồng mới của năm \(2020 + 2\) là \(1200{\left( {1 + 6\% } \right)^2}\) .
…
Diện tích rừng trồng mới của năm \(2020 + n\) là \(1200{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) .
Ta có: \(1200{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 1600 \Leftrightarrow {\left( {1 + 6\% } \right)^n} > \frac{4}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 6\% }}\frac{4}{3} \approx 4,94\).
Như vậy kể từ năm 2020 thì năm 2025 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên 1 600 ha.
