Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 6
34 câu hỏi
Cho \(a\) là số thực dương, \(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \ge 2.\) Khẳng định nào sau đây sai?
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)
\({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}.\)
\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}.\)
\({a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[{}]{a}.\)
Đáp án đúng là: C
Với \(a\) là số thực dương, \(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \ge 2\), ta có \({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\) Vậy đáp án C sai.
Cho \[x,y\] là hai số thực dương khác \[1\] và \[n,m\] là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?
\[{x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\].
\[{x^n}{y^n} = {\left( {xy} \right)^n}\].
\[\frac{{{x^n}}}{{{y^m}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^{n - m}}\].
\[\frac{{{x^n}}}{{{y^n}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết ta thấy đẳng thức ở đáp án C sai.
Tính giá trị của \({2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {4^{\sqrt 2 }}\) bằng
\(8\).
\(32\).
\({2^{3 + \sqrt 2 }}\).
\({4^{6\sqrt 2 - 4}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {4^{\sqrt 2 }} = {2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt 2 }} = {2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{2\sqrt 2 }} = {2^{3 - \sqrt 2 + 2\sqrt 2 }} = {2^{3 + \sqrt 2 }}\).
Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^{18}}} }}\left( {a > 0,b > 0} \right)\) thu được kết quả là
\(P = {a^2}{b^3}.\)
\(P = {a^6}{b^9}.\)
\(P = {a^2}{b^9}.\)
\(P = {a^6}{b^3}.\)
Đáp án đúng là: A
Với \(a > 0,\,b > 0\), ta có: \(P = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^{18}}} }} = \sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}}{b^{18}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{a^6}{b^9}}} = {\left( {{a^6}{b^9}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {a^2}{b^3}\).
\({\log _3}\frac{1}{{27}}\)bằng
\( - 3\).
\( - \frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _3}\frac{1}{{27}} = {\log _3}{3^{ - 3}} = - 3\).
Cho \(a,\,\,b > 0\)và \(a \ne 1\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\({\log _a}1 = 0\).
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}{a^b} = a\).
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _a}{a^b} = b\) với \(a,\,\,b > 0\)và \(a \ne 1\).
Cho \[a > 0\], \[a \ne 1\]. Biểu thức \[{a^{{{\log }_a}{a^2}}}\] bằng
\[2a\].
\[2\].
\[{2^a}\].
\[{a^2}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{a^{{{\log }_a}{a^2}}} = {a^2}\].
Với mọi \(a\), \(b\), \(x\) là các số thực dương thoả mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(x = 5a + 3b\).
\[x = {a^5} + {b^3}\].
\[x = {a^5}{b^3}\].
\(x = 3a + 5b\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(5{\log _2}a + 3{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^3}} \right)\).
Từ đó suy ra \[x = {a^5}{b^3}\].
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
\(y = {3^{\log x}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
\(y = x{\log _3}2\).
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) là hàm số lôgarit.
Tập xác định của hàm số \[y = {6^x}\] là
\[\left[ {0; + \infty } \right).\]
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[\left( {0; + \infty } \right).\]
\[\mathbb{R}\].
Đáp án đúng là: D
Tập xác định của hàm số \[y = {6^x}\] là \[\mathbb{R}\].
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(f\left( x \right) = {3^x}\).
\(f\left( x \right) = {3^{ - x}}\).
\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{3}{{{3^x}}}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(f\left( x \right) = {3^x}\) có cơ số \(3 > 1\) nên nó đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Cho hai hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\) với \(a\), \(b\) là hai số thực dương, khác \[1\] có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(0 < b < a < 1\).
\(a > 1\).
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < b < 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.
Nghiệm của phương trình \({3^x} = 9\)là
1.
2.
3.
9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \({3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = {3^2} \Leftrightarrow x = 2\).
Tìm tập nghiệm \(S\)của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\).
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - 1;2} \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
\(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\).
Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\)\(\left( {{\rm{do}}\,\,0 < \frac{1}{2} < 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp với điều kiện ta có \(\frac{1}{2} < x < 2\).
Vậy tập nghiệm \(S\)của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,8\] là
\[\left[ {6;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {0;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {6;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {3;\, + \infty } \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,8 \Leftrightarrow {2^{x - 3}} > {2^3} \Leftrightarrow x - 3 > 3 \Leftrightarrow x > 6\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,8\] là \[\left( {6;\, + \infty } \right)\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\). Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) là
\(f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) (nếu tồn tại giới hạn).
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0} - h} \right)}}{h}\) (nếu tồn tại giới hạn).
Đáp án đúng là: C
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) thì giới hạn này là đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\).
Nếu hàm số \(s = f\left( t \right)\) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian \(t\) thì … biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\). Đáp án thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là
\[f''\left( t \right)\].
\[\frac{1}{2}f\left( t \right)\].
\[f'\left( {{t_0}} \right)\].
\[\frac{1}{2}f''\left( t \right)\].
Đáp án đúng là: C
Nếu hàm số \(s = f\left( t \right)\) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì \[f'\left( {{t_0}} \right)\] biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\).
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = {t^2} + 2t + 8\), trong đó \(t\) được tính bằng giây (s), \(S\) được tính bằng mét (m), vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\,\,{\rm{s}}\) là
\(22\,\,{\rm{m/s}}\).
\(128\,\,{\rm{m/s}}\).
\(2\,\,{\rm{m/s}}\).
\(10\,\,{\rm{m/s}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta xác định được \(S'\left( t \right) = {\left( {{t^2} + 2t + 8} \right)^\prime } = 2t + 2\).
Vận tốc tức thời của chuyển động có phương trình là \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 2t + 2\).
Khi đó, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\,\,{\rm{s}}\) là
\(v\left( {10} \right) = 2 \cdot 10 + 2 = 22\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Chọn khẳng định đúng.
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = - \cos x\).
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\cos x}}\).
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \frac{{ - 1}}{{\cos x}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo công thức đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
Khẳng định nào dưới đây là sai?
\({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\).
\({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\,\,\left( {x > 0} \right)\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).
\({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\ln a}}\,\,\left( {x > 0,\,a > 0,a \ne 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit:
+) \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\) ; +) \({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) ;
+) \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\,\,\left( {x > 0} \right)\) ; +) \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\,\,\left( {x > 0,\,a > 0,a \ne 1} \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2} + x\sqrt x + 1\) là
\(y' = 2x + \frac{x}{{2\sqrt x }}.\)
\(y' = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
\(y' = 2x + \frac{3}{2}\sqrt x \).
\(y' = 2x + \sqrt x \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y' = {\left( {{x^2} + x\sqrt x + 1} \right)^\prime } = 2x + \left( {x' \cdot \sqrt x + x \cdot {{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }} \right)\)
\( = 2x + \sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }} = 2x + \sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x = 2x + \frac{3}{2}\sqrt x \).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}\) là
\(y' = \frac{{2{x^2} - 1}}{{4{x^2}}}\).
\(y' = \frac{1}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}}\).
\(y' = \frac{x}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}}\).
\(y' = x - \frac{1}{{2{x^2}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = {\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime } \cdot 2x - {{\left( {2x} \right)}^\prime } \cdot \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{2x \cdot 2x - 2 \cdot \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{4{x^2}}} = \frac{{4{x^2} - 2{x^2} + 2}}{{4{x^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2}}{{4{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}}\).
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có thể bằng
\[180^\circ \].
\[150^\circ \].
\[90^\circ \].
A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: C
Vì góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá \[90^\circ \] nên góc giữa hai đường thẳng có thể bằng \[90^\circ \].
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì phải cắt nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Đáp án đúng là: A
+ Theo lí thuyết ta thấy, trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, vậy đáp án A đúng, từ đó suy ra đáp án B sai.
+ Đáp án C sai do hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.
+ Đáp án D sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song, hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AA'\) là góc nào sau đây?
\(\widehat {ACA'}\).
\(\widehat {AB'C}\).
\(\widehat {DB'B}\).
\(\widehat {CAA'}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(ACC'A'\) là hình vuông, do đó \(\widehat {CAA'} = 90^\circ \). Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AA'\) là \(\widehat {CAA'}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AD,\,\,SD\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(MN \bot SC.\)
\(MN \bot SB.\)
\(MN \bot SA.\)
\(MN \bot AB.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\), \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).
Do đó \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\). Từ đó suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) hay \(SA \bot SC\). (1)
Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AD,\,\,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\), do đó \(MN{\rm{//}}SA\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot SC\).
Qua điểm \[O\] cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước?
\(1\).
vô số.
\(3\).
\(2\).
Đáp án đúng là: A
Qua điểm \[O\] cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(OB \bot \left( {OAC} \right).\)
\(AC \bot \left( {OAB} \right).\)
\(AC \bot \left( {OBC} \right).\)
\(AC \bot \left( {OBC} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot OA\\OB \bot OC\\OA,OC \subset \left( {OAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {A'BD} \right)\).
\(\left( {A'DC'} \right)\).
\(\left( {A'CD'} \right)\).
\(\left( {A'B'CD} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A'D \bot AD'\) (do \(ADD'A'\) là hình vuông) và \(A'D \bot C'D'\) (do \(C'D' \bot \left( {ADD'A'} \right)\)).
Suy ra \(A'D \bot \left( {AC'D'} \right)\), do đó \(A'D \bot AC'\) (1).
Lại có \(A'B \bot AB'\) (do \(ABB'A'\) là hình vuông) và \(A'B \bot B'C'\) (do \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right)\)).
Suy ra \(A'B \bot \left( {AB'C'} \right)\), do đó \(A'B \bot AC'\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(AC' \bot \left( {A'BD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\)là hình vuông, \[SA\]vuông góc với mặt phẳng\[\left( {ABCD} \right)\]. Chọn khẳng định sai?
\[A\]là hình chiếu vuông góc của \[S\]lên \[\left( {ABCD} \right).\]
\[A\]là hình chiếu vuông góc của \[S\]lên \[\left( {SAB} \right).\]
\[B\]là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAB} \right).\]
\[D\]là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAD} \right).\]
Đáp án đúng là: B
+ Vì \[SA\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] nên \[A\]là hình chiếu vuông góc của \[S\]lên \[\left( {ABCD} \right).\] Vậy đáp án A đúng.
+ Vì \(SA \subset \left( {SAB} \right)\) nên đáp án B sai.
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \[B\]là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAB} \right).\] Vậy đáp án C đúng.
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\), do đó \[D\]là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAD} \right).\] Vậy đáp án D đúng.
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1,0 điểm)Biết \({\log _x}y = 2\). Tính giá trị của \({\log _{{x^2}y}}\frac{{{x^4}}}{{y\sqrt y }}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \({\log _x}y = 2 \Rightarrow y = {x^2};\,\,x,\,y > 0,\,x \ne 1\).
Vậy \({\log _{{x^2}y}}\frac{{{x^4}}}{{y\sqrt y }} = {\log _{{x^4}}}\frac{{{x^4}}}{{{x^3}}} = {\log _{{x^4}}}x = \frac{1}{4}\).
(1,0 điểm)Một ca nô chạy với phương trình chuyển động là\(s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^{\rm{3}}} - 2{t^{\rm{2}}} + 4t\), trong đó \(s\) tính bằng mét, \(t\) là thời gian tính bằng giây. Xác định gia tốc của ca nô tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu.
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 4t + 4;\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = {\left( {{t^2} - 4t + 4} \right)^\prime } = 2t - 4\).
Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là \(v\left( t \right) = 0\), khi đó \({t^2} - 4t + 4 = 0\).
Suy ra \(t = 2\,\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Vậy gia tốc lúc này là \(a\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 - 4 = 0\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SB\]. Chứng minh rằng \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam g (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/7-1766727496.png)
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].
Ta lại có \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\].
(1,0 điểm)Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\), trong đó \({m_0}\) là chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \({t_0}\)), \(m\left( t \right)\) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t\), \(T\) là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ biến thành chất khác). Với \(T = 2000\) năm, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu?
Với \(T = 2000\) năm và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu, ta có:
\(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}{m_0}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}\)
\( \Leftrightarrow \frac{t}{{{\rm{2000}}}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right)\)
\( \Leftrightarrow t > 2\,000 \cdot {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 4\,643,85619\)
Vậy cần ít nhất 4 644 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu.
