Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 6
78 câu hỏi
Số đo radian của góc \( - 260^\circ \) là
\(\frac{{13\pi }}{9}\).
\(\frac{{10\pi }}{9}\).
\( - \frac{{13\pi }}{9}\).
\( - 14\,\,896\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(1^\circ = \frac{\pi }{{180}}rad\) nên \( - 260^\circ = - 260.\frac{\pi }{{180}} = - \frac{{13\pi }}{9}\).
Giá trị\[\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\] bằng
\[\sqrt 3 \].
\[ - \sqrt 3 \].
\[ - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 .\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(\sin \alpha + \cos \alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\).
\(\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
Cho góc \(\alpha \) thoả mãn \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\({\rm{cos }}\alpha < 0.\)
\(\sin \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0.\)
\[{\rm{cot }}\alpha > 0.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0\).
Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):\[\alpha = - \frac{{5\pi }}{6},\] \[\beta = \frac{\pi }{3},\] \[\gamma = \frac{{25\pi }}{3},\] \[\delta = \frac{{19\pi }}{6}.\] Các cung nào có điểm cuối trùng nhau là
\[\beta \] và \[\gamma \]; \[\alpha \] và \[\delta \].
\[\alpha ,\beta ,\gamma \].
\[\beta ,\gamma ,\delta \].
\[\alpha \]và \[\beta \]; \[\gamma \] và \[\delta \].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cách 1: Ta có: \[\delta - \alpha = 4\pi \Rightarrow \]\[2\] cung \[\alpha \] và \[\delta \] có điểm cuối trùng nhau.
\[\gamma - \beta = 8\pi \Rightarrow \] hai cung \[\beta \] và \[\gamma \] có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2: Gọi \(A,B,C,D\) lần lượt là điểm cuối của các cung \[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \]
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có \[B \equiv C,A \equiv D\].
Cho \(\cot \alpha = 4\tan \alpha \) và \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Khi đó \(\sin \alpha \) bằng
\[ - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\cot \alpha = 4\tan \alpha \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} = 4 \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha = 4 \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 5\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Vì \[\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\] nên \(\sin \alpha > 0\), do đó \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Cho \[\tan \alpha = 2\]. Giá trị của \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\] bằng
\[ - \frac{1}{3}\].
\[1\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\].
Rút gọn biểu thức: sina–17°.cosa+13°–sina+13°.cosa–17°, ta được
\[\sin 2a\].
\[\cos 2a\].
\[ - \frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{2}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: sina–17°.cosa+13°–sina+13°.cosa–17°
=sina−17°−a+13°
=sin−30°=−12.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có các kết quả sau:
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\sin x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
Cho các hàm số: \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\). Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi ?\)
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi .\)
Khẳng định nào sau đây sai?
\(y = \tan x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(y = \cos x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \sin x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \cot x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Trên khoảng \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến.
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất, \(m\)là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4\sin x\cos x + 1.\) Giá trị \(M + m\) là
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\( - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y = 2\sin 2x + 1\).
Do \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\sin 2x + 1 \le 3\).
\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3\).
* \(y = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \).
* \(y = 3 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(M = 3\), giá trị nhỏ nhất bằng \(m = - 1\).
Suy ra: \(M + m = 2\).
Tập xác định của hàm số \[y = \sin \sqrt {9 - {x^2}} + \cos \sqrt x \] là
\[D = \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - \infty ;3} \right]\].
\[D = \left[ {0;3} \right]\].
\[D = \left[ {0; + \infty } \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {0;3} \right]\].
Phương trình \[\sin 2x = - \frac{1}{2}\] có tập nghiệm là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\[\sin 2x = - \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
\[\cos x = 2\].
\[\cos x = - 3\].
\[2\cos x = - \sqrt 5 \].
\[2\cos x = - 2\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \[\cos x = 2\]. Phương trình vô nghiệm vì \(2 > 1.\)
Xét phương trình \[\cos x = - 3\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - 3 < - 1\).
Xét phương trình \[2\cos x = - \sqrt 5 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - \frac{{\sqrt 5 }}{2} < - 1\)
Xét phương trình \[2\cos x = - 2 \Leftrightarrow \cos x = - 1\]\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác \(3\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) là:
\[x = \frac{\pi }{3}\].
\[x = \frac{{13\pi }}{3}\].
\[x = \frac{\pi }{6}\].
\[x = \frac{{7\pi }}{3}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi }{3}\).
Tất cả các nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\] là
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], biết \[{u_n} = \frac{{3{n^2} - 2}}{{{n^2} + 2}}\]. Số hạng \[{u_5}\] là
\[{u_5} = \frac{{23}}{9}\].
\[{u_5} = \frac{{73}}{{27}}\].
\[{u_5} = \frac{{53}}{{19}}\].
\[{u_5} = \frac{{25}}{{11}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{u_5} = \frac{{3 \cdot {5^2} - 2}}{{{5^2} + 2}} = \frac{{73}}{{27}}\].
Cho dāy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{3n + 1}}{{5n - 1}}\). Số \(\frac{7}{{11}}\) là số hạng thứ mấy của dāy số?
\[8\].
\[11\].
\[9\].
\[10\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_n} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{3n + 1}}{{5n - 1}} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(33n + 11 = 35n - 7\)\( \Leftrightarrow \)\(n = 9\).
Cho dãy số có các số hạng đầu là\(5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\,;\,...\)Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = 5n - 5\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = n + 5\).
\({u_n} = 5n - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Do\(5 = 5.1\,;\,10 = 5.2\,;\,15 = 5.3\,;\,20 = 5.4\,;\,...\) nên số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = 5n\).
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)
Dãy số tăng, bị chặn.
Dãy số giảm, bị chặn.
Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3(3n - 2)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\). Số hạng tổng quát \({u_n}\)của dãy số là số hạng nào dưới đây?
\({u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_1} = 5,{u_2} = 5 + 1\), \({u_3} = 5 + 1 + 2\),…
\({u_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 2 điểm phân biệt, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Cho tứ diện\[ABCD\]. Chọn khẳng định đúng.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
\(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.
Tồn tại một mặt phẳng chứa \(AD\) và \(BC\).
\(AB\) và \(CD\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là tứ diện nên \[AC\] và \[BD\] không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \[M\]; \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Giao tuyến của \[\left( {SMN} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\] là
\[SK\] (\[K\] là trung điểm của \[AB\]).
\[SO\] (\[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]).
\[SF\] (\[F\] là trung điểm của \[CD\]).
\[SD\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \[ABCD\]\( \Rightarrow O = AC \cap MN\)\( \Rightarrow SO = \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AC\) và \(BD\) giao nhau tại \(O\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Trên đoạn \(SC\) lấy một điểm \(M\) không trùng với \(S\) và \(C\). Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là
giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(AB\).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\): Gọi \(SO \cap AM = K\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(BK\) cắt \(SD\) tại \(N\).
\( \Rightarrow \)\(N\) là giao điểm của \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\)
\( \Rightarrow \)Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến \({d_1},{d_2},{d_3}\) trong đó \({d_1}\) song song với \({d_2}\). Khi đó vị trí tương đối của \({d_2}\) và \({d_3}\) là
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Song song.
trùng nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AD\) không song song với \(BC\). Gọi \[M,\;N,\;P,\;Q,\;R,\;T\] lần lượt là trung điểm \[AC,\;BD,\;BC,\;CD,\;SA\] và \[SD\]. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
\(MP\) và \(RT\).
\(MQ\) và \(RT\).
\(MN\) và \(RT\).
\(PQ\) và \(RT\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[M\]; \[Q\] lần lượt là trung điểm của \[AC\]; \[CD\].
\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của tam giác \(CAD \Rightarrow MQ\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \[R\]; \[T\] lần lượt là trung điểm của \[SA\]; \[SD\].
\( \Rightarrow RT\) là đường trung bình của tam giác \[SAD \Rightarrow RT\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\left( 2 \right)\].
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(MQ\,{\rm{//}}\,RT\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(d\)là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(DC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung là \(S\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \]\(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC\)
Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d'\)nằm trong \(\left( \alpha \right)\)thì
\(d\)và \(\left( \alpha \right)\)có ít nhất hai điểm chung.
\(d\)và \(\left( \alpha \right)\)có một điểm chung duy nhất.
\(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\).
\(d'\)song song với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Theo định lý ta có: “Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d'\)nằm trong \(\left( \alpha \right)\)thì\(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\)”.
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) là điểm thuộc \(BC\) sao cho \(MC = 2MB\). Gọi \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(AD\). Điểm \(Q\) là giao điểm của \(AC\) với \(\left( {MNP} \right)\). Tỉ số \(\frac{{QC}}{{QA}}\) bằng
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{3}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{5}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = 2\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(NP\;{\rm{//}}\;AB \Rightarrow AB\;{\rm{//}}\;\left( {MNP} \right)\).
Mặt khác \(AB \subset \left( {ABC} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) có điểm \(M\) chung nên giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(MQ\;{\rm{//}}\;AB\)\(\left( {Q \in AC} \right)\).
Ta có: \(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{{MC}}{{MB}} = 2\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)
a) Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\] biết \[\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \].
b) Giải phương trình \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right).\)
a) Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \] nên \[\cos \alpha > 0\].
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\].
Suy ra: \[\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}\].
Vậy \[cos\left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\].
b) \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)} \right]\]\( \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{5} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\5x = \frac{{19\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3};\,\,x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): Với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
Ta có: \({u_n} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}\)
Với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)\) \( = 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}\)
\( = 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0.{\rm{ }}\forall n \ge 1.\)
Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Lấy điểm \(I \in BD\) sao cho \(BI = 2ID\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và song song với \(SA,\,\,CD\), \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{CD}}\).
a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)
Lại có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
b) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\) qua \(I\) và \[d\,{\rm{//}}\,CD\].
Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \(AD,\,\,BC\).
Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}\] qua \(P\) và \({d_1}\,{\rm{//}}\,SA\).
Khi đó \(N\) là giao điểm của \({d_1}\) với \(SD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}\) qua \(N\) và \({d_2}\,{\rm{//}}\,CD\).
Khi đó \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) với \(SC\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với hình chóp \(S.ABCD\) một thiết diện là hình thang \(MNPQ\)
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\)
Mà \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)
Suy ra \[\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\]
(0,5 điểm) Hàng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được mô tả bởi công thức \(h = A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B\), với \(A, B\)là các số thực dương cho trước. Biết độ sâu của mực nước lớn nhất là \(15\) mét khi thủy triều lên cao và khi thủy triều xuống thấp thì độ sâu của mực nước thấp nhất là \(9\) mét. Tính thời điểm độ sâu của mực nước là \(13,5\) mét (tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giờ).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) \le 1\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
\( - A + B \le A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B \le A + B\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
Độ sâu của mực nước lớn nhất bằng \(A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\) và thấp nhất bằng \( - A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 15\\ - A + B = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 12\\A = 3\end{array} \right.\)
Ta được \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\)
Theo đề, ta tìm thời điểm mà độ sâu \(h = 13,5\)
\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 13,5\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \left( { - 1 + \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\\t = \left( { - 1 - \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do \(0 \le t \le 24; k \in \mathbb{Z}\) nên \(t = 0,09\) (giờ); \(t = 12,09\) (giờ); \(t = 8,09\) (giờ);\(t = 20,09\) (giờ).
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1\)” là mệnh đề
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \ne 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x < 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \ge 1\)”.
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1\)”.
Cho các câu:
“Môn xác suất thật khó!”;
“Số một nghìn tỉ là số rất lớn”;
“Phú Quốc là thành phố thuộc tỉnh Kiên Giang”;
“Việt Nam có 54 dân tộc anh em”.
Có bao nhiêu câu là mệnh đề Toán học?
\(0\);
\(1\);
\(2\);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Câu “Môn xác suất thật khó!” là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề.
Câu “Số một nghìn tỉ là số rất lớn” là câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai vì không có khái niệm số rất lớn nên không là mệnh đề.
Câu “Phú Quốc là thành phố thuộc tỉnh Kiên Giang” là câu khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Nhưng mệnh đề này không đề cập đến nội dung Toán học nên không phải mệnh đề Toán học.
Câu “Việt Nam có 54 dân tộc anh em” là câu khẳng định đúng có nên đây là mệnh đề đúng. Nhưng mệnh đề này không đề cập đến nội dung Toán học nên không phải mệnh đề Toán học.
Vì vậy có \(0\) có mệnh đề Toán học.
Cho mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thoi thì \(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) bằng cách sử dụng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”.
“Điều kiện đủ để tứ giác \(ABCD\) là hình thoi là\(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;
“Điều kiện cần để tứ giác \(ABCD\) là hình thoi là\(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;
“Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi là điều kiện cần để \(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;
“Tứ giác \(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là điều kiện đủ để tứ giác \(ABCD\) là hình thoi”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Bằng cách sử dụng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ta có thể phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) như sau:
“Điều kiện cần để tứ giác \(ABCD\) là hình thoi là\(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;
“Điều kiện đủ để tứ giác \(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là tứ giác \(ABCD\) là hình thoi”.
Do đó B đúng; A, C, D sai.
Cho các câu sau:
(1) Số 23 là số nguyên tố.
(2) Số tự nhiên \(x\) là số chia hết cho 2.
(3) Em hãy học và làm bài tập chăm chỉ nhé!
(4) Tháng 2 dương lịch năm nhuận có 29 ngày.
Trong các câu trên, có bao nhiêu câu không là mệnh đề?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Câu (1) và (4) là các câu khẳng định có tính đúng sai, nên đây là mệnh đề.
Câu (2) phụ thuộc vào biến \(x\) nên không xác định tính đúng sai, câu (3) không khẳng định tính đúng sai. Do đó, câu (2), câu (3) không phải mệnh đề.
Vậy trong các câu đã cho, có 2 câu không là mệnh đề.
Cho tập hợp \(H = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x > 0} \right\}\). Tập hợp \(\mathbb{N}\backslash H\) là
\(\left[ {0;\,\,3} \right]\);
\(\left( {0;3} \right)\);
\(\left\{ {0;\,\,3} \right\}\);
\(\left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \({x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(H = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x > 0} \right\} = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Ta có: \(\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\)
\( \Rightarrow \mathbb{N}\backslash H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
Cho trục số:
Phần không bị gạch trên trục số biểu diễn cho tập hợp nào?
\(\left( { - 1;\,\,7} \right)\);
\(\left[ { - 1;\,\,7} \right]\);
\(\left[ { - 1;\,\,7} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,7} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phần không bị gạch trên trục số biểu diễn tập hợp \(\left( { - 1;\,\,7} \right]\).
Cho hai tập hợp \(A,\,\,B\) như hình bên dưới:
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(A \cap B\);
\({C_A}B\);
\(A \cup B\);
\(A\backslash B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập \(A \cup B\).
Cho tập hợp \(M = \left\{ {1;\,\,3;\,\,4;\,\,a;\,\,b;\,\,d} \right\}\). Có bao nhiêu tập hợp con của \(M\) có \(4\) phần tử mà luôn chứa phần tử \(1;\,\,3;\,\,a\)?
\(1\);
\(64\);
\(3\);
\(32\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các tập con của \(M\) gồm \(4\) phần tử và luôn chứa các phần tử \(1;\,\,3;\,\,a\) là:
\(\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,4} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,b} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,d} \right\}\).
Vậy có tất cả \(3\) tập hợp thỏa mãn.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + {y^2} < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + {y^2} \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} - y \le 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\).
Cho hình vẽ bên:
Miền nghiệm không bị gạch kể cả biên là miền nghiệm của bất phương trình có tổng hệ số \(a - b + c\) là
\( - 7\);
\( - 5\);
\(7\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi đường thẳng biên của miền nghiệm là \(d:y = mx + n\)
Ta thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (2; 0). Khi thay lần lượt tọa độ các điêm này vào đường thẳng \(d\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 = m.0 + n\\0 = m.2 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{2}\\n = 0\end{array} \right.\).
Khi đó đường thẳng \(d:y = - \frac{3}{2}x + 3\) hay \(d:3x + 2y = 6\)
Lấy điểm \(O(0;\,\,0)\) ta có: \(3.0 + 2.0 = 0 < 6\), mà điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên từ đó ta có bất phương trình cần tìm là: \(3x + 2y \ge 6\).
Suy ra \(a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 6\) nên \(a\,\, - \,\,b\,\, + \,\,c = 3 - 2 + 6 = 7\).
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y < 0\\x \ge 0\\x - y \ge - 1\end{array} \right.\)?
\(\left( {0;\,\,3} \right)\);
\(\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 3\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình \(x - y \ge - 1\) vì \(0 - 3 \ge - 1 \Leftrightarrow - 3 \ge - 1\) là mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( {0;\,\,3} \right)\) không thỏa mãn.
+) Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Do đó cặp \(\left( {1;\,\,1} \right)\) thỏa mãn.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 0\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình \(x \ge 0\) vì \( - 1 \ge 0\) là mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) không thỏa mãn.
+) Thay \(x = - 2\) và \(y = 1\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn hai bất phương trình \(x \ge 0\) và \(x - y \ge 1\) vì \( - 2 \ge 0\) và \( - 2 - 1 \ge 1\) là các mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\) không thỏa mãn.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left( {m - 1} \right)x - 2my \ge 9\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để cặp \(\left( {5;\,\, - 4} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
\(m \ge \frac{{14}}{{13}}\);
\(m \le - \frac{{14}}{3}\);
\(m \ge \frac{4}{{13}}\);
\(m \le - \frac{4}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì cặp \(\left( {5;\,\, - 4} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho nên thay \(x = 5,y = - 4\) vào bất phương trình, ta được:
\(\left( {m - 1} \right).5 - 2m.\left( { - 4} \right) \ge 9\)
\( \Leftrightarrow 5m - 5 + 8m \ge 9\)
\( \Leftrightarrow 13m \ge 14\)
\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{14}}{{13}}\)
Vậy \(m \ge \frac{{14}}{{13}}\) thì cặp \(\left( {5;\,\, - 4} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm là một đa giác không bị gạch chéo như hình vẽ bên dưới:
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 3x - 2y + 1\) với \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho ở trên bằng
\(31\);
\( - 1\);
\(1\);
\(13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền trong tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,\,5} \right),\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {4;\,\,0} \right)\).
Tính giá trị biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các điểm \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\), ta được:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\,\)ta có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1\);
Tại \(A\left( {0;\,\,5} \right)\) ta có \(F\left( {0;\,\,5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9\);
Tại \(B\left( {2;\,\,4} \right)\) ta có \(F\left( {2;\,\,4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1\);
Tại \(C\left( {4;\,\,0} \right)\) ta có \(F\left( {4;\,\,0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) là 13.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by > c\) là:
một đường thẳng có phương trình \(ax + by = c\);
một đường tròn có phương trình \(ax + by = c\);
một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(ax + by = c\);
một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:ax + by = c\) chứa điểm \(M({x_0};\,\,{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} > c\) và kể cả đường thẳng d.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by > c\) là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:ax + by = c\) chứa điểm \(M({x_0};\,\,{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} > c\) và kể cả đường thẳng d.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Nhận xét nào dưới đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là âm vô cực;
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \( - 1\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(\sqrt {x - 3} \) có nghĩa khi \(x - 3 \ge 0\), tức là khi \(x \ge 3\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).
Cho đồ thị hàm số sau:
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó
\(M = 10\);
\(M = 0\);
\(M = + \infty \);
\(M \in \emptyset \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.
Hàm số nào dưới đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{2x}}\);
\(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\);
\(y = \sqrt {x - 9} \);
\(y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Toạ độ đỉnh của hàm số \(y = {x^2} + 2x - 1\) là \(I\left( {m;n} \right)\). Giá trị của \(m + n\) bằng:
\( - 1\);
\(1\);
\(3\);
\( - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số có trục đối xứng là: x=−b2a=−22.1=−1
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Kết luận nào dưới đây là đúng?
\(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì Parabol có bề lõm quay lên trên nên \(a > 0\).
Suy ra đáp án C, D sai.
Xét đáp án A: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 - 1 = - 5\) Vậy đỉnh \(I(2; - 5)\)
Suy ra đáp án A sai.
Xét đáp án B: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1\) Vậy đỉnh \(I(2; - 1)\)
Trục đối xứng \(x = 2\).
Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(A\left( {0;3} \right)\).
Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là ngiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) tức là \(x = 1\) và \(x = 3\).
Suy ra đáp án B đúng.
Giá trị lượng giác nào dưới đây bằng với \[{\rm{cos67}}^\circ \]?
\(\sin 113^\circ \);
\({\rm{cos}}113^\circ \);
\(\sin 23^\circ \);
\({\rm{cos2}}3^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(67^\circ + 113^\circ = 180^\circ \)
Khi đó: \[{\rm{cos67}}^\circ = - {\rm{cos}}113^\circ \]. Do đó A và B sai.
Ta lại có: \(67^\circ + 23^\circ = 90^\circ \)
Khi đó: \[{\rm{cos67}}^\circ = \sin 23^\circ \]. Do đó C đúng và D sai.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2cm,\widehat {ABC} = 60^\circ ,\widehat {BAC} = 75^\circ \) (như hình vẽ)
Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,37\,\,c{m^2}\);
\(0,63\,\,c{m^2}\);
\(2,45\,\,c{m^2}\);
\(1,58\,\,c{m^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\), có: \[\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 75^\circ } \right) = 45^\circ \]
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 75^\circ }} = \frac{2}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ \approx 2,37\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = 0\);
\(P = \frac{1}{4}\);
\(P = - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{2}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha \ne 0\)
Chia cả tử và mẫu của \(\cos \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\].
Gọi \(K\) là chu vi tam giác \(ABC\) có \(a = 8\,\,cm,\,b = 5\,\,cm,\,\,\widehat C = 175^\circ \). Giá trị \(K\) của gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(25\);
\(13\);
\(26\);
\(36\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.{\rm{cos}}\widehat C\)
\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.{\rm{cos175}}^\circ \)
\( \approx 168,7\)
\( \Leftrightarrow c \approx 13\).
Chu vi của tam giác ABC là: \(K \approx 5 + 8 + 13 = 26\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,\,BC = 7,\,\,AC = 8\). Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là
\(\frac{{7\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{{10\sqrt 3 }}{3}\);
\(7\sqrt 3 \);
\(10\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \) (đvdt).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
\(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{5.7.8}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,AC = b,\,AB = c\] và \(\widehat A = 60^\circ \). Khi đó ta có công thức tính độ dài cạnh \(a\) là
\(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc} \);
\(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} + bc} \);
\(a = b - c\);
\(a = c - b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos 60^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\)
Suy ra \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc} \).
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\(\frac{a}{{\sin A}} = R\);
\(\frac{b}{{\sin 2B}} = R\);
\(\frac{c}{{\sin {C^2}}} = 2R\);
\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\), có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Cho tam giác \(ABC\). Tính \(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\).
\(P = 1\);
\(P = - 1\);
\(P = 2\);
\(P = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\)
\( = \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]\)
\( = \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)\)
\( = {\sin ^2}A + {\cos ^2}A\)
\( = 1\).
“Tích của một vectơ với một số là …..”. Điền từ thích hợp vào chỗ trống.
Một vectơ;
Một đoạn thẳng;
Một số;
Một hình tam giác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tích của một vectơ với một số là một vectơ.
Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm \(M\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Giá của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\);
Điểm đầu của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) là \(M\);
Điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là \(B\);
Giá của vectơ \(\overrightarrow {MB} \) là đường thẳng \(AB\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vectơ \(\overrightarrow {MB} \) có điểm đầu là \(M\), điểm cuối là \(B\). Giá là đường thẳng \(AB\) do đường thẳng này đi qua cả điểm \(M\) và điểm \(B\).
Cho hình vuông \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét hình vuông \(ABCD\) có: \(AB{\rm{//}}CD\)
\(\overrightarrow {AB} \) có hướng từ trái sang phải
\(\overrightarrow {DC} \) có hướng từ trái sang phải
Vậy \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành \(ABCD\) ta có:
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác \(ABC\) đều có chu vi là 18 cm. Độ dài vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) là
8 cm;
7 cm;
6 cm;
0 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) đều có chu vi là 18 cm.
\( \Rightarrow AB = AC = BC = \frac{{18}}{3} = 6\) (cm)
Ta có: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = 6\) (cm).
Vậy độ dài của \(\overrightarrow v \) là 6 cm.
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ?\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc hiệu cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có:
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Cho ba điểm phân biệt \(M\), \(N\), \(P\), biết \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NP\);
\(N\) nằm ngoài đoạn thẳng \(MP\);
\(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MP\);
\(M\), \(N\), \(P\) không thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} \) nên ta có \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NP} \) cùng hướng và \(MN = NP\).
Do đó, \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng và \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MP\).
Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm \(M\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AM} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A\), \(B\), \(M\) thẳng hàng và\(AB = 2AM \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} \).
PHẦN II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Lớp 10A2 có \(21\) học sinh đạt học lực giỏi và \(24\) học sinh đạt hạnh kiểm tốt. Trong đó có \(15\) học sinh vừa đạt học lực giỏi và đạt hạnh kiểm tốt, \(11\) học sinh không đạt học lực giỏi và đạt hạnh kiểm tốt. Hỏi lớp 10A2 có bao nhiêu học sinh?
b) Cho hai tập hợp \(A = \left[ {1;8} \right]\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0} \right\}\), với \(m \in \mathbb{R}\). Tìm m để tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).
Hướng dẫn giải
a) Số học sinh của lớp 10A2 là:
\(21 + 24 - 15 + 11 = 41\) (học sinh).
Vậy lớp 10A2 có \(41\) học sinh.
b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ {1;8} \right]\).
Xét phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\)
TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]\).
Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) = - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)
Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có \(\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với \(m = 1\) ta có \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy với \(m = 0\) và \(m = \frac{1}{2}\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).
(0,5 điểm) Cho các địa điểm \(A,B\) và \(C\) (như hình vẽ) biết \(AB = 100\,\,km,\,AC = 150\,\,km,\widehat {ABC} = 110^\circ \). Bạn An muốn đi từ \(A\) đến \(C\) bằng một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Đi tàu thủy từ \(A\) và \(C\) với vận tốc \(30\,\,km/h\).
Cách 2: Đi xe hơi từ \(A\) và \(B\) rồi từ \(B\) đến \(C\) với vận tốc \(50\,\,km/h\).
Hỏi đi cách nào thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn?
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\)
\( = {100^2} + {150^2} - 2.100.150.{\rm{cos110}}^\circ \)
\( \approx 42\,\,760,6\)
\( \Rightarrow AC \approx 206,8\,\,\left( {km} \right)\).
Thời gian đi tàu thủy từ \(A\) đến \(C\) là: \(206,8:30 \approx 7\left( h \right)\).
Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: \(100 + 150 = 250\,\,\,\left( {km} \right)\).
Thời gian đi theo cách 2 là: \(250:50 = 5\left( h \right)\).
Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn.
(1,0 điểm) Một công ty dự kiến chi 500 triệu đồng cho một đợt quảng cáo sản phẩm của mình. Biết rằng chi phí cho một block 1 phút quảng cáo trên đài phát thanh là 10 triệu đồng và chi phí cho một block 10 giây quảng cáo trên đài truyền hình là 25 triệu đồng. Đài phát thanh chỉ nhận các chương trình quảng cáo với ít nhất 5 block, đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo với số block ít nhất là 10. Theo thống kê của công ty, sau 1 block quảng cáo trên đài truyền hình thì số sản phẩm bán ra tăng 4%, sau 1 block quảng cáo trên đài phát thanh thì số sản phẩm bán ra tăng 2%. Để đạt hiệu quả tối đa thì công ty đó cần quảng cáo bao nhiêu block trên đài phát thanh và trên đài truyền hình?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.
Chi phí công ty cần bỏ ra là \(10x + 25y\) (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên \(10x + 25y \le 500\) hay \(2x + 5y \le 100\).
Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có \(x \ge 5;\,y \ge 10\).
Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 0,02x + 0,04y\).
Bài toán trở thành: Xác định \(x,\,\,y\) sao cho \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y \le 100\\x \ge 5\\y \ge 10\end{array} \right.\) (*).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:
Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác \(ABC\) với \(A\left( {5;\,\,18} \right),\,\,B\left( {25;\,\,10} \right),\,\,C\left( {5;\,\,10} \right)\).
Ta có: \(F\left( {5;\,\,18} \right) = 0,02 \cdot 5 + 0,04 \cdot 18 = 0,82\);
\(F\left( {25;\,\,10} \right) = 0,02 \cdot 25 + 0,04 \cdot 10 = 0,9\);
\(F\left( {5;\,\,10} \right) = 0,02 \cdot 5 + 0,04 \cdot 10 = 0,5\).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) bằng 0,9 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {25;\,\,10} \right)\).
Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.
(0,5 điểm)
Cho tam giác \(MOP\) và hai điểm \(A\), \(B\) lần lượt nằm trên hai cạnh \(MO\) và \(OP\) sao cho \(MA = \frac{1}{5}MO\) và \(OB = \frac{3}{4}OP\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {OB} \).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác \(MOP\) có:
\(MA = \frac{1}{5}MO \Rightarrow MO = 5MA \Rightarrow \overrightarrow {MO} = 5\overrightarrow {MA} \)
\(OB = \frac{3}{4}OP \Rightarrow OP = \frac{4}{3}OB \Rightarrow \overrightarrow {OP} = \frac{4}{3}\overrightarrow {OB} \)
Mà \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OP} \Rightarrow \overrightarrow {MP} = 5\overrightarrow {MA} + \frac{4}{3}\overrightarrow {OB} \).
