Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 5
66 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Một bánh xe có \[72\] răng. Số đo góc (tính theo đơn vị radian) mà bánh xe đã quay được khi di chuyển \[10\] răng là
\(\frac{\pi }{6}\);
\[\frac{\pi }{{36}}\];
\(\frac{{5\pi }}{{18}}\);
\(\frac{\pi }{3}\).
Đáp án đúng là: C
72 bánh răng tương ứng với \(2\pi \)
\( \Rightarrow 10\) bánh răng tương ứng với \[\frac{{10}}{{72}}.2\pi = \frac{{5\pi }}{{18}}\].
Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \({\rm{sin}}\alpha ,{\rm{cos}}\alpha \) cùng dấu?
Thứ II;
Thứ IV;
Thứ II hoặc IV;
Thứ I hoặc III.
Đáp án đúng là: D
Nếu \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng dấu thì
• \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng dương Þ điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ I;
• \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng âm Þ điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ III.
Vậy ta chọn phương án D.
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, công thức nào sau đây là sai?
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\];
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\);
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\);
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 1\).
Đáp án đúng là: D
Khi các biểu thức có nghĩa thì \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\). Do đó D là phương án sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác gọi điểm \(M\)là điểm biểu diễn của góc \(\alpha = \frac{\pi }{3}\). Lấy điểm \(N\) đối xứng với \(M\) qua trục \[Oy\]. Khi đó \(N\) là điểm biểu diễn của góc có số đo bằng bao nhiêu?
\( - \frac{\pi }{3}\);
\(\frac{{2\pi }}{3}\);
\(\frac{\pi }{6}\);
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Điểm \[N\] là điểm biểu diễn của góc \(\beta \) trên đường tròn lượng giác, do điểm \(N\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\) nên \[\beta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}\].
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha \) là
\(P = 1\);
\(P = 2\);
\(P = 3\);
\(P = 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha = {\left( {{\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha } \right)^2} - 2{\rm{tan}}\alpha .{\rm{cot}}\alpha = {2^2} - 2.1 = 2\).
Rút gọn biểu thức \(M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) + {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\) ta được
\(M = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b\);
\(M = 1 + 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b\);
\(M = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\);
\(M = 1 + 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức \({\rm{cos}}x{\rm{cos}}y + {\rm{sin}}x{\rm{sin}}y = {\rm{cos}}\left( {x - y} \right)\), ta được
\(\;M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) + {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\)
\(\; = {\rm{cos}}\left[ {a + b - \left( {a - b} \right)} \right] = {\rm{cos}}2b = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) (có tập xác định \(D\)) là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và
\[f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = f\left( {\pi x} \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = - f\left( {\pi x} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) (có tập xác định \(D\)) là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\].
Trong các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\), có bao nhiêu hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \)?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) tuần hoàn chu kì \(2\pi \).
Các hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Vậy có 2 hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng hay đoạn nào dưới đây?
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\);
\(\left[ { - \frac{\pi }{2};0} \right]\);
\(\left( {0;\pi } \right)\);
\(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị nhận thấy hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \sqrt {1 - {\rm{sin}}2x} - \sqrt {1 + {\rm{sin}}2x} \) là
\(D = \emptyset \);
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \left[ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\);
\(D = \left[ {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{13\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \( - 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {\rm{sin}}2x \ge 0}\\{1 - {\rm{sin}}2x \ge 0}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.\).
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x - 4\cos x - 5\) là
\( - 20\);
\( - 8\);
0;
9.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = {\cos ^2}x - 4\cos x - 5 = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9\)
Khi đó \( - 1 \le \cos x \le 1\) \( \Leftrightarrow - 3 \le \cos x - 2 \le - 1 \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2} \le 9\)
Do đó \(y = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9 \ge 1 - 9 = - 8\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 8\).
Phương trình \(\sin x = 0\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm của phương trình \(\cot x = - 1\) là
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cot x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \(\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) có nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]; \[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]; \[x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3};x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\] với \(k \in \mathbb{Z}\).
Có bao nhiêu giá trị \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) thỏa mãn \(3\tan x - \sqrt 3 = 0\)?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(3\tan x - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên \(0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le 3\pi \)
\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{17}}{6}\), mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị của \(x\) thỏa mãn.
Với \[n \in {\mathbb{N}^*}\], cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng tổng quát \[{u_n} = {n^2} - 1\]. Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là
\( - 1;0;3;8;16\);
\[1;4;9;16;25\];
\(0;3;8;15;24\);
\(0;3;6;9;12\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[{u_1} = {1^2} - 1 = 0\]; \[{u_2} = {2^2} - 1 = 3\]; \[{u_3} = {3^2} - 1 = 8\]; \[{u_4} = {4^2} - 1 = 15\]; \[{u_5} = {5^2} - 1 = 24\]; … Suy ra năm số hạng đầu tiên của dãy số là \[0\], \[3\], \[8\], \[15\], \[24\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2^n}.\) Số hạng \({u_{n + 1}}\) là
\[{u_{n + 1}} = {2^n}.2\];
\[{u_{n + 1}} = {2^n} + 1\];
\[{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right)\];
\[{u_{n + 1}} = {2^n} + 2\].
Đáp án đúng là: A
\({u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n}\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới?
\[\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 4 - n\];
\[\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {n^2} - 4n + 5\];
\[\left( {{k_n}} \right):{k_n} = - {n^2} + 3\];
\[\left( {{a_n}} \right):{a_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: B
\[{u_n} = {n^2} - 4n + 5 = {\left( {n - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\].
Vậy đây là dãy số bị chặn dưới.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right),\) có số hạng đầu bằng \({u_1}\) và công sai bằng \(d.\) Công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) là
\({u_n} = {u_1} + nd\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {1 - n} \right)d\).
Đáp án đúng là: B
Công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
\(1;3;6;9;12\);
\(1;4;7;10;14\);
\(1;2;4;8;16\);
\(0;4;8;12;16\).
Đáp án đúng là: D
Dãy số \(0;4;5;12;16\) là cấp số cộng với \({u_1} = 0\) và \(d = 4\).
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số cộng biết \({u_3} + {u_{13}} = 80\). Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
\(570\);
\(600\);
\(630\);
\(800\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_3} + {u_{13}} = 80 \Leftrightarrow ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 12d) = 80\)\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 80\)
Vậy \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}.80 = 600\).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\)?
0;
1;
2;
vô số.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau thì chỉ có duy nhất một mặt phẳng đi qua \(a\) và song song với \(b\).
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) là điểm bất kì trên cạnh \(SB\) (\(N\) không trùng với trung điểm và hai đầu mút). Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB\). Điểm \(I\) không nằm trên mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABC} \right)\);
\(\left( {SAB} \right)\);
\(\left( {AMNB} \right)\);
\(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(I \in MN,MN \subset \left( {SAB} \right),MN \subset \left( {AMNB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right),I \in \left( {AMNB} \right)\)
\(I \in AB,AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(I \in \left( {ABC} \right)\).
Vậy ta chọn phương án D.
Hình chóp có 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt?
7;
8;
9;
10.
Đáp án đúng là: C
Hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\left( {n \ge 3} \right)\) có \(n\) cạnh bên và \(n\) cạnh đáy nên có \(2n\) cạnh.
Khi đó \(2n = 16 \Leftrightarrow n = 8\).
Vậy hình chóp đó có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên có tất cả 9 mặt.
Hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = SB = SC\] được gọi là
Hình chóp tam giác đều;
Hình tứ diện;
Hình chóp tứ giác;
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp \[S.ABC\] gọi là hình chóp tam giác hay hình tứ diện.
Hình chóp tam giác (hình tứ diện) này có \[SA = SB = SC\] chưa đủ dữ kiện để gọi là hình chóp tam giác đều (hình tứ diện đều) do chưa có dữ kiện tất cả các cạnh bằng nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(CD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là
Đường thẳng \(MN\);
Đường thẳng \(AC\);
Đường thẳng \(BG\) (\(G\)là trọng tâm tam giác \(ACD\));
Đường thẳng \(AH\)(\(H\)là trực tâm tam giác \(ACD\)).
Đáp án đúng là: C
![Đáp án đúng là: B Hình chóp \[S.ABC\] g (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/3-1762249032.png)
Ta có \(B \in \left( {ABN} \right)\left( {MBD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\)gọi \(G = MD \cap AN\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}G \in MD \subset \left( {MBD} \right)\\G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)\)
Do đó \(BG = \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).
Cho tứ diện \(SABC\). Gọi \(L,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\) lần lượt là các điểm trên các cạnh \(SA,{\rm{ }}SB\) và \(AC\) sao cho \(LM\) không song song với \(AB\), \(LN\) không song song với \(SC\). Mặt phẳng \(\left( {LMN} \right)\) cắt các cạnh \(AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}SC\) lần lượt tại \(K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
\(K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(M,{\rm{ }}K,{\rm{ }}J\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
• \(M \in SB\) suy \(M\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
• \(I\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
• \(J\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Vậy \(M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\) thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
\(AB\) và \(CD\);
\(AC\) và \[BD\];
\(SB\) và \(CD\);
\(SD\) và \(BD\).
Đáp án đúng là: C
\(AB\,{\rm{//}}\,CD\), \(AC\) cắt \(BD\), \(SB\) và \(CD\) chéo nhau, \(SD\) cắt \(BD\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \(b\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\) Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b?\)
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Do \(a\) và \(b\) phân biệt và đồng phẳng nên chỉ có hai vị trí tương đối có thể xảy ra là \(a\) song song với \(b\) hoặc \(a\) cắt \(b.\)
Khẳng định nào sau đây là sai?
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song vơi đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau;
Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song;
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song;
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Đáp án đúng là: C
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) và \(E\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABD\) và \(ABC\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(GE\) và \(CD\) chéo nhau;
\(GE\,{\rm{//}}\,CD\);
\(GE\) và \(AD\)cắt nhau;
\(GE\) và \(CD\) cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(F\) là trung điểm
Xét tam giác \(FDC\) vì \[\frac{{FE}}{{FC}} = \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{1}{3}\] nên \(EG\,{\rm{//}}\,CD.\)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(a\) song song với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a,d\) trùng nhau;
\(a,d\) chéo nhau;
\(a\) song song \(d\);
\(a,d\) cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\)?
Một mặt phẳng;
Hai mặt phẳng;
Vô số mặt phẳng;
Không có mặt phẳng nào.
Đáp án đúng là: C
Có vô số mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\) (đó là tất cả các mặt phẳng chứa \(a\) nhưng không chứa \(b\)).
Cho các giả thiết sau. Giả thiết nào kết luận đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b \subset \left( \alpha \right)\);
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b\; \cap \;\left( \alpha \right) = \emptyset \);
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b\;{\rm{//}}\;\left( \alpha \right)\);
\(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset \).
Đáp án đúng là: D
Theo định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(SC\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đường thẳng \(IO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\);
Đường thẳng \(IO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\);
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) theo giao tuyến \(OI\);
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt hình chóp \(S.ABCD\) theo một thiết diện là tứ giác.
Đáp án đúng là: D
Trong tam giác \(SAC\) có \(O\) là trung điểm \(AC\), \(I\) là trung điểm \(SC\) nên \[IO\,{\rm{//}}\,SA\]
\( \Rightarrow IO\) song song với hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SAC} \right)\) theo giao tuyến \(IO.\)
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SBC} \right)\) theo giao tuyến \(BI\), cắt \(\left( {SCD} \right)\) theo giao tuyến \(ID\), cắt \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(BD\) \( \Rightarrow \) thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là tam giác \(IBD.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác:
a) \(4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0\);
b) \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;}}\).
a) \(4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 12{\rm{cos}}x + 5 = 0\)
Đặt \(\cos x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành
\(4{t^2} + 12t + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)\\t = - \frac{5}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = - \frac{1}{2}\) ta có cosx=−12 ⇔x=±2π3+k2π k∈ℤ
b) \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)
Xét \({\rm{cos}}x = 0\) suy ra \({\sin ^2}x = 1\), thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được
\(3{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow 3 = 0\) (vô lí).
Khi đó \({\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow 3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{tan}}x - \sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\tan x = - 1}\\{\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AD = 3AM\). Gọi \(G,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB,ABC\). Chứng minh rằng \(MN\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\) và \(NG\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
• Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(\frac{{CN}}{{CI}} = \frac{2}{3}\) (do \(N\) là trọng tâm \(\Delta ABC\))
\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\).
Mà \(IB\,{\rm{//}}\,DC\) nên \(\frac{{DN}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\)
Lại có \(AD = 3AM \Rightarrow \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}\)
Do đó \[\frac{{CN}}{{NI}} = \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}\]\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AB\)
Mà \(AB\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\).
• Tương tự, \(\frac{{SG}}{{GI}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\) \( \Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,SC\)\( \Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
(1,0 điểm)Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\), với \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(x\) là quãng đường tính bằng \[{\rm{cm}}\]. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm \(t\) sao cho \(x = 0\), với \[0 \le t \le 5\]
Ta có \(x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\).
\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\).
\( \Leftrightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( \Leftrightarrow 4\pi t = \frac{{7\pi }}{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( \Leftrightarrow t = \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có 0 ≤ t ≤ 5.
\( \Leftrightarrow 0 \le \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k \le 5\).
\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} \le \frac{1}{4}k \le \frac{{113}}{{24}}\).
\( \Leftrightarrow - \frac{7}{6} \le k \le \frac{{113}}{6}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1;...;17;18} \right\}\), có 20 giá trị \(k\) thỏa mãn.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần.
I. TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Câu nào dưới đây là mệnh đề Toán học?
\(2\) chia hết cho \(3\);
Hôm nay là thứ mấy?
Việt Nam có 63 tỉnh thành;
Đề thi Toán thật khó!.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Câu \(2\) chia hết cho \(3\) là câu khẳng định sai và nói về nội dung Toán học nên đây là một mệnh đề Toán học.
Cho mệnh đề \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân” và mệnh đề \(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\)”. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là
Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân vì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân do đó tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\); ;
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\) khi và chỉ khi tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\)”.
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời là
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) chia hết cho 5;
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) không chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) không chia hết cho 5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời như sau:
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5.
Cho định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lí. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu lại bằng một trong các cách sau:
+ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.
+ “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.
Cho tập hợp \(X = \){\(x \in \mathbb{N}|x\)là ước của \(18\) và \(12\)}. Số tập con khác rỗng của tập \(X\) là
\(4\);
\(15\);
\(16\);
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(18 = {2.3^2},\,\,12 = {2^2}.3\). Khi đó ƯCLN\(\left( {18,12} \right) = 2.3 = 6\).
\( \Rightarrow \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ { - 6;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\).
Ta lại có \(x\) là ước của \(18\) và \(12\) nên \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\).
Số tập con khác rỗng của tập \(X\) là \({2^4} - 1 = 15\).
Cho tập hợp \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\}\). Khoảng nào sau đây là tập con của \(B\) ?
\(\left( { - 1;6} \right)\)
\(\left( {45;69} \right)\);
\(\left( {23;34} \right)\);
\(\left( {1;50} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\} = \left( {5;\,50} \right)\).
Mà \(\left( {23;34} \right) \subset \left( {5;50} \right)\).
Vậy \(\left( {23;34} \right) \subset B\).
Cho các tập hợp sau: \(A\) = {\(x|x\) là hình bình hành}, \(B\) = {\(x|x\) là hình chữ nhật}, \(C\) = {\(x|x\) là hình thoi}, \(D\) = {\(x|x\) là hình vuông}. Mệnh đề nào sau đây sai?
\(B \cap C = D\);
\(C \cap D = D\);
\(B \cup C = D\);
\(B \cap D = D\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Ta có: \(B \cap C = \){\(x|x\) vừa là hình chữ nhật và \(x\) vừa là hình thoi} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(C \cap D = \){\(x|x\) vừa là hình thoi và \(x\) vừa là hình vuông} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(B \cup C = \){\(x|x\) là hình chữ nhật hoặc \(x\) vừa là hình thoi} \( \ne \) \(D\). Do đó C đúng.
+) Ta có: \(B \cap D = D\){\(x|x\) là hình chữ nhật và \(x\) là hình vuông} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó D sai.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\}\). Trong các phần tử sau, phần tử nào thuộc tập hợp \(A\)?
1;
2;
– 1;
0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Do đó, \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\} = \left\{ 1 \right\}\).
Vậy \(1 \in A\).
Cho biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x - 2y + 1\) với \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) có giá trị là
\(\left( {0;\,\,5} \right)\);
\(\left( {0;\,\,0} \right)\);
\(\left( {2;\,\,4} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,5} \right)\), \(B\left( {2;\,\,4} \right)\), \(C\left( {4;\,\,0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các điểm \(O,\,A,\,B,\,C\) là:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\): \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 0 - 2.0 + 1 = 1\);
Tại \(A\left( {0;\,\,5} \right)\): \(F\left( {0;\,\,5} \right) = 0 - 2.5 + 1 = - 9\);
Tại \(B\left( {2;\,\,4} \right)\): \(F\left( {2;\,\,4} \right) = 2 - 2.4 + 1 = - 5\);
Tại \(C\left( {4;\,\,0} \right)\): \(F\left( {4;\,\,0} \right) = 4 - 2.0 + 1 = 5\).
Vậy Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {0;\,\,5} \right)\).
Bất phương trình nào dưới đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - y \ge 8\);
\(3x + 7y < 0\);
\(4x > - 3\);
\(x - y + z < 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình \(x - y + z < 1\) có ba ẩn \(x,\,\,y,\,\,z\) nên nó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Lan muốn đống góp quà trung thu cho các cháu thiếu nhi bằng cách mua \(2\) loại kẹo từ số tiền tiết kiệm \(350\,\,000\)đồng của mình. Biết kẹo hương dâu giá \(32\,\,000\)đồng/ hộp, kẹo hương cam giá \(36\,\,000\)đồng/hộp. Lan đã mua \(x\) hộp kẹo hương dâu và \(y\) hộp kẹo hương cam. Bất phương trình nào sau đây mô tả điều kiện ràng buộc với \(x,y\)?
\(x + y \ge 35\);
\(32x + 36y \ge 350\);
\(32x + 36y \le 350\);
\(36x + 32y \le 350\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số tiền mà Lan bỏ ra để mua \(x\) hộp kẹo hương dâu và \(y\)hộp kẹo hương cam là:
\(32\,\,000x + 36\,\,000y\) (đồng).
Vì số tiền tiết kiệm của Lan chỉ có \(350\,\,000\)đồng nên ta có bất phương trình:
\(32\,\,000x + 36\,\,000y \le 350\,\,000\) hay \(32x + 36\,y \le 350\).
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\) là
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (không kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\)(không kể bờ).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét điểm \(\left( {0;0} \right)\) có \(3 \cdot 0 - 0 = 0 < 1\). Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ).
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\) ?
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left( {10;30} \right)\);
\(\left( { - 5;10} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot 10 = - 45 \le 0\\ - 5 + 10 = 5 < 10\end{array} \right.\).
Vậy cặp số \(\left( { - 5;10} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} > 4\\2x + y < 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2y \le z\\x + y < 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^5} - y > 0\\x + {y^5} < 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho \[\sin x + {\rm{cos}}x = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\]. Tính giá trị của biểu thức \(M = \sin x\,.\,{\rm{cos}}x\).
\(M = \frac{{{m^2} + 1}}{2}\);
\(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\);
\({m^2} - 1\);
\({m^2} + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\sin x + {\rm{cos}}x = m\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^2} = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.{\rm{cos}}x = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin x.{\rm{cos}}x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].
Vậy \(M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Cho góc \(\alpha \) biết \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} = \alpha \). Khi đó, giá trị \(\cos \alpha \) bằng
\(\frac{{AB}}{{AC}}\);
\(\frac{{AB}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{AB}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \alpha = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\sin x + {\rm{cos}}x = 1\);
\(1 + {\sin ^2}x = \frac{1}{{{{\cot }^2}x}}\);
\({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);
\[\tan x = \frac{{{\rm{cos}}\,x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\({\sin ^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1\). Do đó A sai.
\(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\). Do đó B sai.
\({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Do đó C đúng.
\[\tan x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}{{{\rm{cos}}\,x}}\]. Do đó D sai.
Giá trị của biểu thức \(M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ \) bằng
\(M = 1\);
\(M = 2\);
\(M = - 1\);
\(M = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ \)
\( = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ \)
\( = \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ } \right) + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ \)
\( = 1 + 1\)
\( = 2\)
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 8\,\)cm, \(PN = 5\,\)cm, \(MP = 9\)cm. Vậy \(\widehat {MPN} = ?\) (làm tròn đến độ)
\(45^\circ \);
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(48^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí côsin ta có: \(M{N^2} = P{N^2} + M{P^2} - 2PN \cdot MP \cdot \cos \widehat {MPN}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{P{N^2} + M{P^2} - M{N^2}}}{{2PN \cdot MP}} = \frac{{{5^2} + {9^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{7}{{15}}\).
Vì \(0^\circ < \widehat {MPN} < 180^\circ \) nên \(\widehat {MPN} \approx 62^\circ \).
Công thức heron tính diện tích tam giác \(ABC\) là
\(S = pr\);
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \);
\(S = \frac{1}{2}.a.b.\sin C = \frac{1}{2}.b.c.\sin A\);
\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Công thức heron tính diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác.
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(MP = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {MPN} = 45^\circ \). Làm tròn đến độ ta được số đo \(\widehat {MNP}\) bằng
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(64^\circ \);
\(65^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\,\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \sin \widehat {MNP} = \frac{{5 \cdot \sin 45^\circ }}{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{8}\).
Mà \(0^\circ < \widehat {MNP} < 180^\circ \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 62^\circ \).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(F\) là trung điểm cạnh \(AE\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DF\).
\(DF = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\);
\(DF = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\);
\(DF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);
\(DF = \frac{{3a}}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:
\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)
\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)
\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)
Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).
Xét tam giác \(ADF\), có:
\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)
\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)
\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\).
Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm \(I\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {IB} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {BI} \) không cùng phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A\), \(I\), \(B\) cùng thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương.
Và chúng cùng hướng từ trái sang phải.
Do đó, \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) bằng vectơ nào có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành?
\(\overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {CA} \);
Không có vectơ nào.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(AC = BD\) (tính chất hình chư nhật) nhưng \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {DB} \) lại không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \). Do đó \(\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {DB} \).
Vectơ \(\overrightarrow {CA} \) cùng phương cùng độ dài nhưng lại ngược hướng nên \(\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow {AB} \) khác vectơ – không, biết \(A\) và \(B\) nằm trên đường thẳng \(d\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và không có điểm cuối;
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\);
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(B\) và điểm cuối là \(A\);
\(\overrightarrow {AB} \) có giá là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) khác vectơ – không, có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\) và giá là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\)chính là đường thẳng \(d\). Vậy đáp án B đúng.
II. TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1 điểm) Trong một cuộc thi làm bánh, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở, 5 kg kem béo. Để làm một cái bánh cỡ bé cần 0,4 kg bột mì, 0,05 kg bột nở và 0,1 kg kem béo; để làm một cái bánh cỡ trung bình 0,6 kg bột mì, 0,075 kg bột nở và 0,15 kg kem béo. Mỗi cái bánh cỡ bé được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh cỡ lớn được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải làm mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?
Gọi số bánh cỡ bé làm được là \(x\) (cái), số bánh cỡ lớn làm được là \(y\) (cái) (\(x,y \in {\mathbb{N}^*}\))
Khi đó, số điểm thưởng là: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\).
Số kg bột mì cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\) (kg).
Số kg bột nở cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\) (kg).
Số kg kem béo cần dùng là: \(0,1x + 0,15y\) (kg).
Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở và 5 kg kem béo nên ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( {x;y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên).
Hàm số \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)\).
Mà \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {40;0} \right) = 200\), \(F\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right) = \frac{{560}}{3}\).
Suy ra \(F\left( {x;y} \right)\) lớn nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {40;0} \right)\).
Do đó, cần phải làm 40 cái bánh cỡ bé để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.
(1,0 điểm)
a) Kí hiệu \(H\) là tập hợp học sinh lớp 10A1, \(T\) là tập hợp các học sinh nam và \(G\) là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A1. Hãy các định các tập hợp \(T \cup G,\,\,T \cap G\) và \(H\backslash T\).
b) Cho các tập hợp
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0} \right\}\).
Tìm điều kiện của tham số m để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(T \cup G\) là tập hợp số học sinh của lớp 10A1 hay \(T \cup G = H\).
\(T \cap G = \emptyset \).
\(H\backslash T\) là tập hợp học sinh của lớp 10A1 không chứa học sinh nam nên \(H\backslash T = G\).
b) Xét phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) mà \(\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}\).
Khi đó tập hợp \(A\) có \(2\) phần tử vậy để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử thì một phần tử nữa phải lấy từ tập hợp \(B\) và giả sử đó là phần tử \(b\left( {b \ne - 2;b \ne 1} \right)\).
Theo đầu bài ta có: \({\left[ {b + \left( { - 2} \right) + 1} \right]^2} = 9\)
\( \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 9\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 1 = 3\\b - 1 = - 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(b = 4\) là thỏa mãn yêu cầu.
Vì \(b = 4 \in B\) nên ta có \({4^2} - \left( {2m + 1} \right)4 + 2m = 0\)
\( \Leftrightarrow 16 - 8m - 4 + 2m = 0\)
\( \Leftrightarrow 12 - 6m = 0\)
\( \Leftrightarrow m = 2\).
Vậy với \(m = 2\) thì\(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.
(1 điểm) Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) dài 15 km, từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) dài 9 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng \(86^\circ \). Tính khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) (h.57). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Xét tam giác \(ABC\)
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {ABC} = {15^2} + {9^2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos 86^\circ \approx 287,17\)
\( \Rightarrow BC \approx 16,95\) (m)
Vậy khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) là khoảng 16,95 m.
