Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề kéo theo “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] cân” là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo “Tam giác \[ABC\] cân \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” là mệnh đề sai.

Do đó, hai mệnh đề “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” và “Tam giác \[ABC\] cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.

Đáp án đúng là: C

Câu “Số 2 022 có chia hết cho 4 không?” là câu hỏi, không xác định tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án A: Nếu \(a \ge b\) thì \({a^2} \ge {b^2}\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = - 2 \Rightarrow {a^2} = 4\); \(b = - 3 \Rightarrow {b^2} = 9\) ta có \(a > b\) nhưng \({a^2} < {b^2}\).

Đáp án B: Nếu \(a\) chia hết cho \(3\) thì \(a\) chia hết cho \(9\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = 6\) chia hết cho \(3\) nhưng \(6\) không chia hết cho \(9\).

Đáp án C: Nếu tam giác có một góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác đó là tam giác đều là mệnh đề sai ví dụ ta có:

Tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat C = 60^\circ \)nhưng tam giác \(ABC\) không phải là tam giác đều

Đáp án D: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại là mệnh đề đúng (theo bất đẳng thức tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Câu “\[\sqrt 2 \]là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Câu “\[5 + 3 < 7\]” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Câu “\[100\] tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]

Mà \[2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}\] nên \[B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các tập con của tập \(A\) là: \(\left\{ 1 \right\},\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\},\,\,\emptyset \).

Vậy tập không là con của tập \(A\) là: \(\left\{ {12;\,3} \right\}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \[P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}\].

Vậy số phần tử của tập \[P \cup Q\] là \[10\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(A\backslash B = \left\{ {3;\,4} \right\}\) và \(B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\)

Vậy \(\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay \[x = 0\] và \[y = 1\] vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

\[0 + 3.1--2 = 1 \ge 0\] là một mệnh đề đúng.

\[2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0\] là một mệnh đề sai.

Do đó điểm \[M\left( {0;\,1} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Tương tự, thay \[x = - 1\] và \[y = 1\] ta được:

\[ - 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0\]là mệnh đề đúng.

\[2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0\] là mệnh đề đúng.

Điểm \[N\left( { - 1;\,1} \right)\] là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay \[x = 1\] và \[y = 3\] ta được:

\[1 + 3.3--2 = 8 \ge 0\] là mệnh đề đúng.

\[2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0\] là mệnh đề sai.

Điểm \[P\left( {1;\,3} \right)\] không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay \[x = - 1\] và \[y = 0\] ta được:

\[ - 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0\] là mệnh đề sai.

\[2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0\] là mệnh đề đúng.

Điểm \[Q\left( { - 1;\,0} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ \[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5 \Leftrightarrow 2x + 3y > 13\] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ \(x - y(2y + 1) \le - 3 \Leftrightarrow x - 2{y^2} - y \le - 3\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({y^2}\).

+ \(2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2 \Leftrightarrow 4\sqrt y < 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \(\sqrt y \).

+ \(2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - y \le 2\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường thẳng \[d\] có dạng: \[y = ax + b\].

Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[\left( {1;\,0} \right)\] và \[\left( {0;\, - 2} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\0a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right.\]

Vậy \[d\]: \[y = 2x - 2\]hay \[2x--y = 2\]

Lấy điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] thuộc miền nghiệm của bất phương trình cần tìm, thay tọa độ điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] vào biểu thức \[2x--y = 2\] ta được: \[2.0--1 = - 1 < 2\].

Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng \[d\]) là miền nghiệm của bất phương trình\[2x--y \le 2\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\]là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} - y \ge 1\) có chứa \({x^2}\) nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.\] không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn là \(x,\,\,y,\,\,z\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} \ge 0\) có chứa \({x^2}\) và bất phương trình \(x - 3{y^2} + 4 < 0\)có chứa \({y^2}\) đều không là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Đường thẳng \({d_1}\) có dạng: \(y = ax + b\)

 Đường thẳng này đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\1 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x\) hay \(x - 2y = 0\).

Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 - 2.1 = - 2 < 0\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x - 2y < 0\).

+) Đường thẳng \({d_2}\) có dạng: \(y = a'x + b'\)

 Đường thẳng này đi qua \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\, - \frac{2}{3}} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - \frac{2}{3} = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_1}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\) hay \(x + 3y = - 2\).

Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 + 3.1 = 3 > - 2\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x + 3y > - 2\).

Vì vậy ta có hệ bất phương trình là: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+)Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[ - 3x + 2y - 4 > 0\] ta được \[ - 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0\] là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[x + 3y < 0\] ta được \[ - 1 + 3.3 = 8 < 0\] là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[3x - y > 0\] ta được \[3.( - 1) - 3 = - 6 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[2x - y + 4 > 0\] ta được \[2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \[ABC\] có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: \[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\]

+) \(\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\). Do đó A đúng.

+) \(cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)\). Do đó B sai.

Ta lại có: \(0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ \) nên:

+) \[{\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}\] khi \(0^\circ < \widehat A < 90^\circ \);

\[{\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}\] khi \(\widehat A = 90^\circ \);

\[{\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}\] khi \(90^\circ < \widehat A < 180^\circ \). Do đó C sai.

+) \(\sin A > 0\). Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi góc \(\alpha \) thoả mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) ta luôn có

\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);                                       

\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \);

\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);                     

\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).

Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a\left(a^2–c^2\right)=b\left(b^2–c^2\right)$

$\iff a^3–b^3–c^2\left(a–b\right)=0$

$\iff \left(a–b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)–c^2\left(a–b\right)=0$

$\iff \left(a–b\right)\left(a^2+ab+b^2–c^2\right)=0$

Do a ≠ b nên $a^2+ab+b^2–c^2=0\iff a^2+b^2-c^2=-ab$

\[ \Rightarrow cos\widehat {BCA} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = - \frac{{ab}}{{2ab}} = - \frac{1}{2}\]

Do đó: \[\widehat {BCA} = 120^\circ \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) là khẳng định đúng (theo định lí cosin).

Xét đáp án B: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}\) là khẳng định đúng (theo địn lí sin).

Xét đáp án C: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)là khẳng định đúng (theo công thức Heron).

Xét đáp án D: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích tam giác \[ABC\] đều là:

\[S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \]

Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là:

\[p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a\]

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}\]

\[tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\)ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)

Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\)nên có: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}\)

Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61,4m\].

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) là: \(\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF} \).

Vậy có \(6\) vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên \[ABCD\] là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow AC = BD\] hay \[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và \(AB = CD\).

Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

a) \[B = A\backslash C = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\backslash \left[ { - 3;\,8} \right] = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\]

\[ \Rightarrow B = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\].

b) Để \[C \cap D\] ta có 2 trường hợp: \[m - 3 < - 3\] và \[m - 3 \ge - 3\]. Khi đó:

+) TH1: \[m - 3 < - 3 \Leftrightarrow m < 0\].

\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ { - 3;\,8} \right] \Rightarrow AB = 11 \ne 4\] (loại).

+) TH2: \[m - 3 \ge - 3 \Leftrightarrow m \ge 0\]

\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ {m - 3;\,8} \right]\]

Để \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4 thì \[8 - \left( {m - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow m = 7\] (tmđk).

Vậy \[m = 7\]thì \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4.

Ta có: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ \) (tính chất góc ngoài trong tam giác).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(APQ\), ta có: \(\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}\).

Thay số: \(\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}\)\( \Rightarrow AQ \approx 764,93\;{\rm{(m)}}\).

Tam giác \(ABQ\) vuông tại \(B\) nên \(AB = AQ \cdot \sin 48^\circ \)\( \approx 568,46\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.