Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 2
66 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Nếu một góc lượng giác có số đo bằng radian là \(\frac{{5\pi }}{4}\) thì số đo bằng độ của góc lượng giác đó là
\({5^{\rm{o}}}\);
\({15^{\rm{o}}}\);
\({172^{\rm{o}}}\);
\({225^{\rm{o}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{5\pi }}{4}\left( {rad} \right) = \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } \cdot \frac{{5\pi }}{4} = {225^{\rm{o}}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.
Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là \( - 90^\circ \)?
\(\left( {OA,OB} \right)\);
\(\left( {OA,OA'} \right)\);
\(\left( {OA,OB'} \right)\);
\(\left( {OA,OA} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Chiều âm là chiều kim đồng hồ nên ta có số đo góc lượng giác \(\left( {OA,OB'} \right) = - {90^{\rm{o}}}\).
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\( - 1 \le {\rm{sin}}\alpha \le 1; - 1 \le {\rm{cos}}\alpha \le 1\);
\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\left( {{\rm{cos}}\alpha \ne 0} \right)\);
cotα=cosαsinαsinα≠0
\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2\alpha } \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2\alpha } \right) = 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2\alpha } \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2\alpha } \right) = 1\) nên phương án D là sai.
Cho \({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{3}\). Khi đó \({\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng
\( - \frac{2}{3}\);
\( - \frac{1}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[{\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {2\pi - \alpha } \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{3}\].
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{sin}}\alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \({\rm{cos}}\alpha \) là
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{5}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{5}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{{13}}\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\).
Ta có \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{5}{{13}}\].
Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}a.{\rm{cos}}a\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha .{\rm{cos}}\alpha \) ta được
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right) \cdot {\rm{cos}}\left( {1015a} \right)\).
Trong các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\), có bao nhiêu hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: D
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Vậy có 3 hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì
\(\pi \);
\(2\pi \);
\(\frac{1}{2}\pi \);
\(3\pi \).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Cho hàm số \(y = \cos x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng nào?
\(\left( {0;\pi } \right)\);
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\);
\(\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\);
\(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị nhận thấy hàm số \[y = \cos x\]đồng biến trên \(\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\).
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \sqrt {{\rm{sin}}x + 2} \) là
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \left[ { - 2; + \infty } \right)\);
\(D = \left[ {0;2\pi } \right]\);
\(D = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1 \le {\rm{sin}}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le {\rm{sin}}x + 2 \le 3,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của \({\rm{sin}}x + 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Tập giá trị \(T\) của hàm số \[y = 5 - 3\sin x\] là
\(T = \left[ { - 1;1} \right]\);
\(T = \left[ { - 3;3} \right]\);
\(T = \left[ {2;8} \right]\);
\(T = \left[ {5;8} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3\)
\( \Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)
Tất cả nghiệm của phương trình \(\tan x = \tan \frac{\pi }{{11}}\) là
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: B
\(\tan x = \tan \frac{\pi }{{11}}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Nghiệm của phương trình \(\cos \frac{x}{2} = 1\) là
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\cos \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin x - m = 0\) có nghiệm là
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\);
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\);
\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\);
\(m \in \left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \[\sin x - m = 0 \Leftrightarrow \sin x = m\] có nghiệm khi \[\left| m \right| \le 1\], tức \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) là
\(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn \[10\] theo thứ tự tăng dần?
\(0;1;2;3;5;7\);
\(1;2;3;5;7\);
\(2;3;5;7\);
\(1;3;5;7\).
Đáp án đúng là: C
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \[1\] và chỉ có hai ước số là \[1\] và chính nó.
Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn \[10\] là \[2\], \[3\], \[5\], \[7\].
Với \[n \in {\mathbb{N}^*}\], trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\];
\[{u_n} = \frac{3}{n}\];
\[{u_n} = {2^n}\];
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: C
Do \({2^n};n\) là các dãy dương và tăng nên \(\frac{1}{{{2^n}}};\frac{1}{n}\) là các dãy giảm, do đó loại các phương án A, B.
Xét phương án C: \[{u_n} = {2^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n} > 0\]. Do đó dãy số \({u_n} = {2^n}\) là dãy số tăng.
Xét phương án D: \({u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\) có \({u_2} = 4;{u_5} = - 8\) nên \({u_2} > {u_5}\), do đó \({u_n}\) không là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = - {n^2} + n + 1\). Số \( - 19\) là số hạng thứ mấy của dãy?
4;
5;
6;
7.
Đáp án đúng là: B
Giả sử \({u_n} = - 19\), \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Suy ra \( - {n^2} + n + 1 = - 19\)\( \Leftrightarrow - {n^2} + n + 20 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.\).
Vậy số \( - 19\) là số hạng thứ \[5\] của dãy số.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\);
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\);
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\);
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là \( - 4\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} = - 0,1\) và \(d = 0,1\). Số hạng thứ \(7\)của cấp số cộng là
\(0,5\);
\(0,6\);
\(1,6\);
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_7} = {u_1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5\).
Tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng \(1; - 1; - 3;...\) bằng \( - 9800\)?
98;
99;
100;
101.
Đáp án đúng là: C
\[{S_n} = \frac{{n.\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow - 9800 = \frac{{n.\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right)} \right]}}{2}\]
\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 19600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 100\,\,\left( {tm} \right)}\\{n = - 98\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \( - 9800\).
Cho bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên \(AB,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MN\) cắt \(BD\) tại \(I\). Điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng nào sao đây?
\[\left( {BCD} \right)\];
\[\left( {ABD} \right)\];
\[\left( {CMN} \right)\];
\[\left( {ACD} \right)\].
Đáp án đúng là: D
\(I \in BD \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right),\,\left( {ABD} \right)\).
\(I \in MN \Rightarrow I \in \left( {CMN} \right)\).
Vậy điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Cho hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và không đi qua điểm \(A\). Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi \(a,b\) và \(A\)?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: C
Có nhiều nhất 3 mặt phẳng được tạo là \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {A,a} \right)\) và \(\left( {A,b} \right)\).
Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt bên?
4;
5;
6;
7.
Đáp án đúng là: C
Quan sát hình vẽ ta thấy hình chóp lục giác đều có 6 mặt bên.
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
2;
3;
4;
6.
Đáp án đúng là: B
Vì \(4\) điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có \(4\) mặt.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,BC\), điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao điểm của đường thẳng \(MG\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
giao điểm của \(MG\) và \(BC\);
giao điểm của \(MG\) và \(AC\);
giao điểm của \(MG\) và \(AN\);
giao điểm của \(MG\) và \(AB\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy \(MG \subset \left( {ADN} \right)\) và \(\frac{{DM}}{{MA}} \ne \frac{{DG}}{{GN}}\) nên \(MG\,,\,\,AN\) cùng thuộc một mặt phẳng và không song song với nhau.
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MG\) và \(AN\).
Do \(I \in AN \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \)\(I\) là giao điểm của \(MG\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\], có \[ABCD\] là tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song, \[M\] là trung điểm \[SA\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[AB\] và \[CD\], \[K\] là giao điểm của \[AD\] và \[CB\]. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {MCD} \right)\] là
\(MI\);
\(MK\);
\(IK\);
\(SI\).
Đáp án đúng là: A
Trong \[\left( {ABCD} \right)\], \(AB\)cắt \[CD\] tại \(I\)
\[\left\{ \begin{array}{l}I \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 1 \right)\]
Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 2 \right)\].
Từ (1) và (2); suy ra \(MI\) là giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \(\left( {MCD} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Hỏi cạnh \[CD\] chéo với tất cả các cạnh nào của hình chóp?
\[SA;\,AB\];
\[SA;\,SB\];
\[SB;AB\];
\[SB;\,AD\].
Đáp án đúng là: B
![Đáp án đúng là: B Theo hình vẽ ta có \[CD\] chéo với \[SA;\,SB\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/26-1762246773.png)
Theo hình vẽ ta có \[CD\] chéo với \[SA;\,SB\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng đồng phẳng nên không chéo nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[IJ\] song song với \(CD\);
\[IJ\] song song với \(AB\);
\[IJ\] chéo \(CD\);
\[IJ\] cắt \(AB\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \[M,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[BC,\,BD\], ta có \[MN\,{\rm{//}}\,CD\]\[\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta AMN\] có \[\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\]\[ \Rightarrow IJ\,{\rm{//}}\,MN\]\[\left( 2 \right)\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD\).
Đáp án đúng là: A
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right. \Rightarrow d\,{\rm{//}}\,BC\) .
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của \(a\) và \(\left( P \right)\)?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: C
Có \(3\) vị trí tương đối của \(a\) và \(\left( P \right)\), đó là:
\(a\) nằm trong \(\left( P \right)\), \(a\) song song với \(\left( P \right)\) và \(a\) cắt \(\left( P \right)\).
Trong không gian, cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(d'\). Khi đó
\(d\,{\rm{//}}\,d'\);
\(d\) cắt \(d'\);
\(d\) và \(d'\) chéo nhau;
\(d \equiv d'\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d' = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\). Do \(d\) và \(d'\) cùng thuộc \(\left( \beta \right)\) nên \(d\) cắt \(d'\) hoặc \(d\,{\rm{//}}\,d'\).
Nếu \(d\) cắt \(d'\), khi đó \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy \(d\,{\rm{//}}\,d'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\);
\(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\);
\(PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\);
\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(SAB\) có \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\)nên \(PQ\,{\rm{//}}\,AB\) (theo định lý Thalès đảo).
\(\left\{ \begin{array}{l}PQ\,{\rm{//}}\,AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\\PQ \not\subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(ACD.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
\({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\);
Ba đường thẳng \(B{G_1},A{G_2}\) và \(CD\)đồng quy;
\({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\);
\({G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Xét \(\Delta ABM\) ta có: \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB\\{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) D sai.
Vì \({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\) \( \Rightarrow \) A đúng.
Vì \({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) C đúng.
Ba đường \(B{G_1},A{G_2},CD\), đồng quy tại \(M\) \( \Rightarrow \) B đúng.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải các phương trình lượng giác:
a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0\); b) \(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\).
a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) \(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\) (Điều kiện: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\])
\( \Leftrightarrow 3.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x - 3 = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (hai đáy \(AB > CD\)). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB\).
a) Tìm giao điểm \(P\) của \(SC\) và mp\(\left( {ADN} \right)\).
b) Biết \(AN\) cắt \(DP\) tại \(I\). Chứng minh \(SI\,{\rm{//}}\,AB\). Tứ giác \(SABI\) là hình gì?
a) Ta có \(N\) là điểm chung thứ nhất; \(E = BC \cap AD \Rightarrow E\) là điểm chung thứ 2
\( \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADN} \right) = NE\).
Gọi \(P = SC \cap NE\). Khi đó \(P = SC \cap \left( {ADN} \right)\).
b) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Mà \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) (do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SI\), lại có \(M\) là trung điểm của \(SA\)
\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AI\)
Tứ giác \(SABI\) có \(N\) là trung điểm của \(SB,AI\) nên \(SABI\) là hình bình hành.
(1,0 điểm)Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Ta có: \(\left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 3 - 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {2{\rm{sin}}x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x - m - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = \frac{1}{2}}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}}\end{array}} \right.\)
Xét \({\rm{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) nên phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\).
Do đó để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}\) phải có đúng hai nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Xét hàm số \(y = {\rm{cos}}2x\) có bảng biến thiên trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) như sau:
Từ BBT suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{{m + 1}}{2} < 1}\\{\frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le m < 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề sai?
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] cân;
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] cân và có một góc \[60^\circ \];
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] có ba cạnh bằng nhau;
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \] Tam giác \[ABC\] có hai góc bằng \[60^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề kéo theo “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] cân” là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo “Tam giác \[ABC\] cân \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” là mệnh đề sai.
Do đó, hai mệnh đề “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” và “Tam giác \[ABC\] cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
“Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.”;
“Số 100 là một hợp số.”;
“Số 2 022 có chia hết cho 4 không?”;
“Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm.”.
Đáp án đúng là: C
Câu “Số 2 022 có chia hết cho 4 không?” là câu hỏi, không xác định tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(a \ge b\) thì \({a^2} \ge {b^2}\);
Nếu \(a\) chia hết cho \(3\) thì \(a\) chia hết cho \(9\);
Nếu tam giác có một góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác đó là tam giác đều;
Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án A: Nếu \(a \ge b\) thì \({a^2} \ge {b^2}\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = - 2 \Rightarrow {a^2} = 4\); \(b = - 3 \Rightarrow {b^2} = 9\) ta có \(a > b\) nhưng \({a^2} < {b^2}\).
Đáp án B: Nếu \(a\) chia hết cho \(3\) thì \(a\) chia hết cho \(9\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = 6\) chia hết cho \(3\) nhưng \(6\) không chia hết cho \(9\).
Đáp án C: Nếu tam giác có một góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác đó là tam giác đều là mệnh đề sai ví dụ ta có:
Tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat C = 60^\circ \)nhưng tam giác \(ABC\) không phải là tam giác đều
Đáp án D: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại là mệnh đề đúng (theo bất đẳng thức tam giác).
Trong các câu sau câu nào là mệnh đề đúng?
\[\sqrt 2 \] là số vô tỉ;
\[5 + 3 < 7\];
\[100\]tỉ là số nguyên lớn nhất;
Trời hôm nay đẹp quá!.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Câu “\[\sqrt 2 \]là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.
+) Câu “\[5 + 3 < 7\]” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.
+) Câu “\[100\] tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.
Cho tập hợp\[B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4 = 0} \right\}\]. Tập hợp nào sau đây đúng?
\[B = \left\{ {2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 4;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ 2}}} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]
Mà \[2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}\] nên \[B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}\].
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\). Tập nào sau đây không phải tập con của tập \(A\).
\(\left\{ {12;\,3} \right\}\);
\(\emptyset \);
\(\left\{ {1;\,2} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Các tập con của tập \(A\) là: \(\left\{ 1 \right\},\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\},\,\,\emptyset \).
Vậy tập không là con của tập \(A\) là: \(\left\{ {12;\,3} \right\}\).
Cho hai tập hợp \[P = \{ 1;\,3;\,5;\,7;\,9\} \]và \[Q = \{ 0;\,2;\,4;\,5;\,6;\,8\} \]. Số phần tử của tập hợp \[P \cup Q\]là:
\[0\];
\[1\];
\[10\];
\[11\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}\].
Vậy số phần tử của tập \[P \cup Q\] là \[10\].
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\). Tập hợp \(\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right)\) bằng
\(\left\{ {0;\,1;\,5;\,6} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,2} \right\}\);
\(\left\{ {2;\,3;\,4} \right\}\);
\(\emptyset \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A\backslash B = \left\{ {3;\,4} \right\}\) và \(B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\)
Vậy \(\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset \).
Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\]. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\[M\left( {0;\,1} \right)\];
\[N\left( { - 1;\,1} \right)\];
\[P\left( {1;\,3} \right)\];
\[Q\left( { - 1;\,0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \[x = 0\] và \[y = 1\] vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\[0 + 3.1--2 = 1 \ge 0\] là một mệnh đề đúng.
\[2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \[M\left( {0;\,1} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Tương tự, thay \[x = - 1\] và \[y = 1\] ta được:
\[ - 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0\]là mệnh đề đúng.
\[2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[N\left( { - 1;\,1} \right)\] là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = 1\] và \[y = 3\] ta được:
\[1 + 3.3--2 = 8 \ge 0\] là mệnh đề đúng.
\[2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0\] là mệnh đề sai.
Điểm \[P\left( {1;\,3} \right)\] không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = - 1\] và \[y = 0\] ta được:
\[ - 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0\] là mệnh đề sai.
\[2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[Q\left( { - 1;\,0} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5\];
\(x - y(2y + 1) \le - 3\);
\(2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2\);
\(2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+ \[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5 \Leftrightarrow 2x + 3y > 13\] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ \(x - y(2y + 1) \le - 3 \Leftrightarrow x - 2{y^2} - y \le - 3\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({y^2}\).
+ \(2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2 \Leftrightarrow 4\sqrt y < 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \(\sqrt y \).
+ \(2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - y \le 2\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\).
Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (kể cả đường thẳng d)?
\[2x - y \le 2\];
\[2x - 3y \le 0\];
\[2x + y < 2\];
\[2x - y > 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi phương trình đường thẳng \[d\] có dạng: \[y = ax + b\].
Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[\left( {1;\,0} \right)\] và \[\left( {0;\, - 2} \right)\] nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\0a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right.\]
Vậy \[d\]: \[y = 2x - 2\]hay \[2x--y = 2\]
Lấy điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] thuộc miền nghiệm của bất phương trình cần tìm, thay tọa độ điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] vào biểu thức \[2x--y = 2\] ta được: \[2.0--1 = - 1 < 2\].
Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng \[d\]) là miền nghiệm của bất phương trình\[2x--y \le 2\].
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\];
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right.\);
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.\];
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\]là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} - y \ge 1\) có chứa \({x^2}\) nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.\] không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn là \(x,\,\,y,\,\,z\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} \ge 0\) có chứa \({x^2}\) và bất phương trình \(x - 3{y^2} + 4 < 0\)có chứa \({y^2}\) đều không là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phần không gạch trong hình vẽ (không kể biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\];
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < - 2\end{array} \right.\];
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\];
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Đường thẳng \({d_1}\) có dạng: \(y = ax + b\)
Đường thẳng này đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\1 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x\) hay \(x - 2y = 0\).
Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 - 2.1 = - 2 < 0\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x - 2y < 0\).
+) Đường thẳng \({d_2}\) có dạng: \(y = a'x + b'\)
Đường thẳng này đi qua \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\, - \frac{2}{3}} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - \frac{2}{3} = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_1}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\) hay \(x + 3y = - 2\).
Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 + 3.1 = 3 > - 2\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x + 3y > - 2\).
Vì vậy ta có hệ bất phương trình là: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\].
Điểm \[A\left( { - 1;\,3} \right)\] là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
\[ - 3x + 2y - 4 > 0\];
\[x + 3y < 0\];
\[3x - y > 0\];
\[2x - y + 4 > 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+)Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[ - 3x + 2y - 4 > 0\] ta được \[ - 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0\] là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[x + 3y < 0\] ta được \[ - 1 + 3.3 = 8 < 0\] là một mệnh đề sai. Do đó B sai.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[3x - y > 0\] ta được \[3.( - 1) - 3 = - 6 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[2x - y + 4 > 0\] ta được \[2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó D sai.
Trong tam giác \[ABC\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[sinA = sin\left( {B + C} \right)\];
\[cosA = cos\left( {B + C} \right)\];
\[cosA > 0\];
\[sinA \le 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ABC\] có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó: \[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\]
+) \(\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\). Do đó A đúng.
+) \(cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)\). Do đó B sai.
Ta lại có: \(0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ \) nên:
+) \[{\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}\] khi \(0^\circ < \widehat A < 90^\circ \);
\[{\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}\] khi \(\widehat A = 90^\circ \);
\[{\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}\] khi \(90^\circ < \widehat A < 180^\circ \). Do đó C sai.
+) \(\sin A > 0\). Do đó D sai.
Cho \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha \);
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với mọi góc \(\alpha \) thoả mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) ta luôn có
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);
\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \);
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.
Cho tam giác \[ABC\] có các cạnh \[AB = c;{\rm{ }}BC = a;{\rm{ }}AC = b\]. Tính góc \[\widehat {BCA}\] của tam giác \[ABC\] biết \[a \ne b\] và aa2–c2=bb2–c2?
\[\widehat {BCA} = 120^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 60^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 30^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 135^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: aa2–c2=bb2–c2
⇔a3–b3–c2a–b=0
⇔a–ba2+ab+b2–c2a–b=0
⇔a–ba2+ab+b2–c2=0
Do a ≠ b nên a2+ab+b2–c2=0⇔a2+b2−c2=−ab
\[ \Rightarrow cos\widehat {BCA} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = - \frac{{ab}}{{2ab}} = - \frac{1}{2}\]
Do đó: \[\widehat {BCA} = 120^\circ \].
Cho tam giác \(ABC\) với \(p\) là nửa chu vi và \(AB = c;\,BC = a;\,AC = b\). Kết luận nào sau đây sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\);
\(b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}}\);
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) ;
\(S = ab.\sin C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) là khẳng định đúng (theo định lí cosin).
Xét đáp án B: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}\) là khẳng định đúng (theo địn lí sin).
Xét đáp án C: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)là khẳng định đúng (theo công thức Heron).
Xét đáp án D: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) khẳng định D sai.
Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh \[2a\], bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[\frac{a}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{3a}}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{5a}}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{7a}}{{\sqrt 3 }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác \[ABC\] đều là:
\[S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \]
Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là:
\[p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a\]
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].
Cho góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \]. Giá trị của \[\tan \alpha + \cot \alpha \]là:
\[1\];
\[ - 2\]\[;\]
\[0\]\[;\]
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}\]
\[tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].
Giả sử \(CD = h\)là chiều cao của tháp trong đó \(C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng. Ta đo được \(AB = 24m\)\(\widehat {CAD} = 63^\circ \); \(\widehat {CBD} = 48^\circ \). Chiều cao \(h\) của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
\(61,4m\);
\(18,5m\);
\(62,3m\);
\(18m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\)ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)
Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\)nên có: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}\)
Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61,4m\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,\,\,AC = 6\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là
3;
\(\sqrt 3 \);
\(3\sqrt 3 \);
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)
\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3\).
Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
4;
6;
8;
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) là: \(\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF} \).
Vậy có \(6\) vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \).
Hình bình hành \[ABCD\] là một hình chữ nhật nếu nó thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây?
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\];
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\];
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\];
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên \[ABCD\] là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow AC = BD\] hay \[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\].
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
\(AB\parallel CD\) và \(AB = CD\);
\(AB\) trùng \(CD\) và \(AB = CD\);
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và \(AB = CD\);
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng và \(AB = CD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và \(AB = CD\).
Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Cho tập hợp \[C = \left[ { - 3;\,8} \right]\] và \[D = \left[ {m - 3;\,8} \right]\].
a) Cho tập hợp \[A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\] và \[A\backslash C = B\]. Tìm \[B\].
b) Với giá trị nào của m thì \[C \cap D\] là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
Hướng dẫn giải
a) \[B = A\backslash C = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\backslash \left[ { - 3;\,8} \right] = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\]
\[ \Rightarrow B = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\].
b) Để \[C \cap D\] ta có 2 trường hợp: \[m - 3 < - 3\] và \[m - 3 \ge - 3\]. Khi đó:
+) TH1: \[m - 3 < - 3 \Leftrightarrow m < 0\].
\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ { - 3;\,8} \right] \Rightarrow AB = 11 \ne 4\] (loại).
+) TH2: \[m - 3 \ge - 3 \Leftrightarrow m \ge 0\]
\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ {m - 3;\,8} \right]\]
Để \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4 thì \[8 - \left( {m - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow m = 7\] (tmđk).
Vậy \[m = 7\]thì \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
(1,0 điểm) Cửa hàng thời trang Việt Tiến muốn kinh doanh thêm 2 loại áo thun mẫu mới với vốn đầu tư không quá \[72\] triệu đồng. Loài dài tay mua vào \[800.000\] đồng và lãi \[150.000\]một áo, loại ngắn tay mua vào \[600.000\] đồng và lãi \[120.000\]một áo. Cửa hàng ước tính nhu cầu của khách không quá 100 cái cho cả 2 loại. Lập phương án kinh doanh sao cho lãi nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x,{\rm{ }}y\,(x \ge 0,\,y \ge 0,\,x,\,y \in \mathbb{N})\] lần lượt là số áo dài tay và ngắn tay mà cửa hàng nên mua để kinh doanh lãi nhất.
Theo yêu cầu bài toán, ta có hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\8x + 6y \le 720\end{array} \right.\]\[\left( 1 \right)\]
Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[F = 150.000x + 120.000y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left( 1 \right)\]:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác \[OABC\].
Các điểm ở đỉnh tứ giác có tọa độ: \[O\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,100} \right),\,B\left( {60;\,40} \right),\,C\left( {90;\,0} \right)\].
Tại \[O\left( {0;\,0} \right)\]: \[F = 0\]
Tại \[A\left( {0;\,100} \right)\]: \[F = 12.000.000\]
Tại \[B\left( {60;\,40} \right)\]: \[F = 13.800.000\]
Tại \[C\left( {90;\,0} \right)\]: \[F = 13.500.000\]
Vậy cửa hang nên nhập \[60\] cái áo dài tay và \[40\] cái áo ngắn tay để kinh doanh thì có lãi nhất và lãi thu được là \[13.800.000\] đồng.
(1 điểm) Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \[Q\] cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển (hình bên). Từ \(P\) và \(Q,\) người ta nhìn thấy tháp hải đăng \(AB\) dưới các góc \(\widehat {BPA} = 35^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 48^\circ \). Tính chiều cao (làm tròn đến hàng phần trăm) của tháp hải đăng đó.
![Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \[Q\] các (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/11-1763123464.png)
Ta có: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ \) (tính chất góc ngoài trong tam giác).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(APQ\), ta có: \(\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}\).
Thay số: \(\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}\)\( \Rightarrow AQ \approx 764,93\;{\rm{(m)}}\).
Tam giác \(ABQ\) vuông tại \(B\) nên \(AB = AQ \cdot \sin 48^\circ \)\( \approx 568,46\,{\rm{(m)}}\).
Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.
