Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$  theo tỉ số đồng dạng là \[k\].

Do đó $\Delta DEF\backsim \Delta ABC$  theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{k}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\Delta ABC\backsim \Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  nên \[\widehat A = \widehat {A'}\,;\,\,\widehat B = \widehat {B'}\,;\,\,\widehat C = \widehat {C'}\].

Vậy chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét \[\Delta AHB\] và \[\Delta CHA\] có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \]

\[\widehat {BAH} = \widehat C\] (cùng phụ với \[\widehat {CAH}\])

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta CHA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HB}}{{HA}}\] nên \[A{H^2} = HB \cdot HC\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có một chữ số là \[0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,9\] nên hành động chọn ngẫu nhiên một số trong các số trên có 10 kết quả có thể là \[0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,9\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số kết quả có thể là 38.

Chọn ngẫu nhiên một bạn nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Có \[38--17 = 21\] bạn nam nên có 21 kết quả thuận lợi.

Do đó, xác suất cô chọn trúng một bạn nam là \[\frac{{21}}{{38}}\].

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị của hàm số \(y = x + 2\), ta thấy hai điểm \(A\left( {0;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,0} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số, điểm\(C\left( {2;\,\,3} \right)\) không thuộc đồ thị của hàm số.

b) Đối với hàm số \(y = x + 2\), giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị \(x = 2023\) là \(y = 2023 + 2 = 2025 \ne 2024.\)

Do đó, điểm \(D\left( {2023;\,\,2024} \right)\) không thuộc đồ thị của hàm số.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \[132:2 = 66\]\[\left( m \right)\].

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \[x\]\[\left( m \right)\]. Điều kiện \[0 < x < 66\]

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật là \[x\left( {66 - x} \right)\] \[\left( {{m^2}} \right)\]

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 8\] \[\left( m \right)\].

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm là: \[66 - x - 4 = 62 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là: \[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right)\]\[\left( {{m^2}} \right)\]

Theo đề bài, ta có phương trình:

\[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right) = x\left( {66 - x} \right) + 52\]

\[ - {x^2} + 54x + 496 =  - {x^2} + 66x + 52\]

\[66x - 54x = 496 - 52\]

\[12x = 444\]

\(x = 37\) (thỏa mãn)  

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - 37 = 29\] \[\left( m \right)\].

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \[37\,\,m\] và \[29\,\,m\].

Hướng dẫn giải

a) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Cây được chọn ra là cây lương thực” đó là cây ngô; cây sắn.

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Cây được chọn ra là cây công nghiệp” đó là cây chè; cây cao cao; cây cao su; cây cà phê; cây điều; cây củ cải đường.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \[ABC\] có

\(K\) là trung điểm của \(AB\);

\(I\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó \[KI\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Suy ra \(KI = \frac{1}{2}BC\) hay \(25 = \frac{1}{2}BC\) nên \(BC = 25:\frac{1}{2} = 50\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Do đó độ dài \(BC\) bằng \(50\,\,{\rm{m}}\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CBA\] có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\); \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABH\backsim \Delta CBA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH \cdot BC\) (đpcm)

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}}  = 30\,\;{\rm{(cm)}}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác với \[CD\] là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] nên

\(\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}\) hay \(BD = \frac{5}{4}DA\).

Lại có \[BD + DA = BA = 18\]

\(\frac{5}{4}DA + DA = 18\)

\(\frac{9}{4}DA = 18\)

\(DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}\).

c) Ta có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \(\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}\) suy ra \[B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta EBC\] và \[\Delta HBF\] có:

\[\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]; \[\widehat {EBC} = \widehat {HBF}\].

Do đó $\Delta EBC\backsim \Delta HBF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BC = BE \cdot BF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[B{G^2} = BE \cdot BF\] hay \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.\)

• Xét \[\Delta BGE\] và \[\Delta BFG\] có

\[\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]; \[\widehat {EBG} = \widehat {GBF}\].

Do đó $\Delta BGE\backsim \Delta BFG\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$.

Suy ra \(\widehat {BEG} = \widehat {BGF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BGF} = 90^\circ \).

Do đó \[BG \bot FG\] (đpcm).