Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể \[\left( {x > 0} \right)\]

Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là \[\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}\] (bể) 

Mỗi giờ cả ba vòi chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\] (bể) 

Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}\] (bể) 

Sau \[2\] giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}\] (bể) 

Sau \[x\] giờ, lượng nước trong bể là \[x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}\] (bể) 

Theo bài ra ta có phương trình \[\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1\]

\[\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}\]

\[x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}\]

\[x = 10\] (TMĐK)

Hướng dẫn giải

a) Có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5” đó là 5.

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{1}{5}\).

b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1” đó là \[7\,;\,\,13.\]

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{5}\).

Hướng dẫn giải

1. Đổi: \[1,5{\rm{ m}} = 150{\rm{ cm}}.\]

Ta có \(AB \bot BD;\,\,CD \bot BD\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).

Suy ra \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DC}}\) (theo định lí Thalès).

Do đó \(EB = \frac{{AB \cdot ED}}{{DC}} = \frac{{150 \cdot 6}}{4} = 225\,\,{\rm{(cm)}}\).

Vậy người đứng cách vật kính máy ảnh là \[225{\rm{ cm}}.\]

2.

a) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CBF\] có:

\[\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]

\(\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABK\backsim \Delta CBF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta ACF\] có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta ACF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) (đpcm)

c)

• Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(FO = \frac{{BC}}{2}\)            (1)

• Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(EO = \frac{{BC}}{2}\)            (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra \[FO = EO\]     (5)

• Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(EI = \frac{{AH}}{2}\)               (3)

• Xét \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(FI = \frac{{AH}}{2}\)               (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra \[FI = EI\]     (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra được \[OI\] là đường trung trực của cạnh \[EF\].

Khi đó \[OI \bot EF\] hay \[OI \bot DN\].

Do đó \[DN\] là đường cao của \[\Delta DOI\].

Xét \[\Delta DOI\] có \[DN\] và \[IK\] là đường cao và \[N\] là giao của \[DN\] và \[IK\].

Do đó \[N\] là trực tâm của tam giác \[DOI\].

Vậy \[OI \bot DI\] (đpcm).

Hướng dẫn giải

 Ta có \[{y^2}\; = \;x\left( {x\; + \;1} \right)\left( {x\; + \;7} \right)\left( {x\; + \;8} \right)\; = \left( {{x^2} + 8x} \right)\left( {x + 8x + 7} \right)\]

Đặt \[t = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}8x\], ta có: 

\[{y^2}\; = \;t\left( {t + 7} \right) = {t^{2\;}} + 7t\]

\[4{y^2}\; = {t^2} + 28t + 49 - 49\]

\[{\left( {2t + 7} \right)^2}--4{y^2}\; = 49\]

\[\left( {2t + 7--2y} \right)\left( {2t + 7 + 2y} \right) = 49 = 7 \cdot 7 = \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 7} \right)\].

Từ đó ta có bảng sau:

Vậy nghiệm của phương trình là: \[\left( {--8\,;\;\,0} \right),\,\,\left( {0\,;\;\,0} \right)\].