Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \[132:2 = 66\]\[\left( m \right)\].

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \[x\]\[\left( m \right)\]. Điều kiện \[0 < x < 66\]

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật là \[x\left( {66 - x} \right)\] \[\left( {{m^2}} \right)\]

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 8\] \[\left( m \right)\].

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm là: \[66 - x - 4 = 62 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là: \[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right)\]\[\left( {{m^2}} \right)\]

Theo đề bài, ta có phương trình:

\[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right) = x\left( {66 - x} \right) + 52\]

\[ - {x^2} + 54x + 496 =  - {x^2} + 66x + 52\]

\[66x - 54x = 496 - 52\]

\[12x = 444\]

\(x = 37\) (thỏa mãn)  

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - 37 = 29\] \[\left( m \right)\].

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \[37\,\,m\] và \[29\,\,m\].

Hướng dẫn giải

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy được viên bi màu đen" sau 80 lần thử:

\(\frac{{80 - 24}}{{80}} = \frac{7}{{10}} = 0,7\).

b) Ta có xác suất lấy được viên bi trắng là: \(\frac{{24}}{{80}} = 0,3\).

Khi đó, số viên bi trắng có trong hộp là: \[10 \cdot 0,3 = 3\] (viên).

Vậy số viên bi trắng là khoảng 3 viên.

Hướng dẫn giải

1. Ta có: \[\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\] mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[CD{\rm{ // }}BE.\]

Ta có \(AC = AB + BC = 200 + 400 = 600\,\,{\rm{(m)}}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \[\frac{{CD}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\]

Hay \[\frac{{CD}}{{120}} = \frac{{600}}{{200}}\] suy ra \[CD = \frac{{600 \cdot 120}}{{200}} = 360\,\,({\rm{m)}}\].

Vậy khoảng cách từ con tàu đến trạm quan trắc là 360 m.

2.

a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CBA\] có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\); \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABH\backsim \Delta CBA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH \cdot BC\) (đpcm)

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}}  = 30\,\;{\rm{(cm)}}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác với \[CD\] là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] nên

\(\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}\) hay \(BD = \frac{5}{4}DA\).

Lại có \[BD + DA = BA = 18\]

\(\frac{5}{4}DA + DA = 18\)

\(\frac{9}{4}DA = 18\)

\(DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}\).

c) Ta có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \(\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}\) suy ra \[B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)\]

• Xét \[\Delta EBC\] và \[\Delta HBF\] có:

\[\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]; \[\widehat {EBC} = \widehat {HBF}\].

Do đó $\Delta EBC\text{}\backsim \Delta HBF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$.

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BC = BE \cdot BF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[B{G^2} = BE \cdot BF\] hay \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.\)

• Xét \[\Delta BGE\] và \[\Delta BFG\] có

\[\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]; \[\widehat {EBG} = \widehat {GBF}\].

Do đó $\Delta BGE\backsim \Delta BFG\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra \(\widehat {BEG} = \widehat {BGF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BGF} = 90^\circ \).

Do đó \[BG \bot FG\] (đpcm).

Hướng dẫn giải

Ta có \[{x^2}\; + xy - 2y - x - 5 = 0\] nên \[y\left( {x - 2} \right) = - {x^2} + x + 5 & \left( * \right)\]

• Với \(x = 2\) thì \(0 = 3\) (vô lí)

• Với \(x \ne 2\) thì \[y = \frac{{ - {x^2} + x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} = - x - 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\]

Để \(y\) nguyên thì \[3\,\, \vdots \,\,\left( {x - 2} \right)\] nên \[\left( {x - 2} \right) \in \] Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,3} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy phương trình có nghiệm là: \[\left( {x\,,\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {3\,,\,\, - 1} \right)\,\,;\,\,\left( {5\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( {1\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( { - 1\,,\,\, - 1} \right)} \right\}\].