Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (cuốn) là số sách lúc đầu ở thư viện I \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: \[15\,\,000 - x\] (cuốn).

Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: \[x - 3\,\,000\] (cuốn).

Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:

\[\left( {15\,\,000 - x} \right) + 3\,\,000 = 18\,\,000 - x\] (cuốn).

Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:

\[x - 3\,\,000 = 18\,\,000 - x\]

\[x + x = 18\,\,000 + 3\,\,000\]

\[2x = 21\,000\]

\[x = 10\,\,500\] (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải

a) Tập hợp \[K\] gồm các kết quả xảy ra đối với thành viên được chọn là:

K = {Kon Tum; Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Gia Lai; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; Đăk Lăk; Đăk Nông; Lâm Đồng; TP Hồ Chí Minh}.

Số phần tử của tập hợp \[K\] là 11.

b) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Tây Nguyên” đó là Kon Tum; Gia Lai; Đăk Lăk; Đăk Nông; Lâm Đồng.

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{5}{{11}}\).

+) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Đông Nam Bộ” đó là Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; TP Hồ Chí Minh.

Gọi \[MN\] là thanh ngang; \[BC\] là độ rộng giữa hai bên thang.

Thanh ngang \[MN\] nằm chính giữa thang nên \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm \[AB\] và \[AC.\]

Suy ra \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]

Suy ra \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.80 = 40\,\,{\rm{(cm)}}\).

a) Xét \[\Delta FHB\] và \[\Delta EHC\] có:

\[\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\]

\(\widehat {HFB} = \widehat {HEC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta FHB\backsim \Delta EHC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta AFC\] có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta ACF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AF \cdot AB = AE \cdot AC\) (đpcm)

c)

• Xét \[\Delta ABC\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] và cắt nhau tại \[H\] nên suy ra \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AH \bot BC\]. (1)

• Xét \[\Delta BEM\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[BM\] nên \(IE = BI = IM = \frac{{BM}}{2}\).

• Xét \[\Delta IEM\] có \[IE = IM\] (cmt) nên tam giác \[IEM\] cân tại \[I\].

Suy ra \(\widehat {IEM} = \widehat {IME}\).       (2)

• Xét \[\Delta ABC\] có \[FE{\rm{ // }}BC\] suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AMB}\) (hai góc đồng vị). (3)

• Ta có \[AF \cdot AB = AE \cdot AC\] suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).

• Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\,\;\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\]

\[\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

Do đó $\Delta AEF\backsim \Delta ABC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).     (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\).

• Xét \[\Delta CED\] và \[\Delta CBA\] có:

\(\widehat {ECD} = \widehat {BCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

\(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó $\Delta CED\backsim \Delta CBA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) hay \(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\).

• Xét \[\Delta CEB\] và \[\Delta CDA\] có:

\(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {ECB} = \widehat {DCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

Do đó $\Delta CEB\backsim \Delta CDA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {CEB}\) (hai góc tương ứng).

Nên \(\widehat {CDA} = 90^\circ \), do đó \(AD \bot BC\).      (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng (đpcm).

Hướng dẫn giải

 Ta có \(\left( {{x^3} - {x^2}} \right) - 4{x^2} + 8x - 4 = 0\)

\(\left( {{x^3} - {x^2}} \right) - 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\)

\({x^2}\left( {x - 1} \right) - 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 2\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\); \(x = 2\).