Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 01
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2}}} - x + 1\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - x + \frac{3}{2}\);
\(f\left( x \right) = x - 1\);
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x + \frac{3}{2}\) là hàm số bậc hai.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right)\);
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right):{x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0\).
Do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2.\)
Ta lại có \(a = 1 > 0\).
Do đó ta có:
⦁ \(f\left( x \right)\) âm trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\);
⦁ \(f\left( x \right)\) dương trên hai khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\);
⦁ \(f\left( x \right) = 0\) khi \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).
Vì vậy bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) có tập nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\).
Giá trị của \(m\) để \( - {x^2} + mx - 4 \le 0\) với mọi x là
\(m \in \left[ { - 4;4} \right]\);
\(m = - 4\) hoặc \(m = 4\);
\(m < - 4\);
\(m > 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để hàm số bậc hai \( - {x^2} + mx - 4\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta = {m^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| m \right| \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 4\).
Vậy với \(m \in \left[ { - 4;4} \right]\) thì \( - {x^2} + mx - 4 \le 0\) với mọi \(x\).
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2\) là
\(0\);
\(1\);
\(2\);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4\)
Sau khi thu gọn ta được \({x^2} - 4x + 1 = 0\)
Từ đó ta tìm được \(x = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(x = 2 - \sqrt 3 \)
Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {4; - 5} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {3; - 6} \right)\);
\(\left( {5; - 4} \right)\);
\(\left( { - 3;6} \right)\);
\(\left( {4; - 5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1; - 5 - 1} \right) = \left( {3; - 6} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), có \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i \). Tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(7\);
\(1\);
\(0\);
\(\left( {7;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i = 7.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow u \left( {7;0} \right)\). Do đó tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {5; - 1} \right),\,\,B\left( { - 11;2} \right)\) và \(C\left( {3;9} \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) là
\(\left( {9;10} \right)\);
\(\left( {3;\frac{{10}}{3}} \right)\);
\(\left( {\frac{9}{2};5} \right)\);
\(\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{5 + \left( { - 11} \right) + 3}}{3} = - 1\\{y_G} = \frac{{\left( { - 1} \right) + 2 + 9}}{3} = \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {\frac{1}{2};0} \right)\) và \(N\left( {8;9} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) bằng
\(\left( {\frac{{15}}{2};9} \right)\);
\(\frac{{3\sqrt {61} }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt {66} }}{2}\);
\(\frac{{549}}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{15}}{2};9} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2} + {9^2}} = \frac{{3\sqrt {29} }}{2}\).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) là
\(\overrightarrow n \left( {1;\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( {2;\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( { - 2;\,1} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có phương trình đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là : D
Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)\) do đó có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M(4;2)\) và cách điểm \(A(1;0)\) khoảng cách \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Biết rằng phương trình đường thẳng \(d\) có dạng\(x + by + c = 0\) với \(b,c\) là hai số nguyên. Tính \(b + c.\)
\(4\);
\(5\);
\( - 1\);
\( - 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c = - 4 - 2b.\)
\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)
Thay \(c = - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]
Vì \(b\) là số nguyên nên \(b = - 3,c = 2 \Rightarrow b + c = - 1\).
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng. \[{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\] và \[{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\] cắt nhau?
\[m \ne 1\];
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\];
\[m \ne 2\];
\[\left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.\].
Trường hợp 1: \(m = 0\) ta có \({d_1}: - 3x + 2y - 1 = 0;\,{d_2}: - x + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;0} \right)\) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.
Vậy với \(m = 0\) thoả mãn
Trường hợp 2: \(m \ne 0\) thì \({d_1}\) và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;m} \right)\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau thì \(\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0\). Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \((C)\) (biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y + 1 = 0\)) là
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 + 11 = 0\);
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\);
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y + 5\sqrt 2 + 11 = 0\);
\(3x + 4y - 5\sqrt 2 + 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).
Ta có:
\(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k = - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2 - 11\\k = - 5\sqrt 2 - 11\end{array} \right.\).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\).
Hypebol có tỉ số \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) có phương trình chính tắc là
\(\frac{{{y^2}}}{1} - \frac{{{x^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
\(\frac{{{y^2}}}{1} + \frac{{{x^2}}}{4} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là : B
Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)\)
Ta có điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) thuộc Hypebol nên thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào phương trình trên ta được: \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì \(a > 0\)).
Mặt khác ta có \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5 \).
Do đó \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2\).
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Cho tam giác \(ABC\) đều có \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right),\,\,C\left( {2;0} \right)\). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\);
\({\left( {x - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}\);
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{44}}{9}\);
\({x^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác \(ABC\) đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 - 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2\sqrt 3 + 0 + 0}}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} \left( {2; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow GC = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
\({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\);
\(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.
Xét đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\) vô lý.
Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).
Cho Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tiêu cự của Hypebol là
\(2c = 6\);
\(2c = 4\);
\(2c = 41\);
\(2c = 2\sqrt {41} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có \(a = 5;\,\,\,b = 4\)
\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41} \)
Vậy tiêu cự \(2c = 2\sqrt {41} \).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là
\[I\left( { - 2; - 3} \right)\];
\[I\left( {2;3} \right)\];
\[I\left( {4;6} \right)\];
\[I\left( { - 4; - 6} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn là:
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).
Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).
Cho Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
\(\left( E \right)\) có tỉ số \[\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\];
\(\left( E \right)\) có trục lớn bằng \(6\);
\(\left( E \right)\) có trục nhỏ bằng \(4\);
\(\left( E \right)\) có tiêu cự \(\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Suy ra: \(a = 3,b = 2,c = \sqrt 5 \)
Do đó tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) nên đáp án A đúng
Độ dài trục lớp \(2a = 6\)nên đáp án B đúng
Độ dài trục nhỏ \(2b = 4\) nên đáp án C đúng.
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \(2c = 2\sqrt 5 \) đáp án D sai.
Trong một tuần vào dịp nghỉ hè, bạn An dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong \(12\) người bạn của mình. Hỏi bạn An có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?
\(3\,\,991\,\,680\);
\(479\,\,001\,\,600\);
\(35\,\,831\,\,808\);
\(5\,\,040\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo đề, ta có mỗi tuần có \(7\) ngày, mỗi ngày bạn An đi thăm một người bạn (thăm một bạn không quá một lần).
⦁ Có \(12\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ nhất.
⦁ Có \(11\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ hai.
⦁ Có \(10\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ ba.
⦁ Có \(9\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ tư.
⦁ Có \(8\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ năm.
⦁ Có \(7\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ sáu.
⦁ Có \(6\) cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ bảy.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách lập kế hoạch của bạn An là:
\(12.11.10.9.8.7.6 = 3\,\,991\,\,680\).
Vậy ta chọn phương án A.
Từ các chữ số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\] có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn \[100\]?
\[36\];
\[62\];
\[55\];
\[42\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các số bé hơn \[100\] chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập \[A = \left\{ {3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}} \right\}.\] Từ tập \[A\] có thể lập được \[6\] số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng \[\overline {ab} \] với \[\left( {a,b} \right) \in A.\]
Trong đó:
\[a\] có \[6\] cách chọn (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]);
\[b\] có \[6\] cách chọn (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]).
Như vậy, ta có \[6.6 = 36\] số có hai chữ số.
Vậy, từ \[A\] có thể lập được \[36 + 6 = 42\] số tự nhiên bé hơn \[100\].
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là
\(25\);
\(75\);
\(700\);
\(15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn một món chính, có \(5\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có \(5\) cách chọn.
Công đoạn 3: chọn một loại nước uống, có \(3\) cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có tất cả \(5.5.3 = 75\) cách chọn thực đơn.
Vậy ta chọn phương án B.
Một phòng học nhỏ có kê \(12\) bộ bàn ghế đơn. Có \(10\) bạn học sinh tham gia lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho \(10\) bạn học sinh đó?
\(66\);
\(10!\);
\(A_{12}^{10}\);
\(120\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để xếp chỗ ngồi cho \(10\) học sinh vào \(12\) chỗ là chỉnh hợp chập \(10\) của \(12\) và bằng \(A_{12}^{10}\).
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(6\) học sinh theo một hàng dọc?
\(46656\);
\(4320\);
\(720\);
\(360\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xếp \(6\) học sinh thành một hàng dọc là hoán vị của \(6\) và bằng \(6! = 720\) cách.
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên \(5\) học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là?
\(275\);
\(462\);
\(455\);
\(425\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Chọn \(5\) học sinh bất kỳ từ tổ \(11\) học sinh có số cách chọn là: \(C_{11}^5\).
Số cách chọn \(5\) học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: \(C_5^5 + C_6^5\).
Số cách chọn ngẫu nhiên \(5\) học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là \(C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455\).
Giá trị của biểu thức \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4}\) bằng:
\(193\);
\( - 386\);
\(772\);
\(386\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\sqrt 2 + {6.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\)
\( = 81 + 108\sqrt 2 + 108 + 24\sqrt 2 + 4\)
\( = 193 + 132\sqrt 2 \).
Tương tự ta có: \({\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 193 - 132\sqrt 2 \).
Khi đó: \[{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 193 + 132\sqrt 2 + 193 - 132\sqrt 2 = 386\].
Khai triển của nhị thức \[{\left( {3x + 4} \right)^5}\] là
\[{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\];
\[243{x^5} + 405{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\];
\[243{x^5} - 1620{x^4} + 4320{x^3} - 5760{x^2} + 3840x - 1024\];
\[243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) với \[x \ne 0\].
\(216\);
\(284\);
\(278\);
\(254\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta xét khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) ( với \(x \ne 0\)) có số hạng tổng quát là
\({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}\)
\( = \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}\).
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \[216\].
Biến cố không thể được kí hiệu là
\(\Omega \);
\(\emptyset \);
\(\overline A \);
\(P\left( A \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Biến cố không thể được kí hiệu là \(\emptyset \).
Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \[n(\Omega )\] bằng
\(4\);
\(6\);
\(8\);
\(16\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.
Vậy \(n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8\).
Một đội gồm \[5\] nam và \[8\] nữ. Lập một nhóm gồm \(4\)người hát tốp ca. Xác suất để trong \(4\)người được chọn có ít nhất \[3\] nữ là
\[\frac{{70}}{{143}}\];
\[\frac{{73}}{{143}}\];
\[\frac{{56}}{{143}}\];
\[\frac{{87}}{{143}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.
Vậy \(n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8\).
Có \(4\) hành khách bước lên một đoàn tàu gồm \(4\) toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để \(1\) toa có \(3\) người, \(1\) toa có \(1\) người và \(2\) toa còn lại không có ai là
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{3}{{16}}\);
\(\frac{{13}}{{16}}\);
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp \(4\) hành khách lên \(4\) toa tàu.
Vì chọn mỗi hành khách có \(4\) cách chọn toa nên ta có \({4^4}\) cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {4^4}\).
Gọi biến cố \(A\): “\(1\) toa có \(3\) người, \(1\) toa có \(1\) người và \(2\) toa còn lại không có ai”.
Để tìm số phần tử của biến cố \(A\), ta chia thành hai giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Chọn \(3\) hành khách trong số \(4\) hành khách và chọn \(1\) toa trong số \(4\) toa.
Sau đó xếp lên toa đó \(3\) hành khách vừa chọn.
Khi đó ta có \(C_4^3.C_4^1\) cách.
Giai đoạn 2: Chọn \(1\) toa trong số \(3\) toa còn lại và xếp \(1\) hành khách còn lại lên toa đó.
Suy ra có \(C_3^1\) cách. Hiển nhiên khi đó \(2\) toa còn lại sẽ không có hành khách nào.
Theo quy tắc nhân, ta có \(n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}\).
Một tổ học sinh có \[7\] nam và \[3\] nữ. Chọn ngẫu nhiên \(2\) người. Xác suất sao cho \(2\) người được chọn có đúng một người nữ là
\(\frac{1}{{15}}\);
\(\frac{7}{{15}}\);
\(\frac{8}{{15}}\);
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(2\) người được chọn có đúng một người nữ”.
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).
Gieo một con xúc xắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là
\[0,2\];
\[0,3\];
\[0,4\];
\[0,5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu:\(n\left( \Omega \right) = 6\).
Biến cố xuất hiện mặt chẵn: \[A = \left\{ {2;4;6} \right\}\].
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 3\).
Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5\].
Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({\left( {n - 3x} \right)^4}\) là \(108\). Giá trị \(n\) không âm bằng
\[\sqrt 2 \];
\[ - \sqrt 2 \];
\[1\];
\[ - 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {n - 3x} \right)^4} = C_4^0.{n^4} - C_4^1.{n^3}.\left( {3x} \right) + C_4^2.{n^2}.{\left( {3x} \right)^2} + C_4^3.n.{\left( {3x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^4}\)
\( = {n^4} - 12{n^3}x + 54{n^2}{x^2} + 108n{x^3} + 81{x^4}\)
Vì hệ số của \({x^2}\) là \(108\) nên ta có: \(54{n^2} = 108 \Leftrightarrow {n^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \sqrt 2 \\n = - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Vì \(n\) không âm nên \(n = \sqrt 2 \).
II. PHẦN TỰ LUẬN
a) Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có \(2\) vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là \(84\). Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?
b) Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).
Hướng dẫn giải
a) Gọi số vận động viên nam là \(n\) (vận động viên) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n(n - 1)\).
Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(C_2^1.C_n^2.2 = 4n\).
Khi đó ta có \(n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12\) (loại \(n = - 7\)).
Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là \(2.C_{14}^2 = 182\).
b) Ta có khai triển của \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\) là:
\({\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\( = 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}\).
Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển là \( - 10\).
Một lớp học có \(30\) học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được \(2\)nam và \(1\) nữ là \(\frac{{12}}{{29}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh nữ của lớp là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)\).
Suy ra số học sinh nam là \(30 - n\).
Không gian mẫu là chọn bất kì \(3\) học sinh từ \(30\) học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{30}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố Chọn được \(2\) học sinh nam và \(1\) học sinh nữ.
+ Chọn \(2\) nam trong \(30 - n\) nam, có \(C_{30 - n}^2\) cách.
+ Chọn \(1\) nữ trong \(n\) nữ, có \(C_n^1\) cách.
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1\).
Do đó xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}\) .
Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680\)
\( \Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38,82\\n = 14\\n \approx 6,18\end{array} \right.\)
Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14\)
Vậy số học sinh nữ của lớp là \(14\) học sinh.
a) Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\).
b) Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x = 3\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\). Một đường tròn tiếp xúc với \({d_1}\) tại \(A\) và cắt \({d_2}\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Tìm tọa độ điểm \[A\], biết tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(4\) và điểm \(A\) có tung độ nhỏ hơn \(3\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\).
b) Ta có: \(A \in {d_1}\) nên \(A\left( {3;a} \right)\), \(\left( {a < 3} \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) mà \(ABC\) nội tiếp đường tròn nên \(AC\) là đường kính.
Đường thẳng \({d_1}:x = 3\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;0} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {0;1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) nhận \(\left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y = a\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(\left( {x - 3} \right) + \left( {y - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3\).
Điểm \(C\) là giao của đường thẳng \(AC\) và \({d_2}\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = a\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a - 3\\y = a\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {a - 3;a} \right)\).
Điểm \(B\) là giao của đường thẳng \(AB\) và \({d_2}\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - a - 3 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{2}\\y = \frac{a}{2} + 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} - 3; - \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).
\(\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} - 3;\frac{a}{2} - 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{2} - 3 = 2\sqrt 2 \\\frac{a}{2} - 3 = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy tọa độ điểm \(A\left( {3;2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).
