Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 01
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Phương tiện bạn Hà có thể chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:
Hỏi bạn Hà có mấy cách chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt.
\(9\);
\(6\);
\(18\);
\(3\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào sơ đồ cây có \(6\) cách đi từ Lạng Sơn vào Đà Lạt.
Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là
\(n.k\);
\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\);
\(\frac{n}{k}\);
\(\frac{k}{n}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\).
Ta có: \(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\).
Cho \(10\) điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong \(10\) điểm đó?
\(45\);
\(6\);
\(90\);
\(20\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng \(AB\) và đoạn thẳng \(BA\) là giống nhau).
Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.
Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là \(C_{10}^2 = 45\) đoạn thẳng.
Cho biểu thức \({\left( {a + b} \right)^n}\), với \(n = 4\) ta có khai triển là
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = - C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khai triển với \(n = 4\) là:
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\).
Giá trị của biểu thức \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4}\) bằng
\(193\);
\( - 386\);
\(772\);
\(386\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
⦁ \[{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\sqrt 2 + {6.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\].
⦁ \[{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {6.3^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\].
Suy ra \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 2.\left[ {{3^4} + {{6.3}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right]\)
\( = 2.\left( {81 + 6.9.2 + 4} \right) = 386\).
Vậy ta chọn phương án D.
Xác định số gần đúng của \(\overline a = \frac{{712}}{{13}} \approx 54,76923077...\) với độ chính xác \(d = 0,01\) là
\(54,8\);
\(54,769\);
\(55\);
\(54,77\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàng của chữ số khác \(0\) đầu tiên bên trái của \(d = 0,01\) là hàng phần trăm.
Quy tròn số \(\overline a \approx 54,76923077...\)đến hàng phần trăm ta được số gần đúng của \(\overline a \) là \(a = 54,77\).
Cho số gần đúng \(a = 0,1031\) với độ chính xác \(d = 0,002\). Số quy tròn của số \(a\) và ước lượng sai số tương đối của số quy tròn đó là
\(2\% \);
\(1,9\% \);
\(5,1\% \);
\(0,0051\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàng của chữ số khác \(0\) đầu tiên bên trái của \(d = 0,002\) là hàng phần nghìn. Do đó ta quy tròn \(a\) đến hàng phần trăm được \(0,10\).
Suy ra sai số tuyệt đối của số quy tròn \(\Delta \le 0,002\).
Vì số đúng \(\overline a \) thỏa mãn \(0,1031 - 0,002 \le \overline a \le 0,1031 + 0,002 \Leftrightarrow 0,1011 \le \overline a \le 0,1051\).
Do đó sai số tuyệt đối của số \(0,10\) là: \({\Delta _{0,10}} = \left| {\overline a - 0,10} \right| \le 0,0051\)
Vậy sai số tương đối của số \(0,10\) là: \({\delta _{0,10}} \le \frac{{0,0051}}{{0,10}} = 5,1\% \).
Chiều cao của 8 bạn trong tổ 1 của lớp 10A là: \(172\,\,cm;\,\,164\,\,cm;\,\,170\,\,cm;\,\,155\,\,cm;\,\)\(162\,\,cm;\,\,\,168\,\,cm;\,\,\,175\,\,cm;\,\,183\,\,cm\).
Trung vị của dãy số liệu trên là
\(169\,\,cm\);
\(158,5\,\,cm\);
\(168\,\,cm\);
\(170\,\,cm\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
\(155;\,\,162;\,\,164;\,\,168;\,\,170;\,\,172;\,\,175;\,\,183\).
Dãy trên có tất cả 8 giá trị. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ tư và giá trị thứ năm nên ta có: \({Q_2} = \frac{{168 + 170}}{2} = 169\,\,cm\).
Năng suất lúa vụ đông xuân (tạ/ha) năm 2021 của một số địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long được thống kê trong bảng sau:
Tỉnh | Hậu Giang | Phú Yên | Bạc Liêu | An Giang | Kiên Giang |
Năng suất lúa (tạ/ha) | 78,2 | 77,9 | 77,3 | 76,2 | 74,7 |
Năng suất lúa đông xuân trung bình của các địa phương trên là
\(77,3\);
\(76,86\);
\(96,08\);
\(76,2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Năng suất lúa trung bình của các địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long là:
\(\overline x = \frac{{78,2 + 77,9 + 77,3 + 76,2 + 74,7}}{5} = 76,86\) (tạ/ha).
Điểm thi thử môn Toán THPT Quốc Gia của bạn Bảo qua 20 lần thi thử được thống kê trong bảng sau:
9 | 6 | 7 | 8 | 8 | 8,2 | 7 | 7,4 | 7,8 | 6,2 |
7,8 | 8 | 8,8 | 6,2 | 9 | 8,2 | 7,4 | 6 | 8 | 8,2 |
Mốt của dãy số liệu trên là
\(8\);
\(8,2\);
\(7,61\);
\(7,8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng tần số sau:
Điểm | 6 | 6,2 | 7 | 7,4 | 7,8 | 8 | 8,2 | 8,8 | 9 |
Tần số | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 1 | 2 |
Mốt của dãy số liệu là giá trị có tần số lớn nhất nên \({M_0} = 8\).
Cho phương sai của mẫu số liệu bằng 9. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là
9;
3;
81;
18.
Đáp án đúng là: B
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu bằng căn bậc hai của phương sai mẫu số liệu.
Vậy độ lệch chuẩn cần tìm là \(\sqrt 9 = 3\).
Cho mẫu số liệu sau: 165; 162; 187; 164; 170; 183; 175; 176; 175. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
22;
23;
24;
25.
Đáp án đúng là: D
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 187, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 162.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \[R = 187--162 = 25\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở Câu 12 là
15;
4,5;
175;
10,5.
Đáp án đúng là: A
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
162; 164; 165; 170; 175; 175; 176; 183; 187.
Mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 175 hay \({Q_2} = 175\).
Nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) là: 162; 164; 165; 170. Do đó, \({Q_1} = \frac{{164 + 165}}{2} = 164,5\).
Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\)là: 175; 176; 183; 187. Do đó, \({Q_3} = \frac{{183 + 176}}{2} = 179,5\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 179,5 - 164,5 = 15\).
Cho giá trị gần đúng của \(\frac{{23}}{7}\) là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là
0,004;
\(\frac{{0,04}}{7}\);
0,06;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được \(\frac{{23}}{7} = 3,\left( {285714} \right)\).
Sai số tuyệt đối của số gần đúng 3,28 là \({\Delta _a} = \left| {3,28 - 3,\left( {285714} \right)} \right| = \frac{1}{{175}} = \frac{{0,04}}{7}\).
Điểm kiểm tra môn Toán cuối học kì 1 của một nhóm gồm 9 học sinh lớp 10 lần lượt là 5; 6; 8; 9; 8; 7; 6; 9; 7. Giá trị trung vị của dãy số liệu trên là
6;
7;
8;
9.
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9.
Vì mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 7.
Vậy trung vị của mẫu số liệu đã cho là 7.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {4; - 5} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {3; - 6} \right)\);
\(\left( {5; - 4} \right)\);
\(\left( { - 3;6} \right)\);
\(\left( {4; - 5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1; - 5 - 1} \right) = \left( {3; - 6} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), có \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i \). Tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(7\);
\(1\);
\(0\);
\(\left( {7;0} \right)\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i = 7.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow u \left( {7;0} \right)\). Do đó tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {5; - 1} \right),\,\,B\left( { - 11;2} \right)\) và \(C\left( {3;9} \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) là
\(\left( {9;10} \right)\);
\(\left( {3;\frac{{10}}{3}} \right)\);
\(\left( {\frac{9}{2};5} \right)\);
\(\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{5 + \left( { - 11} \right) + 3}}{3} = - 1\\{y_G} = \frac{{\left( { - 1} \right) + 2 + 9}}{3} = \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {\frac{1}{2};0} \right)\) và \(N\left( {8;9} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) bằng
\(\left( {\frac{{15}}{2};9} \right)\);
\(\frac{{3\sqrt {61} }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt {66} }}{2}\);
\(\frac{{549}}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{15}}{2};9} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2} + {9^2}} = \frac{{3\sqrt {29} }}{2}\).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) là
\(\overrightarrow n \left( {1;\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( {2;\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( { - 2;\,1} \right)\);
\(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có phương trình đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là : D
Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)\) do đó có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M(4;2)\) và cách điểm \(A(1;0)\) khoảng cách \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Biết rằng phương trình đường thẳng \(d\) có dạng\(x + by + c = 0\) với \(b,c\) là hai số nguyên. Tính \(b + c.\)
\(4\);
\(5\);
\( - 1\);
\( - 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c = - 4 - 2b.\)
\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)
Thay \(c = - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]
Vì \(b\) là số nguyên nên \(b = - 3,c = 2 \Rightarrow b + c = - 1\).
Cho điểm \(M\) có hoành độ nhỏ hơn \( - 3\) nằm trên \(\Delta :x + y - 1 = 0\) và cách \(N\left( { - 3;4} \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt 2 \). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là
\(M\left( { - 2;3} \right)\);
\(M\left( { - 4;5} \right)\);
Cả A và B đều đúng;
Không tồn tại điểm \(M\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\). Lấy điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\Delta \), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\x = 1 - t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;1 - t} \right)\,\,\left( {t < - 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \left( { - 3 - t;t + 3} \right) \Rightarrow MN = \sqrt 2 \left| {t + 3} \right|\)
Mà \(MN = \sqrt 2 \) nên \(\sqrt 2 \left| {t + 3} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {t + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 3 = 1\\t + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 4\end{array} \right.\).
Do đó \(t = - 4\) thỏa mãn vậy \(M\left( { - 4;5} \right)\).
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng. \[{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\] và \[{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\] cắt nhau?
\[m \ne 1\];
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\];
\[m \ne 2\];
\[\left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.\].
Trường hợp 1: \(m = 0\) ta có \({d_1}: - 3x + 2y - 1 = 0;\,{d_2}: - x + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;0} \right)\) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.
Vậy với \(m = 0\) thoả mãn
Trường hợp 2: \(m \ne 0\) thì \({d_1}\) và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;m} \right)\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau thì \(\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0\). Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \((C)\) (biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y + 1 = 0\)) là
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 + 11 = 0\);
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\);
\(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y + 5\sqrt 2 + 11 = 0\);
\(3x + 4y - 5\sqrt 2 + 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).
Ta có:
\(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k = - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2 - 11\\k = - 5\sqrt 2 - 11\end{array} \right.\).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) đều có \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right),\,\,C\left( {2;0} \right)\). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\);
\({\left( {x - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}\);
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{44}}{9}\);
\({x^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác \(ABC\) đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 - 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2\sqrt 3 + 0 + 0}}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} \left( {2; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow GC = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\({x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\).
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 2\sqrt 3 y + \sqrt 5 = 0\) và \({\Delta _2}:y - \sqrt 6 = 0\) là:
\(60^\circ \);
\(125^\circ \);
\(145^\circ \);
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\,\,{\vec n_2} = \left( {0;1} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.
Vậy ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
\({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\);
\(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.
Xét đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\) vô lý.
Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).
Cho Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tiêu cự của Hypebol là
\(2c = 6\);
\(2c = 4\);
\(2c = 41\);
\(2c = 2\sqrt {41} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có \(a = 5;\,\,\,b = 4\)
\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41} \)
Vậy tiêu cự \(2c = 2\sqrt {41} \).
Hypebol có tỉ số \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) có phương trình chính tắc là
\(\frac{{{y^2}}}{1} - \frac{{{x^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
\(\frac{{{y^2}}}{1} + \frac{{{x^2}}}{4} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là : B
Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)\)
Ta có điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) thuộc Hypebol nên thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào phương trình trên ta được: \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì \(a > 0\)).
Mặt khác ta có \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5 \).
Do đó \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2\).
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Cho Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
\(\left( E \right)\) có tỉ số \[\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\];
\(\left( E \right)\) có trục lớn bằng \(6\);
\(\left( E \right)\) có trục nhỏ bằng \(4\);
\(\left( E \right)\) có tiêu cự \(\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Suy ra: \(a = 3,b = 2,c = \sqrt 5 \)
Do đó tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) nên đáp án A đúng
Độ dài trục lớp \(2a = 6\)nên đáp án B đúng
Độ dài trục nhỏ \(2b = 4\) nên đáp án C đúng.
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \(2c = 2\sqrt 5 \) đáp án D sai.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\). Biết \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0.\) Xác định vị trí tương đối giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
Do đó \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc.
Phép thử là
một thí nghiệm hay một hành động biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;
tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử;
một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;
một cách sắp xếp \(k\) phần tử nào đó vào \(n\) vị trí.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử.
Có \(4\) hành khách bước lên một đoàn tàu gồm \(4\) toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để \(1\) toa có \(3\) người, \(1\) toa có \(1\) người và \(2\) toa còn lại không có ai là
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{3}{{16}}\);
\(\frac{{13}}{{16}}\);
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp \(4\) hành khách lên \(4\) toa tàu.
Vì chọn mỗi hành khách có \(4\) cách chọn toa nên ta có \({4^4}\) cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {4^4}\).
Gọi biến cố \(A\): “\(1\) toa có \(3\) người, \(1\) toa có \(1\) người và \(2\) toa còn lại không có ai”.
Để tìm số phần tử của biến cố \(A\), ta chia thành hai giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Chọn \(3\) hành khách trong số \(4\) hành khách và chọn \(1\) toa trong số \(4\) toa.
Sau đó xếp lên toa đó \(3\) hành khách vừa chọn.
Khi đó ta có \(C_4^3.C_4^1\) cách.
Giai đoạn 2: Chọn \(1\) toa trong số \(3\) toa còn lại và xếp \(1\) hành khách còn lại lên toa đó.
Suy ra có \(C_3^1\) cách. Hiển nhiên khi đó \(2\) toa còn lại sẽ không có hành khách nào.
Theo quy tắc nhân, ta có \(n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}\).
Một tổ học sinh có \[7\] nam và \[3\] nữ. Chọn ngẫu nhiên \(2\) người. Xác suất sao cho \(2\) người được chọn có đúng một người nữ là
\(\frac{1}{{15}}\);
\(\frac{7}{{15}}\);
\(\frac{8}{{15}}\);
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(2\) người được chọn có đúng một người nữ”.
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Một lớp học có \(30\) học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được \(2\)nam và \(1\) nữ là \(\frac{{12}}{{29}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh nữ của lớp là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)\).
Suy ra số học sinh nam là \(30 - n\).
Không gian mẫu là chọn bất kì \(3\) học sinh từ \(30\) học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{30}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố Chọn được \(2\) học sinh nam và \(1\) học sinh nữ.
+ Chọn \(2\) nam trong \(30 - n\) nam, có \(C_{30 - n}^2\) cách.
+ Chọn \(1\) nữ trong \(n\) nữ, có \(C_n^1\) cách.
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1\).
Do đó xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}\) .
Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680\)
\( \Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38,82\\n = 14\\n \approx 6,18\end{array} \right.\)
Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14\)
Vậy số học sinh nữ của lớp là \(14\) học sinh.
a) Kết quả \(5\) lần nhảy xa (đơn vị: mét) của bạn Mạnh và bạn Duy cho ở bảng sau:
Mạnh | 2,1 | 2,5 | 2,4 | 2,2 | 2,3 |
Duy | 2,0 | 2,8 | 2,6 | 2,2 | 1,9 |
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.
b) Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).
Hướng dẫn giải
a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{2,1 + 2,5 + 2,4 + 2,2 + 2,3}}{5} = 2,3\)
Kết quả trung bình của bạn Duy là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{2,0 + 2,8 + 2,6 + 2,2 + 1,9}}{5} = 2,3\).
Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.
Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:
\(S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2,1 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,4 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,2 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,3 - 2,3} \right)}^2}}}{5} = 0,02\).
Suy ra độ lệch chuẩn
\({s_{{x_1}}} = \sqrt {S_{{x_1}}^2} = \sqrt {0,02} \approx 0,14\).
Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:
\(S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2,0 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,8 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,6 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {2,2 - 2,3} \right)}^2} + {{\left( {1,9 - 2,3} \right)}^2}}}{5} = 0,12\)
Suy ra độ lệch chuẩn
\({s_{{x_2}}} = \sqrt {S_{{x_2}}^2} = \sqrt {0,12} \approx 0,35\).
Vì \(0,35 > 0,14\) nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.
b) Ta có khai triển của \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\) là:
\({\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\( = 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}\).
Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển là \( - 10\).
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {73} \).
Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).
Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).
b)
Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).
Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).
Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).
\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).
Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).
Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).
