Gọi lần lượt là khối lượng táo, xoài mà bác Nam mua ( đơn vị: kg).

Theo bài, bác Nam mua một thùng trái cây nặng kg gồm hai loại là táo và xoài nên ta có phương trình: (1)

Số tiền bác Nam dùng để mua táo là: (nghìn đồng).

Số tiền bác Nam dùng để mua xoài là: (nghìn đồng).

Theo bài, giá tiền của thùng trái cây là đồng (hay nghìn đồng) nên ta có phương trình: nên (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta có: , thế vào phương trình (2), ta được:

  (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , ta được: (thỏa mãn).

Vậy bác Nam đã mua 11 kg táo và 7 kg xoài.

Gọi là số giờ Laurent David làm việc

Số tiền Laurent David kiếm được là:

Theo bài, Laurent David muốn kiếm được ít nhất trong mùa hè nên ta có bất phương trình:

.

Vậy bất phương trình cần tìm là .

Giải bất phương trình , ta được:

.

Do đó, Laurent David cần làm việc tối thiểu giờ để kiếm được ít nhất trong mùa hè này.

Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông tại , có:

Do người đó có tầm mắt nên chiều cao của tòa nhà là:

.

Vậy tòa nhà cao khoảng .

Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở đến chân tòa nhà là độ dài đoạn .

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Suy ra

Khoảng cách của hai xe phế thải là

Vậy hai xe phế thải cách nhau khoảng .

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (1)

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

⦁ Chứng minh tam giác là tam giác cân 

Theo câu b, suy ra .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c), suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có: nên tam giác cân ở , suy ra .

Mà suy ra nên .

Xét cân ở (do ) có là đường cao nên cũng là đường trung trực của . Suy ra nên cân ở .

⦁ Xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất

Chứng minh tương tự câu c, ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại  

Ta có: suy ra , do đó tứ giác là hình thang.

Lại có nên hình thang là hình thang vuông.

Ta có chu vi là

(do

.

Lại có và

Do đó , suy ra

Hay .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mà (chứng minh ở câu c) nên

Lại có là đường kính của đường tròn và điểm nằm trên đường tròn nên lúc này điểm trùng điểm tức là tại tâm . Như vậy, điều này xảy ra khi và chỉ khi nằm chính giữa cung .

Vậy chu vi đạt giá trị lớn nhất là khi nằm chính giữa cung .

Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m), suy ra độ dài đoạn

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

và .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông tại , có:

Suy ra

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên .

Suy ra, chu vi là: .

Để chu vi của tứ giác nhỏ nhất thì nhỏ nhất.

Với mọi ta có:

.

Do đó, chu vi của tứ giác nhỏ nhất bằng khi hay

Vậy khoảng cách từ đến bằng thì tứ giác có chu vi nhỏ nhất.