Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được:

Vậy khi .

Với , ta có:

Với để nhận giá trị nguyên thì là nhận giá trị nguyên hay .

Do đó, là ước của

Mà nên hay (thỏa mãn).

Vậy thì nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định: .

Ta có:

Suy ra (loại) hoặc (TM).

Vậy là nghiệm của phương trình.

 (luôn đúng).

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm.

Gọi (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể;

(giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể  ().

Đổi: 1 giờ 20 phút = giờ, 12 phút = giờ, 10 phút = giờ.

Theo đề, hai vòi cùng chảy thì sau giờ sẽ đầy bể.

Do đó, trong một giờ, hai vòi cùng chảy được số phần bể là: (bể).

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được (bể), vòi thứ hai chảy được (bể).

Ta có phương trình:

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình

Từ và  ta có hệ phương trình .

Từ phương trình thứ nhất, ta có: , thế vào phương trình thứ hai, ta được:

(TMĐK).

Thay vào hệ phương trình thứ nhất, được suy ra (TMĐK).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ.

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Do nên  

Hay .

Suy ra (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng (m).

Xét đường tròn , ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có nên

Suy ra .

Lại có:  (vì cân tại do  suy ra (1)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra . (3)

Mặt khác,  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và

Suy ra là đường trung trực của mà , suy ra .

Do đó cân tại nên . (4)

Từ (3) và (4) suy ra nên là tia phân giác của góc trong tam giác .

Vậy là phân giác của

 Theo câu a,  (g.g), suy ra .

Suy ra .

Do đó, hay

Xét vuông tại , có:

Suy ra

Xét vuông tại , có:

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính và cung nhỏ là:

.

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính và cung nhỏ là 

Xét và có:

và  

(dễ dàng chứng minh được từ dữ kiện .

Do đó (g.g).

Suy ra hay , do đó và .

Diện tích hình vuông là:

Diện tích tam giác là:

Diện tích hình thang là:

(do và ).

Để nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay , tức là Lúc này,

Khi đó, đạt giá trị nhỏ nhất là

Vậy điểm và sao cho , thì diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất.