Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

– Xét biểu thức \(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(x + \sqrt x \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,x - \sqrt x \ne 0.\)

Với mọi \(x \ge 0,\) ta có:

⦁ \(x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\).

Lại có \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.\)

Do đó \(x - 1 \ne 0\) khi \(\sqrt x - 1 \ne 0,\) hay \(\sqrt x \ne 1,\) tức là \(x \ne 1.\)

⦁ \(x + \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\)

Lại có \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.\)

Do đó \(x + \sqrt x \ne 0\) khi \(\sqrt x \ne 0\) hay \(x \ne 0\).

⦁ \(x - \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

Do đó \(x - \sqrt x \ne 0\) khi \(\sqrt x \ne 0\) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 0\) và \(x \ne 1.\)

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x > 0,x \ne 1.\)

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\) là \(x \ge 0,x \ne 1\) và điều kiện xác định của biểu thức \(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\) là \(x > 0,x \ne 1.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \left( {\frac{1}{9} + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{10}}{9}}}{{2\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{27}}}}{{ - \frac{4}{3}}} = - \frac{5}{{18}}.\)

Vậy \(A = - \frac{5}{{18}}\) khi \(x = \frac{1}{9}\).

c) Với \(x > 0,x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

 \( = \frac{{\sqrt x - 1 + 2x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x }}\).

d) Với \(x > 1,\) ta có:

\(P = A.B = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\).

Xét \(P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2\) với \(x > 1.\)

Do \(x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \(\sqrt x  - 1\,;\,\,\frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\,;\,\,2\) không âm, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}} \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)

Suy ra \(P \ge 2\sqrt 2 + 2\) với \(x > 1\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\) .

Giải phương trình:

\(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

\({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2\)

\(\sqrt x - 1 = \sqrt 2 \) (do \(\sqrt x - 1 > 0)\)

\(\sqrt x = \sqrt 2 + 1\)

\(x = 3 + 2\sqrt 2 \) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 2\sqrt 2 + 2\) khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

Điều kiện xác định: .

Ta có:

hoặc

(loại) hoặc (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là .

                                            .

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Gọi là số sản phẩm đội phải làm theo kế hoạch (, đơn vị: sản phẩm) và là số ngày đội đó làm theo kế hoạch (, đơn vị: ngày).

Theo kế hoạch, số sản phẩm phải làm là: (1).

Thực tế, mỗi ngày đội làm được 60 sản phẩm và hoàn thành trước 2 ngày đồng thời làm thêm được 24 sản phẩm.

Do đó, dựa vào số sản phẩm thực tế, ta có phương trình: hay (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .

Thay vào phương trình (2), ta được:

, suy ra  nên (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , được (thỏa mãn).

Vậy số sản phẩm đội đó phải làm theo kế hoạch là sản phẩm.

Gọi  (quả) là số quả bóng được ném vào rổ (,

Số quả bóng ném ra ngoài là: (quả).

Số điểm nhận được khi ném được quả bóng vào rổ là: (điểm).

Số điểm bị trừ khi ném quả ra ngoài là: (điểm).

Tổng số điểm đạt được sau khi ném quả bóng là: (điểm).

Theo bài, nếu đạt 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển nên ta có bất phương trình:

.

Giải bất phương trình lập được ở câu a:

  .

Mà và cần tìm giá trị nhỏ nhất nên

Vậy muốn được chọn vào đội tuyển thì bạn học sinh phải ném được ít nhất 10 quả bóng vào rổ.

Ta có: suy ra (so le trong).

Xét vuông tại ta có:

Ta có

Theo câu a, ta có:

⦁  nên

⦁  nên

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng và cách mắt người quan sát khoảng

Xét đường tròn  đường kính  có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét đường tròn  đường kính  có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g). 

Suy ra hay (1)

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn là (

, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn chính là chu vi hình vuông đó và bằng (m).

Do đó, độ dài đoạn là (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn là (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là:

Ta có: .

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi hay

Khi đó, độ dài đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng hay là trung điểm của đoạn .

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau