Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
38 câu hỏi
\[\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \].
\[sin\left( {\pi + \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha \].
\[\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \alpha \].
\[tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \cot \left( {2\alpha } \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có
+) \[\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \] (phụ nhau) nên đáp án A đúng.
+) \[sin\left( {\pi + \alpha } \right) = - {\rm{sin}}\alpha \] (hơn kém \(\pi \)) nên đáp án B sai.
+) \[\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)} \right] = \sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \] nên đáp án C sai.
+) \[tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan \left( {2\alpha } \right)\] nên đáp án D sai.
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\);
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] xác định khi:
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \).
Vậy tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[y = \tan x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \cos x\].
\[y = \cot x\].
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \pm \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Đáp án đúng là: A
Công thức nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) là \[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \pm \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là \[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[ - 1\], \[0\], \[3\], \[8\], \[16\].
\[1\], \[4\], \[16\], \[9\], \[25\].
\[0\], \[3\], \[8\], \[24\], \[15\].
\[0\], \[3\], \[12\], \[9\], \[6\].
Đáp án đúng là: A
Dãy số \[ - 1\], \[0\], \[3\], \[8\], \[16\] là dãy số tăng vì \[ - 1\] < \[0\] < \[3\] < \[8\] < \[16\].
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15;...\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12;...\).
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8;...\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9;...\).
Đáp án đúng là: A
Ta lần lượt kiểm tra : \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?\)
Xét đáp án: \(1; - 3; - 7; - 11; - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \Rightarrow \) chọn.
Xét đáp án: \(1; - 3; - 6; - 9; - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
Xét đáp án: \(1; - 2; - 4; - 6; - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
Xét đáp án: \(1; - 3; - 5; - 7; - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.
\(q = 3.\)
\(q = - 3.\)
\(q = \frac{1}{3}.\)
\(q = 2.\)
Đáp án đúng là: A
Công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.\)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 38 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
42.
40.
12.
66.
Đáp án đúng là: A
Số nhân viên đi làm chỉ mất thời gian dưới 30 phút là
5 + 15 + 10 + 12 = 42 (nhân viên).
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất thừa nhận, ta có: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, do đó khẳng định ở đáp án A là đúng.
Các đáp án còn lại là sai:
+) Đáp án B: Qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này.
+) Đáp án C: Qua 2 điểm phân biệt, có vô số mặt phẳng đi qua điểm này.
+) Đáp án D: Tồn tại một 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Hình nào sau đây là một hình chóp tứ giác?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.
Có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Có đúng hai mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Có vô số mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Không tồn tại mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Khi đó, có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right).\)
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \beta \right).\)
Nếu hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt thì \(\left( a \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Nếu đường thẳng \(d\) song song với \({\rm{mp}}\left( \alpha \right)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong \({\rm{mp}}\left( \alpha \right).\)
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta nhận thấy đáp án A đúng.
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.
1.
2.
0.
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có, theo hệ quả \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{n}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{k}{n}} \right) = 0,\forall k \in \mathbb{R}\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n}} \right) = 0\).
\(8\).
\(2\).
\(6\).
\(16\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 4f\left( x \right) = 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4 \cdot 2 = 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right).\)
\(f\left( {{x_0}} \right)\)không tồn tại.
Đáp án đúng là: A
Với hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
\[x = 1.\]
\[y = 1.\]
\[x = 2.\]
\[y = 3.\]
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số \[y = f\left( x \right)\] gián đoạn tại điểm \[x = 1.\]
\(\cos \alpha = \frac{1}{{13}}\).
\(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{{13}}\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\).
Ta có \[{\sin ^2}\alpha \, + \,\,{\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}\].
\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{{3\pi }}{2} - \cos \alpha \sin \frac{{3\pi }}{2}\)
\( = \sin \alpha \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\).
\[{u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \].
\[{u_n} = n + \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = {2^n} + 1\].
\[{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\].
Đáp án đúng là: D
Các dãy số \[{n^2};\,\,\,n;\,\,\,{2^n}\] dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi \[n\] tăng lên vô hạn, nên các dãy \[\sqrt {{n^2} + 1} \];\[n + \frac{1}{n}\]; \[{2^n} + 1\] cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.
Ta có: \[0 < {u_n} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\].
Vậy dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\] là dãy số bị chặn.
\(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
16.
20.
22.
24.
Đáp án đúng là: A
Ta có
\[{u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2 \cdot 1 = 3.\]
\[{u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2 \cdot 1 = 5.\]
\[{u_5} = {u_4} + 2{u_3} = 5 + 2 \cdot 3 = 11.\]
Vậy \[{u_4} + {u_5} = 5 + 11 = 16.\]
\(25.\)
\(15.\)
\(12.\)
\(31.\)
Đáp án đúng là: A
Tổng của \(5\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2\) bằng
\({S_5} = \frac{5}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {5 - 1} \right)d} \right] = \frac{5}{2}\left( {2 \cdot 1 + 4 \cdot 2} \right) = 25\).
\( - \frac{1}{{256}}\).
\(\frac{1}{{512}}\).
\(\frac{1}{{256}}\).
\( - \frac{1}{{512}}\).
Đáp án đúng là: A
Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là
\({u_{10}} = {u_1} \cdot {q^{10 - 1}} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{{256}}\).
Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B với mẫu số liệu cho trong bảng bên dưới đây.
\(56,71\).
\(52,81\).
\(53,15\).
\(51,81\).
Đáp án đúng là: D
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Tổng số học sinh là \(n = 42\). Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B là
\(\overline x = \frac{{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}}{{42}} \approx 51,81\,{\rm{(kg)}}\).
\(4.\)
\[6.\]
\(3.\)
\(2.\)
Đáp án đúng là: A
Cách 1: Vì 4 điểm đã cho là không đồng phẳng nên tạo thành 1 tứ diện.
Mà tứ diện có 4 mặt phẳng nên ta xác đijnh được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho.
Cách 2: Vì 4 điểm đã cho không đồng phẳng nên chọn 3 điểm bất kì cho ta 1 mặt phẳng
Do đó số mặt phẳng được xác định từ 4 điểm đã cho là \(C_4^3 = 4\).
Đường thẳng \(AB\).
Đường thẳng \(AD\).
Đường thẳng \(AC\).
Đường thẳng \(SA\).
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có chung điểm \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD\), \(BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên giao tuyến \(\Delta \) đi qua \(S\) và lần lượt song song với \(AD\), \(BC\).
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\)nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,\,\left( {BCD} \right)\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(hình vẽ dưới).
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {BDD'B'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ACC'A'} \right)\).
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên các mặt phẳng đối diện song song:
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\); \(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\); \(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
Do hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau mà \(AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\) và \(BD \subset \left( {BDD'B'} \right)\) nên hai mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\) cắt nhau, vậy đáp án A sai.
\( + \infty \).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(2\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 2}}{{2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{2} = \frac{1}{2}\).
\(0\).
\(1\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = 2 - 15 = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\].
Vì \[x \to {2^ + }\] nên \[x > 2\]. Do đó \[x - 2 > 0\].
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \].
\(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 2}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 4}}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định tại \(x = 2\) nên nó liên tục tại \(x = 2\).
1.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\). (0,5 điểm)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 5} - 2x - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = - 2\).
2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\); \(f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi
\(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}\).
a)
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\). Suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,AA'\) và \(MN\, = \,AA'\) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành).
Ta có \[MN{\rm{ // }}AA',\,AA'{\rm{ // }}CC' \Rightarrow MN{\rm{ // }}CC'\].
Lại có \(AA' = CC'\) (tính chất hình lăng trụ), mà \(MN\, = \,AA'\) nên \[MN = CC'\].
Do đó, tứ giác \[MNCC'\] là hình bình hành. Suy ra \[CN{\rm{ // }}MC'.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]
Mặt khác ta chứng minh được \[AN{\rm{ // }}B'M,AN = B'M\] nên tứ giác \[ANB'M\] là hình bình hành. Suy ra \[NB'{\rm{ // }}MA.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{ // }}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{ // }}\left( {CNB'} \right).\]
Mà \[CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\].
b)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AB'\), cắt \(BB'\) tại \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AC'\), cắt \(BC'\) tại \(Q\).
Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {NQE} \right)\).
Vì \(E \in BB'\) nên \(E \in \left( {BB'C'} \right)\); vì \(Q \in BC'\) nên \(Q \in \left( {BB'C'} \right)\). Do đó, \(EQ \subset \left( {BB'C'} \right)\).
Vậy \[\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\] hay \[\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\].
Gọi ba số cần tìm là \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] với \({u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0\).
Vì \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \[{u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d\].
Hơn nữa, \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2\].
Lại có \[{u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số nhân hay \[{u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d\] tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}\) \[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2\]\[ \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.\].
Với \({u_1} = 2\), suy ra \[d = 0\]: không thỏa mãn.
Với \({u_1} = - 4\), suy ra \(d = 6\). Vậy ba số cần tìm là \( - 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
