Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
38 câu hỏi
Cho \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .\) Giá trị của \(\sin \alpha \) bằng
\(\frac{1}{{13}}.\)
\(\frac{5}{{13}}.\)
\( - \frac{5}{{13}}.\)
\( - \frac{1}{{13}}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}.\]
\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{5}{{13}}.\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{{13}}.\)
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b.\)
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.\)
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\)
Đáp án đúng là: B
Theo công thức cộng ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)
Cho \(\tan \left( {a + b} \right) = 3,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = 2.\) Giá trị của \(\tan 2a\) là
\( - 1.\)
\(\frac{1}{7}.\)
\(1.\)
\( - \frac{1}{7}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\tan \left( {2a} \right) = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = - 1.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xác định khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi .\)
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
\(f\left( x \right) = 1 - \cos 3x.\)
\(f\left( x \right) = {\sin ^2}x.\)
\(f\left( x \right) = x + \tan x.\)
\(f\left( x \right) = \cos 2x.\)
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \tan x.\)
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D.\)
Ta có:
\(f\left( { - x} \right) = - x + \tan \left( { - x} \right) = - x - \tan x = - \left( {x + \tan x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D.\)
Vậy \(f\left( x \right) = x + \tan x\) là hàm số lẻ.
Phương trình \(\sin x = 0\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào vô nghiệm?
\(\tan x = \pi .\)
\(\cot 2x = - 2.\)
\(\sin 2x = \frac{{2023}}{{2024}}.\)
\(\cos x = \frac{3}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\) và \(\frac{3}{2} > 1.\)
Nên phương trình \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{ - n + 1}}{n}.\) Năm số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là
\( - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6}.\)
\(\frac{1}{2};\,\,\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6}.\)
\(0;\,\, - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}.\)
\( - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4}; - \,\,\frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6};\,\, - \frac{6}{7}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_1} = \frac{{ - 1 + 1}}{1} = 0;\,\,{u_2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2};\,\,{u_3} = \frac{{ - 3 + 1}}{3} = - \frac{2}{3};\,\,\)
\({u_4} = \frac{{ - 4 + 1}}{4} = \frac{{ - 3}}{4};\,\,{u_5} = \frac{{ - 5 + 1}}{5} = - \frac{4}{5}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 5\) và \({u_2} = 1.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
4.
\( - 4\)
6.
Không xác định.
Đáp án đúng là: B
Công sai của cấp số cộng: \(d = {u_2} - {u_1} = 1 - 5 = - 4.\)
Cho tam giác \(ABC\) có số đo của ba góc lập thành cấp số cộng và số đo góc nhỏ nhất bằng \(30^\circ .\) Góc có số đo lớn nhất trong ba góc của tam giác này là
\(120^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(100^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(A,\,\,\,B,\,\,C\) là các góc của tam giác \(ABC\) có số đo lần lượt lập thành cấp số cộng thỏa mãn \(A < B < C\) và ta có \(A = 30^\circ .\)
\( \Rightarrow \frac{{A + C}}{2} = B \Rightarrow A + C = 2B\)
Mặt khác: \(A + B + C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong một tam giác).
\( \Rightarrow 2B + B = 180^\circ \Rightarrow B = 60^\circ \)
\( \Rightarrow C = 2B - A = 2.60^\circ - 30^\circ = 90^\circ .\)
Vậy góc có số đo lớn nhất trong ba góc của tam giác này là \(90^\circ .\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\forall n \ge 2.\]
\({u_n} = {u_1}{q^n},\,\,\forall n \ge 2.\)
\({u_n} = {u_1}.q,\,\,\forall n \ge 2.\)
\({u_n} = {u_1}.{q^{n + 1}},\,\,\forall n \ge 2.\)
Đáp án đúng là: A
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\forall n \ge 2.\]
Cho ba số \(1;\,\,2;\,\, - 2a\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
\( - 4.\)
\(2.\)
\(4.\)
\( - 2.\)
Đáp án đúng là: D
Ba số \(1;\,\,2;\,\, - 2a\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(1.\left( { - 2a} \right) = {2^2} \Rightarrow a = - 2.\)
Bảng thống kê sau cho biết thời gian (giờ) ra sân của một số cầu thủ ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:
Thời gian (giờ) | Số cầu thủ |
\(\left[ {492;515} \right)\) | 9 |
\(\left[ {515;538} \right)\) | 2 |
\(\left[ {538;561} \right)\) | 0 |
\(\left[ {561;584} \right)\) | 2 |
\(\left[ {584;607} \right)\) | 0 |
\(\left[ {607;630} \right)\) | 1 |
\(\left[ {630;653} \right)\) | 2 |
Độ dài mỗi nhóm của mẫu số liệu này bằng
\(13.\)
\(23.\)
\(33.\)
\(9.\)
Đáp án đúng là: B
Xét nhóm \(\left[ {492;515} \right)\) có độ dài là \(515 - 492 = 23.\)
Tương tự đối với các nhóm còn lại ta được độ dài đều bằng 23.
Vậy độ dài mỗi nhóm của mẫu số liệu này bằng 23.
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 ở một trường THPT thu được bảng phân bố tần số ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {0;20} \right)\] | \[\left[ {20;40} \right)\] | \[\left[ {40;60} \right)\] | \[\left[ {60;80} \right)\] | \(\left[ {80;100} \right)\) |
Số học sinh | 19 | 15 | 6 | 3 | 2 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
\(\left[ {80;100} \right).\)
\(2.\)
\[\left[ {0;20} \right).\]
\(19.\)
Đáp án đúng là: C
Tần số lớn nhất là \(19\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \[\left[ {0;20} \right).\]
Doanh thu bán hàng trong \(20\) ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên bằng
\(9,4.\)
\(10.\)
\(9,5.\)
\(11.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng sau:
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Giá trị đại diện | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4.\)
Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho điền mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được ghi lại trong bảng dưới.
Điểm | \[\left[ {50,60} \right)\] | \(\left[ {60;70} \right)\) | \(\left[ {70;80} \right)\) | \(\left[ {80;90} \right)\) | \(\left[ {90;100} \right)\) |
Tần số | 4 | 5 | 23 | 6 | 2 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau đây?
\(70,4.\)
\(70,5.\)
\(75.\)
\(65.\)
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu \(n = 4 + 5 + 23 + 6 + 2 = 40.\)
Gọi \({x_1},...,{x_{40}}\) là điểm mà 40 người đó cho mẫu áo sơ mi đang khảo sát theo thang điểm 100 và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: \({x_1},...,{x_4}\) thuộc nhóm \[\left[ {50,60} \right);\]
\({x_5},...,{x_9}\) thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right);\)
\({x_{10}},...,{x_{32}}\) thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right);\)
\({x_{33}},...,{x_{38}}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right);\)
\({x_{39}},\,\,{x_{49}}\) thuộc nhóm \(\left[ {90;100} \right).\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}.\) Do \({x_{10}},\,\,{x_{11}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right)\)nên nhóm này chứa \({Q_1}.\)
Do đó, \(p = 3;\)\({a_3} = 70;\)\({m_3} = 23;\)\({m_2} = 5;\)\({m_1} = 4;\)\({a_4} - {a_3} = 80 - 70 = 10\) và ta có:
\({Q_1} = 70 + \frac{{\frac{{40}}{4} - \left( {5 + 4} \right)}}{{23}}.10 = \frac{{1\,\,620}}{{23}} \approx 70,4.\)
Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) không cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là sai?
Bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\)đã cho đôi một khác nhau.
Không có ba điểm nào trong bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\)là thẳng hàng.
Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) song song với nhau.
Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Vì bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\)không cùng thuộc một mặt phẳng nên hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) chéo nhau, do đó đáp án C mang nội dung sai.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BM\) và \[AN = 2NC.\] Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng nào dưới đây?
\(MN.\)
\(DN.\)
\(DM.\)
\(AC.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(N \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right).\)
\( \Rightarrow N \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Lại có: \(D \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Do đó \(DN = \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right).\) Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng nào dưới đây?)
Đường thẳng \(AB.\)
Đường thẳng \(AD.\)
Đường thẳng \[AC.\]
Đường thẳng \(SA.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right);\)
\(AD//BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành);
\(AD \subset \left( {SAD} \right);\,\,BC \subset \left( {SBC} \right).\)
Suy ra \(d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) đi qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC.\)
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì
cắt nhau.
chéo nhau hoặc song song.
chéo nhau.
song song.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung
⦁ và cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng song song với nhau;
⦁ và không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Vậy trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\) Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right).\]
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\)
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}BC.\)
Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right);\,\,MN \not\subset \left( {BCD} \right).\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu hai đường thẳng song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng đó.
Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại.
Một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại.
Đáp án đúng là: D
Phương án A sai vì: có thể hai đường thẳng cắt nhau.
Phương án B sai vì: có thể hai đường thẳng có nằm trên mặt phẳng.
Phương án C sai vì: có thể đường thẳng cắt và đường thẳng song song còn lại chéo nhau.
Hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF.\) \(OO'\) song song với
Mặt phẳng \(\left( {DCEF} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {ADF} \right).\)
Mặt phẳng \[\left( {BCE} \right).\]
Cả ba phương án A, B, C.
Đáp án đúng là: D
Vì \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nên \(O\) và \(O'\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(FB.\)
Xét \(\Delta BDF\) có: \(OO'\) là đường trung bình \( \Rightarrow OO'{\rm{//}}DF.\)
Mà \(DF \subset \left( {DCEF} \right);\,\,DF \subset \left( {ADF} \right);\)
\( \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {DCEF} \right);\,\,OO'{\rm{//}}\left( {ADF} \right).\)
Vì \(ABCD\) và\(ABEF\) là hình bình hành nên \(CD = AB = EF;\,\,CD{\rm{//}}AB{\rm{//EF}}{\rm{.}}\)
\( \Rightarrow CDFE\) là hình bình hành nên \(DF{\rm{//}}CE.\)
Mà \(DF{\rm{//OO'}}\) nên \(OO'{\rm{//}}CE.\)
Hơn nữa \(CE \subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta SAD\) có: \(M,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SD.\)
Suy ra \(MP\) là đường trung bình của \(\Delta SAD.\)
\( \Rightarrow MP{\rm{//}}AD.\)
Mặt khác \(AD \subset \left( {ABCD} \right);\,\,MP \not\subset \left( {ABCD} \right).\)
\( \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\) và \(A'C'\) cắt \(B'D'\) tại \(O'.\) Khi đó \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {A'OC'} \right).\)
\(\left( {BDA'} \right).\)
\(\left( {BDC'} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(BB'{\rm{//}}DD'\) và \(BB' = DD'.\)
\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình bình hành nên \(B'D'{\rm{//}}BD.\)
Mà \(BD \subset \left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \not\subset \left( {BDC'} \right).\)
\( \Rightarrow B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
Tương tự ta cũng có \(AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
Ta có: \(B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right);\,\,AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \cap AD' = D'\) trong \(\left( {AB'D'} \right).\)
\( \Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Hai đường thẳng song song.
Cả ba phương án A, B, C.
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Vậy qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào sau đây?
Điểm \(S.\)
Trung điểm của \(BC.\)
Điểm \(B.\)
Điểm \(C.\)
Đáp án đúng là: C
Do \(AB \cap \left( {SBC} \right) = B\) suy ra hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm \(B.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - 2{u_n}} \right) = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\) bằng
\( - 3.\)
1.
\(4.\)
\( - 4.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - 2{u_n}} \right) = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} - 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 + 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2 + 2.1 = 4.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\) bằng
0.
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(\frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 14\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 7.\) Giá trị \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\] bằng
\(\frac{1}{2}.\)
2.
\(7.\)
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)}} = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}.\]
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\) là
0.
\( - \infty .\)
1.
\( + \infty .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} x = - 1;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \sqrt {x + 1} = 0\) và với \(\forall \,x > - 1\) thì \(x + 1 > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {x + 1} > 0,\,\forall \,x > - 1.\)
Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - \infty .\)
Cho giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - {a^2}} \right) = 1\] thì \(a\) bằng
\(a = 2.\)
\(a = 0.\)
\(a = - \sqrt 2 .\)
\(a = \sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - {a^2}} \right) = 1 \Rightarrow 1 - {a^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 0 \Rightarrow a = 0.\]
Vậy nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\] thì \(a = 0.\)
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \sqrt {{x^2} + 1} .\)
\(y = \frac{1}{{x + 2023}}.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = x + 1.\)
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} .\)
Điều kiện: \({x^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 1\) (luôn đúng do \({x^2} \ge 0\)).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là \(D = \mathbb{R}.\)
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm căn thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}.\] Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
\(\left[ {0; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;0} \right].\)
\(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\], điều kiện: \(x > 0.\)
Tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\] là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Từ đó suy ra hàm số đã cho liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 - x} \, + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le 3\\ax\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3\end{array} \right.\]. Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\)?
\(a = - 3.\)
\(a = - \frac{1}{3}.\)
\(a = 3.\)
\(a = \frac{1}{3}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + 1} \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} ax = 3a;\)\(f\left( 3 \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)
\( \Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}.\)
Tính các giới hạn sau:
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + n} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right).\] b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}.\]
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + n} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n - {n^2} - 1}}{{\sqrt {{n^2} + n} + \sqrt {{n^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + n} + \sqrt {{n^2} + 1} }}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\]
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = 3.\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,CD.\)
a) Chứng minh \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
b) Giả sử hai tam giác \(SAD\) và \(SAB\) là các tam giác cân tại \(A.\) Gọi \(AE\) và \(AF\) lần lượt là đường phân giác trong của hai tam giác \(SAD\) và \(SAB\). Chứng minh \(EF{\rm{//}}\left( {SBD} \right).\)
a) • Xét \(\Delta SAC\) có: \(M,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,AC\)nên \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\), suy ra\[MO{\rm{//}}SC.\].
Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
• Xét \[\Delta DCB\] có: \(N,\,\,O\)lần lượt là trung điểm của \[CD,\,\,BD\] nên \(NO\) là đường trung bình của \[\Delta DCB\], suy ra \(NO{\rm{//}}BC.\)
Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
Ta có: \(MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right);\,\,NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) và \(MO \cap NO = O\) trong \(\left( {OMN} \right).\)
\( \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
Vậy (OMN) // (SBC).
b) Ta có: \(\Delta SAD\) và \(\Delta SAB\) là hai tam giác cân tại \(A.\)
\( \Rightarrow AE,\,\,AF\) vừa là phân giác vừa là đường trung tuyến lần lượt của \(\Delta SAD\) và \(\Delta SAB.\)
\( \Rightarrow E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(SD\) và \(SB.\)
Suy ra \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta SBD.\)
\( \Rightarrow EF{\rm{//BD}}{\rm{.}}\)
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow EF{\rm{//}}\left( {SBD} \right).\)
Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(80\% \) so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.
Gọi \({u_n}\) là quãng đường đi lên của người đó sau \(n\) lần kéo lên \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Sau lần kéo lên đầu tiên quãng đường đi lên của người đó là:
\({u_1} = 100.80\% = 100.0,8 = 80\) (m).
Sau lần kéo lên thứ hai quãng đường đi lên của người đó là:
\({u_2} = 80.80\% = 80.0,8\) (m).
Sau lần kéo lên thứ ba quãng đường đi lên của người đó là:
\({u_3} = 80.0,8.80\% = 80.0,8.0,8 = 80.0,{8^2}\) (m).
Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 80\) và công bội \(q = 0,8.\)
Ta có công thức tổng quát \({u_n} = 80.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\) (m).
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên là:
\({S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)
