Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Nếu một cung tròn có số đo là \(a^\circ \) thì số đo radian của nó là:
\(180\pi a\).
\(\frac{{180\pi }}{a}\).
\(\frac{{a\pi }}{{180}}\).
\(\frac{\pi }{{180a}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(a^\circ = \frac{{a\pi }}{{180}}\) rad
Công thức nào sau đây sai?
\[\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\]
\[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\]
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Đáp án đúng là: B
\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\]
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Xác định dấu của biểu thức \(P = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right).\)
\(P \ge 0.\)
\(P > 0.\)
\(P \le 0.\)
\(P < 0.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(P = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
Mà \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(P < 0.\)
Cho góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha = \frac{1}{2}.\] Tính \(P = \cos 2\alpha .\)
\[P = \frac{3}{4}.\]
\[P = \frac{1}{4}.\]
\[P = \frac{1}{2}.\]
\[P = \frac{2}{3}.\]
Đáp án đúng là: C
Có \(P = \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{{20}}{{\sin x}}.\)
\(D = \mathbb{R}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = - \,\,\sin x.\)
\[y = \cos x - \sin x.\]
\[y = \cos x + {\sin ^2}x.\]
\[y = \cos x\sin x.\]
Đáp án đúng là: C
+) Xét đáp án A.
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có \(f\left( { - x} \right) = - \sin \left( { - x} \right) = \sin x = - f\left( x \right)\). Do đó \(y = - \sin x\) là hàm số lẻ.
+) Xét đáp án B
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - \sin \left( { - x} \right)\)\( = \cos x + \sin x \ne f\left( x \right)\) nên hàm số \[y = \cos x - \sin x\] không chẵn cũng không lẻ.
+) Xét đáp án C
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) + {\sin ^2}\left( { - x} \right)\)\( = \cos x + {\sin ^2}x = f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = \cos x + {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn.
+) Xét đáp án D
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right)\)\( = - \cos x\sin x = - f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\sin x\) là hàm số lẻ.
Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) có các nghiệm là
\(x = \alpha + k2\pi ,{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k2\pi ,{\rm{ }}x = - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi ,{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi ,{\rm{ }}x = - \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
\(\sin x = \sin \alpha \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
1.
\(0\).
2.
4.
Đáp án đúng là: A
Có \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(0 \le x \le \pi \) nên \(0 \le \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}\end{array} \right.\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Với \(k = 0\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).
Vậy số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là 1.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7, …. Số hạng thứ 5 của dãy số trên là
6.
9.
7.
8.
Đáp án đúng là: B
Đây là dãy số tự nhiên lẻ liên tiếp nên số hạng thứ 5 là 9.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\)với \(n \ge 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\( - 1;\,\,{\mkern 1mu} 2;\,\,{\mkern 1mu} 5.\)
\(1;{\mkern 1mu} \,\,4;\,\,{\mkern 1mu} 7.\)
\(4;\,\,{\mkern 1mu} 7;\,\,{\mkern 1mu} 10.\)
\( - 1;\,\,3;\,\,7.\)
Đáp án đúng là: A
Có \({u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2\);
\({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\).
Vậy 3 số hạng đầu tiên của dãy là \( - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 5.\)
Cho hàm số 2x +1; x=1m ; x khác 1. Hàm số liên tục tại \[x = 1\] khi \[m\] bằng
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Để hàm số liên tục tại \[x = 1\] thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} m = 3\)\( \Leftrightarrow m = 3\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\), khẳng định nào sau đây đúng
\({u_n} = {u_{n - 1}} - d\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).
\({u_n} = {u_{n - 1}}.d\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} + 2d\).
Đáp án đúng là: B
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\) thì \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) và \(d = \frac{1}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right).\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}n - 1.\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right).\)
\({u_n} = - 3 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = - 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_{13}} = 34.\)
\({u_{13}} = 45.\)
\({u_{13}} = 31.\)
\({u_{13}} = 35.\)
Đáp án đúng là: C
Có \({u_{13}} = {u_1} + 12d = - 5 + 12 \cdot 3 = 31\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
\(2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}16;{\rm{ }} \ldots \).
\(1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }} \cdots \).
\({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }} \cdots \).
\(a;{\rm{ }}{a^3};{\rm{ }}{a^5};{\rm{ }}{a^7};{\rm{ }} \cdots \;\left( {a \ne 0} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Đáp án A: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = 2;q = 2\).
Đáp án B: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = - 1\).
Đáp án C: Dãy số không là cấp số nhân.
Đáp án D: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = a;q = {a^2}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là
\( - \frac{1}{{256}}\).
\(\frac{1}{{512}}\).
\(\frac{1}{{256}}\).
\( - \frac{1}{{512}}\).
Đáp án đúng là: A
Có \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{{256}}\).
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) bằng
\(5\).
\(6\).
\( - 1\).
\(1\).
Đáp án đúng là: B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 \cdot 3 = 6\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{{n^2} + 1}}\) bằng
\(0\).
\(2\).
\(1\).
\( + \infty \).
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{{n^2}}} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\) bằng
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(1\).
\(2\).
Đáp án đúng là: B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^3}\left( { - 1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 1.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) bằng
\(5\).
\(6\).
\(1\).
\( - 1\).
Đáp án đúng là: A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 4 + 1 = 5\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2{x^2} + 1} \right)\) bằng
\(9\).
\(5\).
\( - 7\).
\( + \infty \).
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2{x^2} + 1} \right) = 2{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 9\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty \).
\( - 1\).
\(2\).
\( - \infty \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ - }\) nên \(x - 1 < 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = \sqrt {x - 4} \).
\(y = \tan x.\)
\(y = \sqrt x .\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là hàm đa thức do đó hàm số đó liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11 của trường, ta được mẫu số liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
\(\left[ {150;152} \right)\) | 10 |
\(\left[ {152;154} \right)\) | 18 |
\(\left[ {154;156} \right)\) | 38 |
\(\left[ {156;158} \right)\) | 26 |
\(\left[ {158;160} \right)\) | 15 |
\(\left[ {160;162} \right)\) | 7 |
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có bao nhiêu nhóm?
\(5\).
\(6\).
\(7\).
\(12\).
Đáp án đúng là: B
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho 6 nhóm.
Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng của học sinh lớp 12 trong một lớp
Cân nặng (kg) | Dưới 55 | Từ 55 đến 65 | Trên 65 |
Số học sinh | 23 | 15 | 2 |
Số học sinh của lớp đó là bao nhiêu?
\(40\).
\(35\).
\(23\).
\(38\).
Đáp án đúng là: A
Số học sinh của lớp là: \(23 + 15 + 2 = 40\) (học sinh).
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) |
Số quả cam lô hàng A | 3 | 1 | 6 | 11 | 4 |
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
\(\left[ {150;155} \right)\).
\(\left[ {155;160} \right)\).
\(\left[ {165;170} \right)\).
\(\left[ {170;175} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Nhóm chứa mốt là nhóm [165;170).
Cân nặng của học sinh lớp 11A được cho như bảng sau:
Cân nặng | \(\)\(\left[ {40,5;45,5} \right)\) | \(\left[ {45,5;50,5} \right)\) | \(\left[ {50,5;55,5} \right)\) | \(\left[ {55,5;60,5} \right)\) | \(\left[ {60,5;65,5} \right)\) | \(\left[ {65,5;70,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(51,81\).
\(52,17\).
\(51,2\).
\(52\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x_1} = \frac{{40,5 + 45,5}}{2} = 43\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {40,5;45,5} \right)\).
\({x_2} = \frac{{45,5 + 50,5}}{2} = 48\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {45,5;50,5} \right)\).
\({x_3} = \frac{{50,5 + 55,5}}{2} = 53\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {50,5;55,5} \right)\).
\({x_4} = \frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {55,5;60,5} \right)\).
\({x_5} = \frac{{60,5 + 65,5}}{2} = 63\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60,5;65,5} \right)\).
\({x_6} = \frac{{65,5 + 70,5}}{2} = 68\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {65,5;70,5} \right)\).
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là
\(\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51,81\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
+) A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
+) B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
+) D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không thẳng hàng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD,AD = 2BC\). Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(SAD\). \(GG'\) song song với đường thẳng
\(AB\).
\(AC\).
\(BD\).
\(SC\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Do đó \(MN{\rm{//}}BD\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(G'\)là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).
Do \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\) nên \(GG'{\rm{//}}MN\) mà \(MN{\rm{//}}BD\) nên \(GG'{\rm{//}}BD\).
Cho đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\). Chọn khẳng định đúng?
Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một điểm chung.
Đường thẳng \(a\)song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(a\) không nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đường thẳng \(a\) không nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G,M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \[ACD\]. Khi đó, đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).\(\)
Đáp án đúng là: C
Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \[ACD\] nên \(\frac{{AM}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\) nên \(GM{\rm{//}}IJ\) mà \(IJ \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(GM{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
\(4\).
\(6\).
\(2\).
\(3\).
Đáp án đúng là: A
Do 4 điểm không đồng phẳng nên ta chọn bất kì 3 trong 4 điểm đó tạo thành 1 mặt phẳng.
Do đó có \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết, Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\]. Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {BMN} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {A'C'C} \right)\).
\(\left( {BCA'} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\] nên \(MP{\rm{//}}AC,PN{\rm{//}}CB\).
Vì \(MP{\rm{//}}AC,AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Vì \(PN{\rm{//}}CB,CB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow PN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Hình chữ nhật có cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.
Tính các giới hạn sau:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}} \right)\). b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x}\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{3}{2}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{n} = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {\sqrt {2.0 + 1} + 1} \right)}} = 1.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm trên các cạnh \(SB\) và \(SC\) sao cho \(MS = 2MB,NS = NC\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(K\). Chứng minh \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\)và \(SO\)
Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\)tại \(K\)mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)
\( \Rightarrow K\)là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).
Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)
Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).
Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).
Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
– Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.
– Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.
Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 40 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.
Kí hiệu \({A_n},{B_n}\)lần lượt là số tiền công (đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.
Theo giả thiết ta có:
+ \({A_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 50\;000\) và công sai \(d = 10\;000\).
+ \({B_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = 50\;000\)và công bội \(q = 1,08\).
Do đó:
\[{A_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.50\;000 + 19.10\;000} \right) = 2\;900\;000.\]
\[{B_{20}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{20}}}}{{1 - 1,08}} \approx 2\;288\;000.\]
\[{A_{40}} = \frac{{40\left( {2{u_1} + 39d} \right)}}{2} = 20\left( {2.50\;000 + 39.10\;000} \right) = 9\;800\;000.\]
\[{B_{40}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{40}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{40}}}}{{1 - 1,08}} \approx 12\;953\;000.\]
Suy ra, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét và cơ sở A để khoan giếng 40 mét.
