Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
39 câu hỏi
Cho hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
\(\sin \alpha = - {\rm{cos}}\beta \).
\({\rm{cos}}\alpha = \sin \beta \).
\({\rm{cos}}\beta = \sin \alpha \).
\(\cot \alpha = \tan \beta \).
Đáp án đúng là: A
Nếu hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau thì \(\sin \alpha = {\rm{cos}}\beta \).
Trong bốn hàm số: \(y = {\rm{cos}}2x;y = \sin x;y = \tan 2x;y = \cot 4x\) có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).
1.
0.
2.
3.
Đáp án đúng là: A
Do hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) nên hàm số \(y = \cos 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \).
Do hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \) nên hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\frac{\pi }{2}\) .
Do hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \) nên hàm số \(y = \cot 4x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\frac{\pi }{4}\) .
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{9\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};3\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có hàm số lượng giác \(y = \sin x\) đồng biến ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.
Ta thấy \(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.
Nghiệmcủa phương trình \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\) là
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện \(\cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\)\( \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\) có tất cả các nghiệm là
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = 3n + 6\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 6 - \left( {3n + 6} \right)\)\( = 3 > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số bị chặn.
Dãy số bị chặn trên.
Dãy số bị chặn dưới.
Không bị chặn.
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1}}\)\( = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)\( \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\).
Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
8.
6.
5.
7.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = \frac{8}{{15}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}}\)
\( \Leftrightarrow 15\left( {n + 1} \right) = 8\left( {2n + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8\)\( \Leftrightarrow n = 7\).
Vậy \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ 7 của dãy số.
Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 4n\).
b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = 2{n^2} + 1\).
c) Dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\) với \({w_n} = \frac{n}{3} - 7\).
d) Dãy số \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = \sqrt 5 - 5n\).
4.
3.
2.
1.
Đáp án đúng là: B
a) Ta có \({u_{n + 1}} = 4\left( {n + 1} \right) = 4n + 4 = {u_n} + 4,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 4\).
b) Có \({v_1} = 2 \cdot {1^2} + 1 = 3\); \({v_2} = 2 \cdot {2^2} + 1 = 9\); \({v_3} = 2 \cdot {3^2} + 1 = 19\) nên dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
c) Có \({w_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{3} - 7\)\( = \frac{n}{3} + \frac{1}{3} - 7\)\( = {w_n} + \frac{1}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = \frac{1}{3}\).
d) Có \({t_{n + 1}} = \sqrt 5 - 5\left( {n + 1} \right)\)\( = \sqrt 5 - 5n - 5 = {t_n} - 5,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{t_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 5\).
Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 7\), công sai \(d = 2\). Giá trị \({u_2}\) bằng
14.
9.
\(\frac{7}{2}\).
5.
Đáp án đúng là: B
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_5} = - 15\); \({u_{20}} = 60\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là
\({S_{10}} = - 125\).
\({S_{10}} = - 250\).
\({S_{10}} = 200\).
\({S_{10}} = - 200\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = {u_1} + 4d = - 15\\{u_{20}} = {u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
Khi đó \({S_{10}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right)10}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2 \cdot \left( { - 35} \right) + 9 \cdot 5} \right]10}}{2}\)\( = - 125\).
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\(1;2;4;8;...\).
\(3;{3^2};{3^3};{3^4};...\).
\(4;2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...\).
\(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\).
Đáp án đúng là: D
+) Dãy \(1;2;4;8;...\) là cấp số nhân với công sai \(q = 2\).
+) Dãy \(3;{3^2};{3^3};{3^4};...\) là cấp số nhân với công sai \(q = 3\).
+) Dãy \(4;2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...\)là cấp số nhân với công sai \(q = \frac{1}{2}\).
+) Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\) không là cấp số nhân.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) và \(q = \frac{2}{3}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_5} = - \frac{{27}}{{16}}\).
\({u_5} = - \frac{{16}}{{27}}\).
\({u_5} = \frac{{16}}{{27}}\).
\({u_5} = \frac{{27}}{{16}}\).
Đáp án đúng là: B
Có \({u_5} = {u_1} \cdot {q^4}\)\( = \left( { - 3} \right) \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^4}\)\( = - \frac{{16}}{{27}}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} \ne 0\) và \(q \ne 0\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\({u_7} = {u_4}{q^3}\).
\({u_7} = {u_4}{q^4}\).
\({u_7} = {u_4}{q^5}\).
\({u_7} = {u_4}{q^6}\).
Đáp án đúng là: A
Có \({u_7} = {u_1}{q^6}\)\( = {u_1}{q^3}{q^3}\)\( = {u_4}{q^3}\) (vì \({u_4} = {u_1}{q^3}\)).
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim {v_n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty \).
Nếu \(\lim {u_n} = a \ne 0\) và \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \[\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0\].
Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \[\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \].
Nếu \(\lim {u_n} = a < 0\) và \(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0,\forall n\) thì \[\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = - \infty \].
Đáp án đúng là: C
Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \[\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \] là sai vì chưa rõ dấu của \({v_n}\).
Dãy số nào dưới đây có giới hạn khác 0?
\(\frac{1}{n}\).
\(\frac{1}{{\sqrt n }}\).
\(\frac{{n + 1}}{n}\).
\(\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}\).
Đáp án đúng là: C
+) Có \(\lim \frac{1}{n} = 0\).
+) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).
+) \(\lim \frac{{n + 1}}{n}\)\( = \lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 1\).
+) \(\left| {\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}} \right| \le \frac{1}{{\sqrt n }}\) mà \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\) nên \(\lim \frac{{\sin n}}{{\sqrt n }} = 0\).
Tính giới hạn \(\lim \frac{{3 \cdot {2^{n + 1}} - 2 \cdot {3^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}}\)
\(\frac{3}{2}\).
\(0\).
\(\frac{6}{5}\).
\( - 6\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\lim \frac{{3 \cdot {2^{n + 1}} - 2 \cdot {3^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{6 \cdot {2^n} - 6 \cdot {3^n}}}{{4 + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{6 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 6}}{{4 \cdot {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 1}} = - 6\).
Vì \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\); \(\lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \).
Đáp án đúng là: B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\) và \(x > 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^5} = 0\) và \({x^5} > 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\) và \(\sqrt x > 0\).
Cho các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\).
\(5\).
\(2\).
\( - 6\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 3f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4g\left( x \right)\)
\( = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)
\( = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = - 6\).
Giả sử ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = b\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = a \cdot b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = a - b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{a}{b}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = a + b\).
Đáp án đúng là: C
Đáp án C sai vì \(b\) có thể bằng 0.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\). Kết luận nào sau đây đúng?
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\).
Hàm số liên tục tại \(x = 0\).
Hàm số liên tục tại \(x = 1\).
Hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) xác định khi \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0;x \ne 1;x \ne - 1\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).
Xét tại \(x = \frac{1}{2}\).
Ta có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\)\( = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Do đó hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(y = {x^3} - x\).
\(y = {x^3} - x\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \sqrt {{x^2} - 1} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có hàm \(y = {x^3} - x\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trong không gian cho 4 điểm phân biệt không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\)
Đáp án đúng là: D
Qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Do đó có \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên.
Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu?
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Đáp án đúng là: D
Hình chóp tam giác có ít cạnh nhất và hình chóp tam giác có 6 cạnh.
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Ba điểm phân biệt.
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm phân biệt.
Đáp án đúng là: C
+) A sai vì trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
+) B sai vì trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho khi đó có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
+) D sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số đường thẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo ra được mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) là
\(AM\) (\(M\) là trung điểm của \(AB\)).
\(AN\) (\(N\) là trung điểm của \(CD\)).
\(AH\) (\(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(CD\)).
\(AK\) (\(K\) là hình chiếu của \(C\) trên \(BD\)).
Đáp án đúng là: B
Kẻ \(BG \cap CD = N\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(N\) là trung điểm của \(CD\).
Khi đó \(A,N\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\).
Do đó \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {GAB} \right) = AN\).
Cho hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó
song song.
chéo nhau.
cắt nhau.
trùng nhau.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào định nghĩa, ta có hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD\).
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\left( {d = Sx{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC} \right)\).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\)?
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: B
Theo lí thuyết, cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB{\rm{//}}CD\) và \(AB = 2CD\). Lấy \(E\) thuộc cạnh \(SA\), \(F\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đường thẳng \(EF\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(AC\).
Đường thẳng \(AC\) song song với mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\).
Đường thẳng \(CD\) song song với mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) nên \[EF{\rm{//}}AC\] mà \(EF \subset \left( {BEF} \right)\). Do đó \(AC{\rm{//}}\left( {BEF} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\) với \(M,N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABD,ACD\). Xét các khẳng định sau:
1) \(MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
2) \(MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
3) \(MN{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).
4) \(MN{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\).
Các mệnh đề nào đúng?
1, 2.
2, 3.
3, 4.
1, 4.
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\).
Vì \(M,N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABD,ACD\) nên \(\frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(MN{\rm{//}}BC\) mà \(BC \subset \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right),MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Rightarrow a{\rm{//}}b\).
\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Rightarrow a{\rm{//}}\left( \beta \right)\).
\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Rightarrow b{\rm{//}}\left( \alpha \right)\).
Nếu \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) thì \(a\) và \(b\) hoặc song song hoặc chéo nhau.
Đáp án đúng là: A
Đáp án A sai vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) ; đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right);\,b \subset \left( \beta \right)\) thì \(a\) và \(b\) có thể chéo nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N,P\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA,SD\) và \(AB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {NOM} \right)\) cắt \(\left( {OPM} \right)\).
\(\left( {MON} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(BD\) và \(AC\).
Vì \(M\)là trung điểm của \(SA\), \(P\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\). Suy ra \(MP{\rm{//}}SB\). (1)
Tương tự, \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SDB\). Suy ra \(ON{\rm{//}}SB\). (2)
Từ (1) và (2), ta có \(MP{\rm{//}}NO\). (*)
Tương tự, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(MN{\rm{//}}AD\). (3)
\(OP\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(OP{\rm{//}}AD\). (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(MN{\rm{//}}OP\). (**)
Từ (*) và (**), ta có \(MNOP\) là hình bình hành.
Do đó đáp án B, D sai.
Vì \(MN{\rm{//}}AD\) mà \(AD{\rm{//}}BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(MN{\rm{//}}BC\).
Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\). (5)
Lại có \(ON{\rm{//}}SB\) mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(ON{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\). (6)
Từ (5) và (6), suy ra \(\left( {MON} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\). Suy ra đáp án C đúng.
Đáp án A sai vì \(N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Đáp án đúng là: B
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau.
Hình vuông.
Hình bình hành.
Hình thang.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: C
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang.
Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64 000 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2 048 000 con?
Số lượng vi khuẩn tăng sau mỗi phút là một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 2\).
Ta có \({u_6} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1}{q^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} \cdot {2^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} = 2\;000\).
Sau \(n\) phút thì số lượng vi khuẩn là \({u_{n + 1}}\).
Mà \({u_{n + 1}} = {u_1}{q^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow 2\;000 \cdot {2^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1\;024 \Leftrightarrow n = 10\).
Vậy sau 10 phút thì có được 2 048 000 con vi khuẩn.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\).
(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2018}}{{{x^2}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\)).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) có \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Lấy \(I\) thuộc \(SA\) sao cho \(SA = 3IA\), \(J\) thuộc \(SC\) và \(M\)là trung điểm của \(SB\).
a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
b) Tìm giao điểm \(E\) của \(AB\) và \(\left( {IJM} \right)\).
a) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
Có \(\left. \begin{array}{l}F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\F \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\).
b) Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(IM \cap AB = E\).
Có \(E \in IM \subset \left( {IJM} \right)\). Suy ra \(E = AB \cap \left( {IJM} \right)\).
Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm thì trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu centimét để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó?
Tổng các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:
\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;q = \frac{1}{2}\).
Do đó \(S = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).
Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 cm.
