Bài tập Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp chung để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là tìm một đường thẳng a nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng và cắt nhau. Giao điểm của a và d chính là giao điểm cần tìm.

Đáp án đúng là: C

Ta có MN và BC cùng nằm trong mặt phẳng (ABC).

Vì MN không song song với BC nên chúng cắt nhau. Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Vì I thuộc BC và BC nằm trong mặt phẳng (BCD) nên I thuộc (BCD).

Vậy giao điểm của MN và (BCD) là giao điểm của MN và BC.

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng AM và SO cùng nằm trong mặt phẳng (SAC).

Gọi I là giao điểm của AM và SO.

Vì I thuộc SO mà SO nằm trong mặt phẳng (SBD) nên I thuộc (SBD).

Lại có I thuộc AM, suy ra I là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên G nằm trong mặt phẳng (BCD).

Mặt khác G hiển nhiên thuộc đường thẳng AG.

Vậy giao điểm của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD) chính là điểm G.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng (SBD), hai đường thẳng DM và SO cắt nhau. Gọi K là giao điểm của DM và SO.

Vì K thuộc SO mà SO nằm trong mặt phẳng (SAC) nên K thuộc (SAC).

Mặt khác K thuộc DM. Vậy K là giao điểm của đường thẳng DM và mặt phẳng (SAC).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là tính chất cơ bản của không gian: Đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng đó.

b) Sai. Nếu cắt nhau, chúng chỉ có duy nhất 1 điểm chung.

c) Đúng. Đây là phương pháp mặt phẳng phụ kinh điển để xác định giao điểm.

d) Sai. Giao điểm chỉ nằm trên các đường thẳng thuộc (P) có đi qua điểm đó, không phải mọi đường thẳng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. I thuộc mặt phẳng (ABCD) và I thuộc MI nên I là giao điểm.

b) Đúng. Ta có giao tuyến của (SAB) và (MCD) là MI. Mà SB nằm trong (SAB), do đó SB cắt mặt phẳng (MCD) tại giao điểm của SB và MI.

c) Sai. Vì BC song song AD và AD nằm trong (SAD) nên BC song song với mặt phẳng (SAD), không cắt nhau.

d) Sai. Mặt phẳng (MAB) chính là mặt phẳng (SAB). Điểm C không thuộc mặt phẳng (SAB) nên SC không cắt (SAB) tại C (thực tế SC cắt mặt phẳng này tại S).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng MN cắt BC tại E. Vì điểm E thuộc đường thẳng BC mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD) nên E thuộc mặt phẳng (BCD). Đồng thời E thuộc đường thẳng MN. Vậy E chính là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD).

b) Sai. Điểm P nằm bên trong tam giác BCD nên P không nằm trên cạnh CD. Mặt khác, mặt phẳng (MCD) giao với mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến là đường thẳng CD. Vì P không thuộc CD nên P không thể nằm trong mặt phẳng (MCD). Do đó, P không thể là giao điểm của đường thẳng AP và mặt phẳng (MCD).

c) Đúng. Ta có E nằm trên đường thẳng MN nên E thuộc mặt phẳng (MNP). Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm E và P (đường thẳng EP) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (MNP). Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng EP cắt đường thẳng CD tại F. Vì F thuộc EP nên F cũng nằm trong mặt phẳng (MNP). Vậy F là giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

d) Sai. Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại E.

Vì E ∊ MN mà MN nằm trong (MNP) nên E ∊ (MNP). Mặt khác, E ∊ BC. Vậy giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (MNP) chính là điểm E, không phải là điểm C.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi O là tâm đáy. Trong mặt phẳng (SAC), AM cắt SO tại G.

Vì SO nằm trong (SBD) nên G là giao điểm của AM và (SBD).

Do AM và SO là hai đường trung tuyến của tam giác SAC nên G chính là trọng tâm.

b) Đúng. Vì G thuộc AM nên G thuộc mặt phẳng (ABM).

Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài BG cắt SD tại N.

Vì BG nằm trong (ABM) nên N là giao điểm của SD và (ABM).

Mặt khác, G nằm trên trung tuyến SO của tam giác SBD và SG = \(\frac{2}{3}\)SO, nên G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

Suy ra đường thẳng BG đi qua G là trung tuyến, dẫn đến N là trung điểm của SD.

c) Sai. Hai đường chéo đáy cắt nhau tại O.

Vì AC nằm trong (SAC) nên giao điểm của BD và mặt phẳng (SAC) là điểm O, không phải trung điểm SC.

d) Đúng. Đường thẳng CM chính là đường thẳng SC. SC cắt (SBD) tại S.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trong mặt phẳng (ABD), vì tỉ lệ không bằng nhau nên MN cắt BD. Giao điểm này chính là giao của MN và (BCD).

b) Đúng. Vì E thuộc (ACD) và E thuộc ME nên E là giao điểm.

c) Đúng. Trong mặt phẳng (ABD), hai đường thẳng BN và MD cắt nhau. Giao điểm này thuộc (MCD) nên là giao điểm của BN và (MCD).

d) Sai. Đường thẳng AE giao mặt phẳng (BCD) tại chính điểm E (vì E thuộc BC nằm trong mặt phẳng BCD).

Đáp án: 2

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, suy ra O là trung điểm của AC.

Trong mặt phẳng (SAC), đường thẳng AM cắt SO tại G. Do SO nằm trong (SBD) nên G chính là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

Xét tam giác SAC có AM và SO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G.

Do đó, G là trọng tâm của tam giác SAC, tính chất trọng tâm cho ta AG = 2GM.

Vậy tỉ số \(\frac{{AG}}{{GM}}\) = 2.

Đáp án: 3

Gọi E là trung điểm của CD. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên G thuộc BE và BG = 2GE.

Trong mặt phẳng (ABE), kéo dài MG cắt AE tại N. Vì AE nằm trong (ACD) nên N chính là giao điểm của MG và mặt phẳng (ACD).

Kẻ đường thẳng qua M song song với BE, cắt AE tại H. Vì M là trung điểm AB nên MH là đường trung bình của tam giác ABE, suy ra MH = \(\frac{1}{2}\) BE.

Xét tam giác NMH có GE song song MH (do G thuộc BE). Theo hệ quả định lý Thales: \(\frac{{NG}}{{NM}} = \frac{{GE}}{{MH}}\).

Ta có GE = \(\frac{1}{3}\) BE và MH = \(\frac{1}{2}\)BE, suy ra\(\frac{{GE}}{{MH}} = \frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\). Suy ra \(\frac{{NG}}{{NM}}\)=\(\frac{2}{3}\).

Như vậy NM chiếm 3 phần, NG chiếm 2 phần, dẫn đến MG = NM - NG chiếm 1 phần.

Vậy tỉ số \(\frac{{MN}}{{MG}}\)= 3.

Đáp án: 2

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của MC và SO. Do SO nằm trong (SBD) nên I là giao điểm của MC và mặt phẳng (SBD).

Vì AD song song BC nên tam giác BOC đồng dạng với tam giác DOA, suy ra \[\frac{{CO}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\].

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MCA với cát tuyến S-I-O:

\(\frac{{SM}}{{SA}} \times \frac{{OA}}{{OC}} \times \frac{{IC}}{{IM}} = 1\)

Thay số tương ứng: \(\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{{IC}}{{IM}} = 1\) suy ra \(\frac{{IC}}{{IM}} = 1\) suy ra IC = IM.

Vậy I là trung điểm của đoạn MC, suy ra \[\frac{{MC}}{{MI}}\]= 2

Đáp án: 0,5

Mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (BCD) giao nhau theo giao tuyến NP.

Trong mặt phẳng (BCD), kéo dài đường thẳng NP cắt đường thẳng CD tại I. Do NP nằm trong (MNP) nên I chính là giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với cát tuyến N-P-I:

\(\frac{{NB}}{{NC}} \times \frac{{IC}}{{ID}} \times \frac{{PD}}{{PB}} = 1\)

Do N là trung điểm BC nên \(\frac{{NB}}{{NC}}\)= 1. Theo giả thiết BP = 2PD nên \(\frac{{PD}}{{PB}} = \frac{1}{2}\).

Thay các tỉ số vào biểu thức: \(1 \times \frac{{IC}}{{ID}} \times \frac{1}{2} = 1\) suy ra \(\frac{{IC}}{{ID}}\)= 2 \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Đáp án: 0,33

Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MC và SO.

Vì SO nằm trong (SBD) nên điểm I ∊ (SBD).

Mặt khác, B ∊ (SBD). Do đó, đường thẳng BI nằm trong (SBD). Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài BI cắt SD tại N.

Lại có: I ∊ MC nên I ∊ (BCM). B ∊ (BCM). Do đó đường thẳng BI nằm trong (BCM). Vì N ∊ BI nên N ∊ (BCM).

Vậy N chính là giao điểm của cạnh SD và mặt phẳng (BCM).

Ta có: SA = 3SM nên SM chiếm 1 phần, SA chiếm 3 phần, suy ra MA chiếm 2 phần. Vậy tỉ số \(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\).

O là trung điểm của AC nên AC = 2CO, suy ra tỉ số: \[\frac{{AC}}{{CO}} = 2\].

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAO với cát tuyến MIC, ta có: \(\frac{{SM}}{{MA}} \cdot \frac{{AC}}{{CO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1.\)

Thay các tỉ số vào ta được: \[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\].

Suy ra \[\frac{{OI}}{{IS}} = 1\]. Điều này có nghĩa I là trung điểm của đoạn thẳng SO.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOD với cát tuyến BIN, ta có: \(\frac{{SI}}{{IO}} \cdot \frac{{OB}}{{BD}} \cdot \frac{{DN}}{{NS}} = 1.\)

Vì O là trung điểm của BD nên DB = 2BO, suy ra tỉ số \[\frac{{OB}}{{BD}}\]= \(\frac{1}{2}\).

Thay các tỉ số vào ta được: \[1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{DN}}{{NS}} = 1\].

Suy ra \[\frac{{DN}}{{NS}} = 2\].

Nghĩa là DN gấp đôi NS, kéo theo ND chiếm 2 phần, SN chiếm 1 phần, dẫn đến tổng đoạn SD chiếm 3 phần.

Vậy tỉ số \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).